LES AXIOMES ET LES POSTULATS

Certains auteurs ne voient dans les postulats qu'une simple variété des axiomes. Ils distinguent les axiomes premiers ou communs, qui sont applicables à toute espèce de grandeur : ce sont les axiomes proprement dits, et les axiomes propres ou de second ordre, qui ne sont applicables qu'à tel ou tel ordre de grandeur : ce sont les postulats.

Cette distinction ne nous paraît pas suffisamment tranchée. En réalité, l'axiome et le postulat diff"êrent et par leur forme et par leur fonction ; aussi consacrerons-nous à chacun d'eux un article spécial.

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AK'P. 1. — lies axiomes.

?5 1- — Nature et rôle de Taxiome dans la démonstration.

L'axiome ;à^idw, je juge, j'csiime) est un principe nécessaire, évident par lui-même et indémontrable, gui est le fondement de tout un ordre de déductions.

1. Les axiomes ne sont, dans le domaine de la quantité, que des applications immédiates des deux lois formelles delà pensée, le principe d'identité et le principe de contradiction. Tels sont : Le tout est plus grand que sa partie. —Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. — Les sommes de quantités égales sont égales.

Ces trois axiomes sont applicables à toute espèce de grandeur, qu'il s'agisse de nombre, d'étendue ou de mouvement; aussi sontils communs à toutes les sciences mathématiques.

2. L'axiome est un principe purement formel, absolument stérile et infécond par lui-même; car, étant vide de tout contenu, on n'en saurait rien tirer; son rôle se borne à soutenir la marche de l'esprit et k assurer l'accord de la pensée avec elle-même : aussi est-il ordinairement sous-entendu dans le raisonnement.

« Il ne sert de rien, dit Leibniz, de ruminer sur les axiomes, si on n'a de quoi les appliquer »; ils sont comme un outil sans matière à mettre en œuvre, comme un moulin qui tourne à vide. Mais, si l'on est en possession de quelque vérité générale ayant un contenu réel, telle qu'une loi ou une définition, c'est l'axiome qui permet d'en déduire les vérités particulières qu'elle renferine. Soit par exemple un tout x composé de a -f h. En vertu de l'axiome : Le tout est égal à la somme des parties, je puis déduire x ^ a, ou b = x — a.

Ce n'est donc pas de l'axiome, mais au moyen de l'axiome que l'on déduit; et voilà comment ce procédé, stérile par lui-même, est cependant la condition de tout travail intellectuel sur un objet donné.

3. En effet, en mathématique, l'unique raison qui force l'esprit à admettre les conséquences d'un principe donné, n'est autre que le rapport d'identité totale ou partielle qu'il constate entre celuici et celles-là. Ici, expliquer revient à identifier l'inconnu avec ce qui était connu.

Ainsi en arithmétique, toutes les opérations et toutes les preuves se ramènent, en dernière analyse, à des additions, c'est-à-dire à établir des identités entre une somme et plusieurs nombres.

Valgébre n'est qu'une méthode commode pour ^dégager les identités. On commence par poser une équation, c'est-à-dire une identité entre un terme complètement inconnu x, et un autre

terme susceptible d'être éclairci; puis on va de cette identité à une autre plus explicite, jusqu'à ce qu'on parvienne à une dernière identité où le second terme, étant parfaitement connu, fera par là même connaître la valeur de x.

La géométrie ne procède pas autrement. Par exemple, pour démontrer ce théorème que la perpendiculaire est plus courte que toutesles obliques, ou cet autre, que, dans un triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres, il suffit de faire voir l'identité de ces propositions avec l'axiome qui dit que d'un point à un autre, la ligne droite est le chemin le plus court.

§ 2. — Règles relatives à l'emploi des axiomes.

Pascal en compte trois :

1° Ne prendre pour axiomes que des vérités parfaitement évidentes par elles-mêmes. On n'élèvera donc pas au rang d'axiomes certains proverbes ou dictons populaires, souvent fort discutables.

2° Ne pas chercher à démontrer les axiomes. Comme le dit Aristote, « c'est une faiblesse d'esprit de chercher des raisons là où il ne s'agit que de voir ».

3" Ne pas multiplier les axiomes. C'est pour observer cette troisième règle que Ion distingue plus nettement aujourd'hui les axiomes proprement dits des simples postulats.

ART. II. — l<es postulats.

1. Nous l'avons dit, le postulat diffère de l'axiome proprement dit, et par sa matière et par sa forme.

a) Tandis que l'axiome est une proposition absolument évidente par elle-même, indémontrable parce qu'elle est le principe et le

'Supposé de toute démonstration, le postulat est une proposition qui, sans être absolument évidente ou démontrable, est nécessaire à la démonstration de toute une série de propositions subséquentes. « Le postulat, disait déjà Aristote {Derniers Analytiques), est une proposition qui n'a pas encore été démontrée et qui peut-être ne le sera jamais, mais qu'on est prié d'accorder pour le besoin de la discussion, ou qui se présente comme le complément nécessaire d'un certain ordre d'idées, quoique nous ne puissions en donner une preuve directe. » De telles propositions sont légitimes, tant qu'elles ne violent aucun principe de raison, aucune loi formelle de la pensée.

b) L'axiome, se bornant à dégager par l'analyse une identité conçue par la raison, est essentiellement a jjrion et analytique:, aussi s'impose-t-il logiquement à l'esprit, qui ne peut le nier sans se contredire. Au contraire, le postulat a un caractère synthétique plus ou moins a posteriori; car l'attribut ajoute au sujet l'idée de

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quelque propriété spéciale, ce qui suppose un certain concours de l'expérience; aussi peut-il être nié sans contradiction.

Comme exemple de postulats, on peut citer le postulat d'Eudide : Par un point pris hors d'une droite, on peut toujours mener une parallèle à cette droite, et on n^en peut mener qu^une seule.

±. Plus semblable à la définition qu'à l'axiome, le postulat énonce l'hypothèse dans laquelle le mathématicien formulera ou appliquera ses définitions. Son rôle est de classer les idées abstraites que l'esprit peut se former sur les grandeurs; aussi sa valeur, comme celle de toute classification artificielle, dépend-elle de son utilité théorique ou pratique.

Le postulat n'est donc pas, comme l'axiome, vide de tout contenu, et dès lors il peut servir de matière à la déduction. En fait, il constitue toujours l'une des prémisses sur lesquelles, soit directement soit indirectement, l'esprit s'appuie pour obtenir la solution cherchée.

Les conclusions de postulats différents seront donc nécessairement diflférentes, car elles portent sur des idées de même nom, mais de compréhension et de définition différentes.

APPENDICE Lies js^éoniétrieH non-euclidiennes.

On .sait que la géométrie classique repose tout entière sur le postulat d'Euclide; d'où son nom do géométrie euclidienne. Or, sur cette question de la possibilité des parallèles, on peut concevoir trois hypothèses ou postulats éj^alement indémontrables, desquels résulteront logiquement trois séries de déductions, trois géométries opposées.

Toutes trois ont ceci de commun que la droite y est conçue comme une ligne de grandeur illimitée, déterminée par deux de ses j)oints.

1. La géométrie euclidienne suppose en outre deux choses : a) que par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite, et par suite b) qur deux droites ne peuvent enclore un espace.

2. La géométi'ie dite di- Lohatcketvsky (f 1856) lejotte la première hypothèse, tout en (îonservanl la seconde. Il en résulte logiquement une série de conséquences spéciales; i)ar exemple que, par un point, on peut, dans un plan, mener un nombie indéfini de parallèles à une droite donnée; que la somme des angles d'un triangle «>st toujours plus petite (pie deux droits, etc.

IJ. La géométrie dite de Iliemann (-flSi:)*}) rejette à la t'ois les deux hypothèses. Elle suppose que, par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener aucune parallèle à cette droite, et que deux droites, comme deux arcs de giand cercle sur la sphère, peuvent enclore un esitace. Dans cette géométrie, le plan ressemble à la surface d'une sphère, et la droite à une portion de circonférence : surface et longueur étant par conséqucM.t finies, mais illimitées. On en déduit, par t'xem|)le, que la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à deux droits.

Ces deux dernières géométries, dites no7> -euclidiennes, .st> con.struisent dans lin espace à (piatre ou même ;i n dimensions, dit hypercspace, qui ne peut

être imaginé ni figuré; d'où la supériorité delà géométrie euclidienne, plus simple et seule pratique, comme soûle applicable à notre espace à trois dimensions et soûle conforme aux propriétés des solides réellement existants. En somme, tous ces enchaînements d' dée" et de propositions restent légitimes tant qu'ils sont proposés, non comme l'expression de ce qui exister mais comme autant d'exemples des combinaisons indéfinies où peut se jouer notre intelligence dans l'ordre des possibles (1).