VINGT-SIXIÈME LEÇON

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Considérations générales sur la dynamique céleste.

La gravitation mutuelle des différens astres de notre monde doit nécessairement altérer la parfaite régularité de leur mouvement principal, déterminé, conformément aux lois de Képler, par la seule pesanteur de chacun d’eux vers le foyer de son orbite. Parmi ces divers dérangemens, les plus considérables furent directement observés dès l’origine de l’astronomie mathématique dans l’école d’Alexandrie; d’autres ont été aperçus plus tard de la même manière , à mesure que l’exploration du ciel est devenue plus précise; enfin, les moindres n’ont pu être découverts que par l’emploi des moyens d’observation les plus perfectionnés de l’astronomie moderne. Tous sont maintenant expliqués, avec une admirable exactitude , par la théorie générale de la gravitation , qui a même devancé quelquefois l’inspection immédiate à l’égard des moins prononcés. Cet important résultat de l’ensemble des grands travaux mathématiques

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exécutés , dans le siècle dernier , par les successeurs de Newton, constitue une des vérifications les plus décisives de la théorie newtonienne, surtout en ce cju’il met hors de doute l’universelle réciprocité de la gravitation entre tous les corps qui composent notre système solaire.

Le caractère fondamental de cet ouvrage et ses limites nécessaires interdisent évidemment de considérer ici séparément chacun de ces nombreux problèmes , dont les difficultés sont d’ailleurs essentiellement analytiques, leurs équations différentielles étant presque toujours très faciles à former, d’après les règles de la dynamique rationnelle. L’esprit général des recherches de mécanique céleste se trouve être suffisamment caractérisé par les questions examinées dans la leçon précédente, les seules, en réalité, qui exigent < des conceptions propres, indépendantes du calcul. Nous devons donc ici nous borner essentiellement à examiner le plan rationnel et la nature générale des principales études relatives aux modifications des mouvemens célestes.

A l’égard de cesfmouvemens, comme envers tous les autres, il importe beaucoup de distinguer d’abord, avec Lagrange, deux genres principaux d’altérations, qui diffèrent profondément, aussi bien quant à leur théorie mathématique que par

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les circonstances qui les constituent : les changemens brusques , provenant de chocs ou d’explosions internes, dont l’action peut, sans aucun inconvénient , être conçue instantanée ; les change mens graduels , ou les perturbations proprement dites, dues à l’influence continue des gravitations secondaires, dont l’effet dépend du temps écoulé. Quoique le premier ordre de dérangemens soit , sans doute, dans notre monde, presque entièrement idéal , il n’en est pas moins essentiel à considérer, ne fût-ce que comme un préliminaire indispensable à l’étude du second , dont l’esprit consiste, eu effet, à traiter chaque gravitation perturbatrice comme une suite de petites impulsions, selon la méthode ordinaire de la mécanique rationnelle.

L’influence des changemens brusques, bien qu’elle puisse être beaucoup plus grande que celles des simples perturbations, comporte une étude inflniment plus facile. Il est clair, en effet, que les lois de Képler ne doivent point cesser, pour cela , d’être exactement maintenues : tout au plus, l’ellipse pourrait-elle dégénérer en parabole ou en hyperbole , comme je l’ai indiqué dans l’avant-dernière leçon. Tout l’effet doit évidemment consister à donner subitement de nouvelles valeurs aux six élémens fondamentaux du

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* mouvement elliptique , puisque rien n’est changé dans les forces accélératrices. Après une telle variation, ces nouveaux élémens resteront d’ailleurs aussi fixes qu’auparavant, jusqu’à ce qu’il survienne quelque autre événement semblable. D’ailleurs l’altération peut porter indifféremment sur chacun des six élémens, dont plusieurs sont, au contraire, fort peu affectés par les perturbations.

On éprouverait de vraies difficultés mathématiques à déterminer rationnellement , d’après les règles de la mécanique abstraite, quel doit être l’effet d’un choc ou d’une explosion sur le changement instantanéde la vitesse actuelle d’un astre, quant à son intensité et à sa direction. Mais, cette variation une fois donnée , il est au contraire facile d’en déduire, comme Lagrange l’a montré, les nouvelles valeurs des élémens fondamentaux , et par suite toutes les modifications que pourra présenter le mouvement de translation. La question pourrait être beaucoup plus compliquée à l’égard de la rotation, si l’événement ne se bornait point à en altérer la durée , et qu’il changeât la direction de l’axe autour duquel elle s’exécute. Car, la nouvelle droite cessant d’être un des axes dynamiques principaux de l’astre, cet événement, quoique instantané, deviendrait nécessairement, d’après la théorie générale de la rotation , la source

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d’une suite perpétuelle, ou du moins très prolongée, d’altérations difficiles à analyser; ce qui ne saurait jamais avoir lieu, quant à la translation.

Quoique le choc mutuel de deux astres et la rupture d’un astre unique en plusieurs fragmens séparés par suite d’une explosion interne, puissent déterminer des variations quelconques dans tous les élémens astronomiques de leur mouvement elliptique, il existe deux relations fondamentales, qui, d’après les lois générales du mouvement, doivent rester, même alors , nécessairement inaltérables, et qui pourraient, ce me semble, en les ' employant convenablement, nous conduire souvent à constater la réalité de tels événemens à une époque quelconque. Ce sont les deux propriétés essentielles de la conservation du mouvement du centre de gravité et de l’invariabilité de la somme des aires , qui reposent seulement , comme on sait , sur l’égalité entre la réaction et l’action, à laquelle sans doute de tels changemens ne cesseraient point de se conformer. Il en résulte deux équations très importantes entre les masses , les vitesses et les positions des deux astres ou des deux fragmens du même astre , considérées avant et après l’événement.

Aucun indice ne paraît jusqu’ici nous autoriser à penser que le cas du choc se soit jamais réelle- TOME II.

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nient présenté dans notre monde, et Ton conçoit en effet combien la rencontre de deux astres doit y être difficile, sans qu’elle y soit, néanmoins , mathématiquement impossible. Mais, il n’en est nullement ainsi à l’égard des explosions. L’identité presque parfaite des moyennes distances et des temps périodiques propres aux quatre petites planètes situées entre Mars et Jupiter, a conduit, comme on sait, M. Olbers à conjecturer ingénieusement qu’elles formaient autrefois une planète unique, dont une forte explosion interne ' aurait déterminé la division en plusieurs frag> mens séparés. Presque toutes les autres circonstances caractéristiques de ces petits astres sont en harmonie avec cette opinion, à laquelle Lagrange a ajouté, d’après l’irrégularité de leur figure, que l’événement a dû être postérieur à la consolidation de la planète primitive. Quand leurs masses seront connues, je pense que cette hypothèse pourra être soumise à une vérification mathématique, qu’il me suffit d’indiquer ici, suivant les deux théorèmes précédemment mentionnés. En calculant ainsi les positions et les vitesses successives du centre de gravité du système de ces quatre planètes , on devrait , en effet , d’après une telle origine, retrouver le mouvement principal de l’astre primitif. Si donc les résultats de ces cal-

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culs représentaient ce centre de gravité décrivant une ellipse autour du soleil pour foyer, et son rayon vecteur traçant des aires proportionnelles aux temps, cet événement serait aussi constaté, ce me semble, que peut l’être un fait don ton n’a pas été témoin. Mais notre ignorance actuelle au sujet des momens d’inertie et surtout des masses de ces petits corps ne permet point encore d’assujettir la conjecture de M. Olbers a une semblable epreuve. II n’en est pas moins intéressant, sous le point de vue philosophique, de voir comment la mécanique céleste peut parvenir à constater, d’une manière entièrement positive, de tels événemens, qui paraissent ne devoir laisser aucun témoignage appréciable. Il est, d’ailleurs, évident que la nature instantanée de ces changemens nous interdirait nécessairement d’en reconnaître l’époque, puisque les phénomènes seraient exactement les memes, que 1 explosion fut récente ou ancienne 5 tandis qu il n en est point ainsi a l’egard des perturbations.

Lagrange a pensé , avec beaucoup de vraisemblance, que le cas des explosions avait été très fréquent dans notre monde, et qu’on pouvait expliquer ainsi l’existence des comètes, d’après la grandeur des excentricités et des inclinaisons et la petitesse des masses , qui les caractérisent princi-

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paiement. 11 suflit, en effet, de concevoir qu’une planète ait éclate en deux fragmens extrêmement inégaux, pour que le mouvement du plus considérable soit resté presque tel qu’auparavant , tandis que le plus petit aura pu décrire une ellipse très allongée et fort inclinée à l’écliptique. L’intensité de l’impulsion nécessaire à ce dernier changement est, en général, assez médiocre, comme Lagrange l’a établi, et d’ailleurs d’autant moindre que la planète primitive est plus éloignée du soleil. Celte opinion me parait beaucoup plus satisfaisante que toutes celles qui out été proposées au sujet des comètes , quoiqu’elle soit loin , sans doute, d’être jusqu’ici démontrée.

Passons maintenant à la considération bien plus importante et bien autrement difficile des perturbations proprement dites , principal objet de la mécanique céleste pour le perfectionnement des tables astronomiques.

Elles doivent être distinguées en deux classes générales, suivant qu’elles portent sur les mouvemensde translation, ou de rotation. La théorie-abstraite des rotations constituant, par sa nature, comme nous l’avons reconnu en philosophie mathématique, la partie la plus difficile de la dynamique des solides , il en doit être nécessairement de même pour l’application au ciel.

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Heureusement, les mouvemens de rotation sont, en général , moins altérés, dans notre monde, que ceux de translation; et surtout, leurs perturbations sont bien moins importantes à connaître , si ce n’est dans le seul cas de la terre. Envisageons d’abord l’étude des translations, où les astres doivent être traités comme condensés en leurs centres de gravité.

Quoiqu’il fût aisé de former , d’après les règles de la dynamique rationnelle, les équations différentielles du mouvement d’un quelconque des astres de notre monde , sollicité par ses diverses gravitations variables vers tous les autres, l’ensemble de ces équations ne constituerait, en réalité , dans l’état présent de nos connaissances mathématiques , et probablement toujours, qu’une énigme analytique absolument inextricable, dont il serait impossible de tirer aucun parti effectif pour l’étude des phénomènes célestes. Obligés de renoncer à cette march^^recte , la seule pleinement rationnelle, les géomètres ont dû se réduire à analyser séparément le mouvement de chaque astre autour de celui qui en est le foyer , en ne considérant à la fois qu’un seul astre modificateur.

C’est ce qui constitue, en général , le célèbre problème des trois corps , quoique cette dénomination '

n’ait d’abord été employée que pour la théorie dp • * • ~

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la lune. On conçoit aisément à quelles circonvolutions doit entraîner une telle manière de procéder, puisque l’astre qui 'modifie , étant à son tour modifié par d’autres , ses perturbations exigent un retour indispensable à l’étude du corps primitif. A quelques expédiens que notre impuissance mathématique nous contraigne de recourir, nous ne saurions empêcher que la détermination de l’ensemble des mouvemens de notre monde ne constitue nécessairement par sa nature , un problème vraiment unique , et non une suite de problèmes détachés les mis des autres. Cette séparation irrationnelle, et néanmoins impérieusement prescrite par l’imperfection de notre analyse, est la première source des modifications si multipliées dont les géomètres sont forcés de surcharger successivement leurs formules célestes.

Si le problème des trois corps comportait une solution rigoureuse , ces corrections pourraient être bien moindres el^Surtout beaucoup moins nombreuses, puisque, en prenant pour type le mouvement qui lui correspond dans chaque cas , les mouvemens effectifs ne s’en écarteraient qu’à très peu d’égards et de quantités presque insensibles. Mais le^ problème fondamental et élémentaire de'deux corps, dont l’un est même regardé comme fixe, c’est-à-dire le problème du mouve-

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fument elliptique , représenté par les lois de Kepler , est le seul dont notre analyse actuelle permette une solution vraiment rationnelle, et encore avons-nous reconnu combien sont pénibles les calculs qu’elle exige. C’est donc à ce type , plus éloigné de la réalité, que les géomètres sont obligés de rapporter, par des approximations successives extrêmement compliquées, les vrais rnouvemens des astres, en accumulant les perturbations produites séparément par chaque corps susceptible d’nne iufluence appréciable ; l’intégration des équations relatives au cas des trois corps ne pouvant s’opérer que par des séries ordonnées de diverses manières suivant les perturbations qu’on veuL mettre en évidence.

La petitesse ordinaire des perturbations a d’abord naturellement introduit cette manière de procéder, puisque le mouvement elliptique représente suffisamment, pendant un temps plus ou moins long, le véritable état du ciel. Elle a été ensuite érigée en principe, quand les géomètres ont bien connu la nature mathématique du problèmegénéral , et l’impossibilité de le trniter autrement que par approximation. C’est Lagrange qui a essentiellement donné à cette marche nécessaire son caractère méthodique définitif, en créant sa célèbre théorie générale de la variation des cous-

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tantes arbitraires, si fondamentale dans toute la mécanique céleste, dont elle tend à régulariser les recherches et à rendre les procédés uniformes aussi rationnels que le comportent les difficultés insurmontables radicalement inhérentes à la question réelle. L’esprit de cette théorie consiste à concevoir le mouvement effectif d’un astre quelconque comme s’il était véritablement elliptique, mais avec des élémens variables, au beu d’élémens fixes. Dès lors, Lagrange a établi des formules analytiques entièrement générales, pour.déterminer les variations qu’éprouve chacun des six éléniens , lorsque la force perturbatrice est donnée. L’étude de la mécanique céleste sera beaucoup simplifiée, quand l’usage direct de cette belle méthode y deviendra prépondérant.

Pour se diriger dans le choix des perturbations dont il convient d’apprécier l’influence, la loi fondamentale de la gravitation permet immédiatement de comparer avec exactitude les diverses influences secondaires propres à chaque cas , du moins en regardant toutes les masses comme bien connues. Il suffit, en effet, de diviser le rapport des masses de deux astres modificateurs par le quarré du rapport de leurs distances à l’astre modifié , et ce quotient fait aussitôt distinguer quelle est la force perturbatrice qu’il faut principale-»

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ment considérer, et quelle peut être , en général , la part d’influence de chacune des autres. Sous ce rapport fondamental , il faut reconnaître que la constitution effective de notre monde favorise éminemment la simplification de nos recherches mathématiques. Car , les astres qui le composent ont tous , comparativement au soleil , des masses extrêmement faibles, ce qui est la condition première de la petitesse habituelle des perturbations ; mais, de plus , ils sont peu nombreux , très écartés les uns des autres , et fort inégaux en masse , d’où il résulte que, dans presque tous les cas, et surtout dans les plus importans, le mouvement principal n’est sensiblement modi6é que par l’action d’un seul corps. Si , comme il arrive peutêtre dans quelque autre monde, les astres du système eussent été, au contraire , plus multipliés , presque égaux en masse, très rapprochés, et beaucoup moins différens de l’astre central, quand même les inclinaisons et les excentricités de leurs orbites eussent continué à être fort petites , il est évident que les perturbations seraient devenues beaucoup plus considérables , et surtout bien plus variées, puisqu’un grand nombre de corps auraient presque également concouru à chacune d’elles. Ainsi, dans un tel arrangement, la mécanique céleste aurait probablement présenté une

complication inextricable, n'étant plu» essentiellement réductible au seul problème des trois corps. «• »

L’étude dynamique des modifications du mort'

vement elliptique des différens astres de notre monde, reproduit naturellement, et parles mêmes motifs, la distinction fondamentale que j’ai établie dans la vingt-troisième leçon, sous le point de vue géométrique, entre les trois cas généraux, inégalement difficiles, des planètes, des satellites et des comètes. En procédant avec toute la rigueur mathématique, il faudrait ici considérer sans doute un nouveau cas , celui du soleil , qui ne peut plus être regardé comme parfaitement immobile, en vertu de la réaction nécessaire que les planètes exercent sur lui. Les phénomènes intérieurs de notre monde ne comportent en effet d’autre point absolument fixe que le centre de gravité général de ce système, dont la position , d’après les lois abstraites du mouvement , demeure entièrement indépendante de tontes les actions mutuelles, quand même elles seraient beaucoup plus grandes. C’est, à vrai dire, ce centre de gravité qui constitue le foyer réel des mouvemeus planétaires, et le soleil lui-même doit osciller continuellement autonr délai, dans des directions toujours variables suivant la situation des planètes. Mais, d’après la

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grandeur el la masse du soleil comparées aux. distances et aux masses de tous les autres corps du système, il est évident que ce point tombe toujours entre le centre du soleil et sa surface. Ce ' serait donc affecter vainement d’introduire dans la dynamique céleste une précision qu’elle ne saurait comporter par tant d’autres motifs bien plus puissans, que d’y vouloir tenir compte de ces oscillations solaires, dont aucune observation ne parviendra probablement jamais à constater l’existence. On doit donc continuer à traiter le soleil comme rigoureusement fixe, sauf sa rotation. La même considération ne semble pas d’abord devoir être aussi négligée dans les systèmes partiels formés par une planète et ses satellites, où la disproportion des masses est quelquefois beaucoup moindre. Mais les distances étant pareillement réduites, le résultat se trouve être essentiellement identique, même à l’égard du système de la terre et de la lune, qui offre la disposition la plus défavorable, et dont néanmoins le centre de gravité est toujours situé dans l’intérieur de la terre. Cette circonstance peut donc être entièrement écartée de l’étude des mouvemens de translation , qui n’en sauraient éprouver 'que des modifications imperceptibles. Ainsi, la mécanique céleste ne présente réellement, dans cette étude,

d’autres problèmes essentiels que ceux déjà traités, sous un autre point de vue, par la géométrie céleste. 1

Le problème des planètes est ici , comme là , le plus simple de tous, et par suite des mêmes ca- . ractères, la petitesse des excentricités et des inclinaisons de leurs orbites, qui doit évidemment simplifier autant les approximations dynamiques que les séries géométriques. Outre cette influence algébrique , il en résulte surtout une bien plus grande fixité des perturbations, puisque chaque astre, demeurant toujours ainsi dans les mêmes régions célestes , se trouve saus cesse daus les mêmes rapports mécaniques, quoique leur intensité varie nécessairement entre certaines limites. Le cas le moins avantageux de cette première classe est malheureusement celui de notre planète, à cause du lourd satellite qui l’escorte de si près, et auquel sont dues ses principales perturbations, ce qui ne l’empêche pas d’ailleurs d’être sensiblement troublée, en outre, à l’époque des oppositions, surtout par une masse aussi supérieure que celle de Jupiter. Aucune autre planète à satellites ne se trouve dans un ensemble de conditions aussi défavorables; car, le mouvement de Jupiter, par exemple , ne saurait être notablement dérangé par l’action de ses satellites, quoique proportionnellement plus voisins,

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puisque ia masse du plus considérable n’est pas tout-à-fait la dix-millième partie de la sienne, tandis que la masse lunaire est seulement soixantehuit fois moindre que celle de notre globe. Aussi la circulation de Jupiter n’est-elle sensiblement altérée que par l’influence de Saturne. Le cas le plus simple paraît toutefois devoir être celui d’Uranus , comme étant la dernière planète , en même temps qu’elle se trouve toujours extrêmement loin , de celle qui la précède immédiatement : ses six satellites ne paraissent pas troubler beaucoup son mouvement.

Le problème des satellites est nécessairement plus compliqué que celui des planètes, à cause de la mobilité du foyer du mouvement principal, comme en géométrie céleste. Il en résulte que , même abstraction faite des perturbations qui lui sont propres, toutes celles qu’éprouve la planète correspondante viennent inévitablement se réfléchir sur lui. C’est ainsi, par exemple, que la petite accélération perpétuelle du moyen mouvement de la luue avait si long-temps vainement occupé les fondateurs de la mécanique céleste, qui la regardaient comme inexplicable , jusqu’à ce que Laplace eut démêlé sa véritable cause dans la légère variation à laquelle est assujettie l’excentricité de l’orbite terrestre. Quant aux perturba-

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tions directes du mouvement des satellites , le pro* blême général exige une distinction essentielle, suivant que la planète a un seul satellite, ou plusieurs. Dans le premier cas, qui n’existe que pour la lune, l’astre perturbateur est essentiellement le soleil, à cause de son inégale action sur la planète et sur son satellite. Il est clair, en effet, que si la terre et la lune gravitaient vers le soleil avec la même énergie et dans la même direction , cette action commune ne pourrait aucunement altérer le mouvement relatif de la lune en vertu de sa pesanteur terrestre. La différence de direction peut être presque négligée, mais non celle d’intensité. Il en résulte une force perturbatrice, dont la loi doit être naturellement analogue à celle considérée dans la leçon précédente au sujet des marées, en raison directe de la masse du soleil et inverse du cube de sa distance à la terre. Elle est ainsi seulement cent quatre-vingts fois plus petite que l’action de la terre sur la lune , et , par conséquent, elle doit fortement altérer le mouvement principal. C’est par là , entre autres, que les géomètres ont exactement expliqué ces grands dérangemens connus dès l’origine de l’astronomie, la révolution rétrograde des nœuds de l’orbite lunaire en dix-neuf ans environ , et celle , encore plus rapide , de son périgée en un peu moins de neuf ans.

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Il €ii est (if même des inégalités moins prononcées, qui lie sauraient être énumérées ici. 11 faut considérer, en outre, que la force perturbatrice variant alors, d’après la distance, bien plus rapidement que pour les planètes , le déplacement de la terre , même en s’y bornant au mouvement elliptique, change sensiblement l’intensité de cette force, ce qui introduit une complication nouvelle dans la théorie luuaire. Cependant, si celte théorie est justement réputée plus difficile que celle d’aucun autre satellite, cela tient surtout à ce que sa précision nous importe bien davantage, en meme temps que les observations manifesteraient beaucoup mieux son imperfection. Car, d’ailleurs , sous le point de vue mathématique, il y a réellement une complication bien supérieure dans le cas de la pluralité des satellites, qui nous reste maintenant à signaler. Alors, en effet, toutes les considérations propres au cas précédent se reproduisent nécessairement, à l’égard du mouvement de chaque satellite, quoique leur influence puisse être réellement moindre. De plus , il faut tenir compte de l’action encore plus embarrassante, et pourtant aussi essentielle au moins, des divers satellites les uns sur les autres. Les complications hypothétiques indiquées ci-dessus envers les planètes d’un autre monde , se trouvent ici pleinement réalisées

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par l’extrême rapprochement et l’inégalité peu prononcée de ces différentes masses, qui peuvent être au nombre de six ou sept à traiter simultanément. Cette difficulté fondamentale se trouve, il est vrai, un peu compensée par la prépondérance de l’action de la planète, beaucoup plus prononcée que dans le cas précédent, et qui doit rendre les perturbations mutuelles des satellites bien moins considérables. Mais les obstacles inhérens à cette recherche n’en sont pas moins tels que jusqu’ici la mécanique céleste n’a réellement établi à cet égard que la théorie des satellites de Jupiter, au sujet desquels La place a découvert deux propriétés remarquables que présentent constamment, malgré toutes leurs perturbations, les positions et les vitesses de trois d’entre eux. Les tables des satellites de Saturne et d’Uranus ne sout encore construites que sous le point de vue géométrique , sans qu’on ait même aucune valeur approchée de leurs masses. Il faut reconnaître , toutefois , que nous n’avons heureusement aucun besoin de rendre leur étude aussi parfaite que celle de la lune , leur office pratique à l’égard de la détermination des longitudes pouvant être aisément suppléé. On conçoit d’ailleurs que notre grand éloignement de ces mondes secondaires nous permet de représenter suffisamment leur observation par

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une théorie bien plus grossière que ne doit l’être celle relative à un astre aussi rapproché que la lune, dont les moindres irrégularités nous deviennent nécessairement très appréciables. Quoique la mécanique céleste ait quelquefois réellement devancé* l’exploration directe envers certains petits phénomènes peu importans, il ne faut point, ce me semble, que de tels exemples nous conduisent à exagérer notre ambition spéculative, qui doit sans doute se réduire, en général , à porter dans nos explications un degré de précision correspondant à celui des observations effectives. Un tel rôle est certainement assez élevé et assez difficile, pour provoquer le plus complet développement de nos forces intellectuelles : le reste serait , même en astronomie, essentiellement illusoire.

Quelles que soient les difficultés fondamentales de la théorie dynamique des satellites , les circonstances caractéristiques propres au problème des comètes doivent le rendre encore plus compliqué. 11 est clair, en effet, que, par suite de l’extrême allongement et de l’inclinaison en tous sens de leurs orbites, ces astres se trouvent, pendant leur révolution autour du soleil, dans des rapports mécaniques continuellement variables, à cause des dilférens corps près desquels ils viennent successivement à passer; tandis que les planètes,