Analyse et synthèse rationnelles

L'analyse et la synthèse rationnelles opèrent, non plus sur des êtres ou des faits, mais sur des idres, sur des vérités abstraites et générales; aussi sont-elles surtout en usage en mathématiques.

1. L'analyse rationnelle se fait, non par décomposition, mais par résolution. Elle consiste essentiellement à réduire la question proposée à une question plus sdmple, déjà résolue.

La synthèse rationnelle consiste à partir d'un principe général plus simple et évident, et à en déduire^ par voie de conséquence, la solution demandée.

« Quand on procède par analyse, dit Duhamel, on ramène le problème proposé à un second, celui-ci à un troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à un problème qu'on sache résoudre. Procéder par synthèse, c'est partir de propositions reconnues vraies, en déduire d'autres comme conséquences nécessaires, de celles-ci de nouvelles, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à la proposée, qui se trouve alors reconnue elle-même comme vraie. »

2. Ce sont donc là deux manières distinctes de résoudre un même problème. En effet, résoudre un problème, c'est établir le rapport qui unit la question proposée à quelque principe général évident. Pour y parvenir, deux voies se présentent :

a) Partir de la solution du problème, supposé résolu, et remonter par des transformations et des simplifications successives, jusqu'au principe, dont il est une application particulière.

b) Ou bien, en suivant l'ordre inverse, partir du principe luimême et descendre de conséquence en conséquence jusqu'à la solution du problème.

Dans le premier cas, j'ai été de la conséquence au principe, c'est-à-dire de la proposition particulière à la proposition plus générale, et, par suite, — l'extension étant en raison inverse de la compréhension, — du plus complexe au plus simple; j'ai donc fait une analyse. Dans le second cas, j'ai été du principe à la solution du problème, cest-à-dire du général au particulier, du plus simple au plus composé; j'ai fait une synthèse.

Comme le remarque Port-Royal, ces deux procédés ne diffèrent

i/ax.vlyse et la synthèse. 555

pas autrement que la route pour aller d'une vallée sur une montagne ne diiïère de celle qui conduit de la montagne à la vallée.

li. Donnons un exemple : Soit à mesurer Taire dun triangle.

a) Par voie d'analyse. On partira de la question posée, et on montrera que l'aire du triangle égale la moitié de Taire du parallélogramme de même base et de même hauteur. Puis, on fera voir que l'aire du parallélograme est elle-même égale à celle du rectangle de même base et de même hauteur. Enfin, si l'on sait que Taire du rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur, on en déduira immédiatement celle du