LA DÉMONSTRATION

La démonstration est l'objet même des sciences mathématiques, et les divers procédés que nous venons d'énumérer n'en sont que les éléments. Car, en somme, démontrer, c'est déduire d'une définition ou d'une vérité générale, au moyen d'un axiomr, quelque conséquence nécessaire.

ART. I. — Xîiture de la <léinon»«tration. — Ses espèces.

§ 1. — Sa nature. — La démonstration est une opération par laquelle on rend évidente une proposition au moyen d'une autre proposition évidente jjar elle-même ou déjà démontrée.

1. La démonstration mathématique, procédant toujours par identités, est essentiellement déductive. Toutefois, elle diffère de la simple déduction en deux points :

a) On ne peut démonti^er que le vrai, tandis qu'on peut logiquement déduire le faux. La démonstration est donc une déduction qui part de principes vrais pour aboutir à des conséquences vraies (sauf le cas de la démonstration par l'absurde).

b) Une autre différence résulte du sens spécial qu'affecte la copule est dans les propositions mathématiques. Elle n'exprime plus en effet, comme dans les propositions ordinaires, un simple rapport de convenance ou de non-convenance, mais un rapport d'égalité ou d'inégalité entre certaines grandeurs. Il s'ensuit que des termes équivalents peuvent être substitués les uns aux autres; que ces termes peuvent être augmentés ou diminués de grandeurs équivalentes, etc.

2. Ne pas confondre la démonstration de la vérité avec sa découverte.

(1) On distingue la possibilité jjosi7(De et la possibilité négative : une notion jouit de la possibilité positive lorsque nous vojons distinctement l'accord des diverses notes qui composent sa compréhension; elle n'a au contraire, que la possibilité négative lorsque nous n'apercevons pas de contradiction entre ses notes, sans cependant les pénétrer assez prol'ondéraent pour être absolument sûrs qu'elles ne se contredisent pas. Ainsi que nous l'expliquerons quand nous étudierons la notion d'espace en métaphysique, c'est de la possibilité négative qu'il s'agit ici (Voir T. H, p. 388 et suiv.).

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On démontre à un autre une vérité qu'on connaît et qu'iJ ignore ; on découvre une vérité qu'on ignorait soi-même.

La vérité à prouver s'énonce sous forme de théorème; la vérité à trouver s'énonce sous forme de problème.

Le théorème formule une i^érité qu'il s'agit de rendre évidente; le problème formule une inconnue qu'il s'agit de détei'miner.

La marche si/nthétique s'adapte mieux à la démonstration; Vinvrntion de la vérité s'accommode mieux de la marche analytique.

!^ ^. — Deux espèces de démonstration.

1. Nous lavons dit plus haut, on peut démontrer un théorème par voie d'analyse, ou par voie de synthèse, selon qu'on part du théorème lui-même pour s'élever par suite d'intermédiaires jusqu'au principe, ou que, partant du principe, on descende de degré en degré jusqu'au théorème qu'il s'agit de démontrer.

2. La démonstration analytique est elle-même positive ou négative.

a) L'analyse positive consiste à supposer vrai le théorème, et à remonter de proche en proche jusqu'à un principe évident. — C'est la démonstration directe.

h) L'analyse négative consiste à supposer vraie la proposition contradictoire à celle qu'on veut démontrer, et à faire voir que cette supposition conduit à une absurdité. On en conclut àla fausseté de l'hypothèse, et conséquemment, à la vérité du théorème à démontrer, en vertu de ce principe que, de deux propositions contradictoires, si l'une estfausse, l'autre est nécessairement vraie.

— C'est la démonstration indirecte, appelée aussi réduction à l'absurde.

La démonstration par l'absurde ne montre donc pas précisément pourquoi la proposition est vraie, mais seulement pourquoi elle ne saurait être fausse. Elle fournit bien la preuve, mais laisse ignorer la raison; elle force la conviction, elle n'éclaire pas l'esprit. Voilà pourquoi il convient de ne recourir à ce genre de preuve que dans le cas où la démonstration directe est impossible.

,'\irr. II. — Rès^leN relatÎTON à l'emploi de la démonstration.

Dans VArt de persuader, Pascal en indique trois qui correspondent exactement aux règles de la définition (1).

1" Ne laisser aucune proposition non évidente sans la démontrer.

(1) Il est facile de le comprendre, (''tant (kinnco ranalogie de ces dtiix procédés. Do fait, la démniislralion a pour ohjct de rendre rvidente une proposition an moyen d'autres propositions déjà évidentes, de même que la délinilion a pour ohjet do rendre disti7tcte une ù/^r au moyen d'autres idées déjà distinctes.

o68 LOGIQUE.

2" N'employer dans la démons tralion que des propositions évidentes par elles-mêmes, ou déjà démontrées.

3" Enfin, ne pas prétendre tout démontrer. En effet, ce serait là une prétention aussi inutile que chimérique.

a) Inutile ; car certaines propositions sont si pleinement évidentes par elles-mêmes, qu'on ne saurait ajouter à leur clarté. L'évidence se montre : qWq ne se démontre pas.

b) Chimérique ; car vouloir tout démontrer, c'est se condamner à aller à l'infini, ou à tourner dans un cercle; dans les deux cas, c'est ne rien démontrer. Aristote a donc raison de dire que si tout pouvait être prouvé, rien ne le serait.

On ne peut donc pas tout démontrer, pas plus qu'on ne peut tout définir ni tout analyser : à7ro5ei'^$w; ipyti où/. àTrôSet^tç, dit Aristote; car toute démonstration doit partir de l'évident, c'est-à-dire de l'indémontrable, comme toute définition doit partir du simple et du clair, c'est-à-dire de l'indéfinissable. Et, loin de le regretter, ou de voir là une marque de la faiblesse de notre esprit, il faut plutôt nous en féliciter et y voir une marque de sa force, un trait de ressemblance avec l'Intelligence divine qui saisit toutes les vérités, comme nous en saisissons quelques-unes, par une intuition immédiate.

L'imperfection de l'esprit humain ne consiste donc pas à ne pouvoir démontrer toutes les vérités, mais bien à devoir en démontrer plusieurs , aussi Pascal a-t-il tort de prétendre que la méthode la plus parfaite consisterait à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions.

Après avoir exposé en détail les procédés de la méthode mathématique, il importe de signaler les lacunes et les défauts que son rusage exclusif engendre trop fréquemment dans certains esprits. Pascal traite équivalemment cette question dans sa distinction célèbre de l'esprit géométrique et de l'esprit de finesse.

APPENDICE It'esprit de §péoinétrie et l'esprit de finesse.

Par esprit de géométrie Pascal entend cette rigidité de l'esprit qui n'a d'ouverture que pour l'évidence absolue, et prétend procéder en toutes choses par déduction rigoureuse de principes nécessaires.

Par esprit de finesse il entend cette sagacité et cette souplesse de l'esprit qui sait s'accommoder à tous les ordres de vérité, appliquer à chacun la méthode qui lui convient et se contenter du degré de certitude qu'il compoite.

1. Ce qui caractérise l'esprit géométrique, c'est une aptitude exclusive pour la déduction. Il a, comme dit Pascal, « des vues lentes et inflexibles » ; il sait tirer des majeures qu'on lui fournit toutes les conséquences qu'elles ren-

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fonnont. mais ilcstdéooncerté dès (lue la vérité d'une proposition n'est plus garantie par l'absurdité de sa contradictoire. En fait, il n'admet qu'une seule inétliodo. la méthode géométrique, qu'il prétend appliquer à toute science; quant à celles qui refusent de s'y prêter, il les néglige comme de simples opinions sans valeur scientifique. Aussi le monde de la contingence est-il sans intérêt pour lui, et les nuances infinies flu monde moral lui échappent-elles presque toutes.

•2. Au contraire, l'esprit de finesse a acquis au maniement des différentes méthodes quelque chose de plus souple et de plus délié. Il a ce grand avantage, dit Pascal, de voir les choses << d'une seule vue ». A défaut de la plein(? évidence, il sait tenir compte des probabilités et se contenter d'approximations ; il conjecture, il suppose, au besoin il devine. C'est lui qui imagine les hypothèses, qui découvre les moyens termes ; il a le sens de l'induction, le génie de l'invention.

Dans une conversation que Fresnel avait avec un de nos plus grands géomètres, ce dernier accusait l'illustre physicien d'avoir trouvé de fort belles choses en raisonnant très mal. Fresnel répondit assez durement au géomètre qu'on ne lui ferait pas le même reproche, vu qu'il n'avait jamais rien trouvé en raisonnant fort juste.

3. L'esprit de géométrie n'est pas, sans doute, un esprit faux : <■ Les esprits faux, dit Pascal, ne seront jamais ni fins, ni géomètres » ; mais il est essentiellement incomplet. « Les géomètres qui ne sont que géomètres, dit encore Pascal, ont l'esprit droit, mais pourvu qu'on leur explique bien toutes choses par définitions et par principes »; de là leur manque de sens pratique et leur peu d'intelligence de la vie réelle, où les principes ne trouvent presque jamais leur application rigoureuse et absolue. De son côté, celui qui, à l'esprit de finesse, ne joindrait pas l'esprit et le goût de la rigueur géométrique, resterait vague et superficiel, et serait impropre aux spéculations de la science.

Platon avait écrit sur la porte de l'Académie : que nul n'entre ici s'il n'est géomètre, et, en effet, " sans les mathématiques, on ne pénètre point au fond de la philosophie ; mais, sans la philosophie, on ne pénètre point au fond des mathématiques; sans les deux, on ne pénètre au fond de rien » (Bordas- Demoulin).

La conclusion, c'est qu'un esprit vraiment scientifique doit posséder ces deux aptitudes et les compléter l'une par l'autre, afin d'être à la fois rigoureux géomètre et fin penseur. « Si à l'induction, dit Leibniz, on ne joint pas un certain art de deviner, on n'avancera guère ».

4. Pour y parvenii", exerçons-nous, sans doute, aux démonstrations exactes ; acquérons le besoin et cette habitude de précision et de clarté que donne l'étude des mathématiques ; car il faut avoir contemplé le vrai dans toute sa pureté pour pouvoir ensuite distinguer ce cjui en approche plus ou moins ; mais n'en restons pas là, de peur que nos yeux, accoutumés à une lumière trop vive, en viennent à ne plus discerner les dégradations d'une lumière plus faible, et ne trouvent que ténèbres épaisses là où d'autres entrevoient encore quelque clarté. Habituons-nous à passer aisément de la pleine lumière de l'évidence au crépuscule de l'opinion et de la simple conjerture. Après (voir contemplé la vérité face à face et dans tout son éclat, appliquons-nous a la pressentir de loin, à la soupçonner sur les moindres indices. Rappelonsnous que, si la certitude absolue est belle en soi et désirable en théorie, elle f'st relativement rare en pratique et que, dans la vie quotidienne, nous avons surtout affaire aux probabilités. Aussi Leibniz a-t-il raison d(^ dire que « l'appréciation des probables nous importe encore plus que l'appréciation des rertitudes ».