CB CB

Soit A" la projection de B" sur Taxe et remarquons que, l'ouverture du miroir étant petite, on peut regarderie points comme projection du point I ; il vient

ÇA SA

CA"~" "* SF*

Donc les points A' et A" sont sensiblement confondus, et aussi les points B' et B".

Or la relation (3) est identique à celle qui détermine la position respective des plans conjugués. Donc la propriété des plans conjugués subsiste, à la seule condition que les rayons incidents et, par conséquent, les rayons réfléchis, passent dans le voisinage du centre ou, en d'autres termes, soient des rayons centraux,

56. Formule générale des miroirs. — Etant donné un point B dans un plan BA, la position de son image B' dans [le [plan conjugué B'A' est déterminée soit par Taxe secondaire BCB', soit par le rayon BSB' qui tombe au sommet du miroir. Nous avons donc à étudier avant tout l'image d'un point A situé sur l'axe principal.

La position de cette image est donnée par la formule (2). Si, dans

r cette formule, on suppose p infini, on trouve p' = ç^- En d'autres

termes, si le miroir reçoit un faisceau lumineux parallèle à son axe principal, les directions des rayons réfléchis passent toutes par le milieu F de la distance SC. Ce point F s'appelle foyer principal^ le plan focal correspondant, plan focal principal, et la distance SF, distance focale principale; désignons-la par fei introduisons-la dans la formule (2), il vient

C'est \ équation aux distances conjuguées.

Il est souvent avantageux de prendre pour variables, au lieu des distances SA et SA', les distances FA et FA' (fig. 44) comptées à partir du foyer principal; appelons-les q et q\ Les relations A Ç 4' ? Is

SA = SF + FA

SA' = SF -h FA'

permettent de remplacer dans l'équation (4)

p par /* -f- q, p' par f -}- q\

La substitution conduit à la formule

(5) qq' = fK

C'est la formule de Newton,

Les équations (4) et (5) représentent la même hyperbole équilatère (fig. 45) rapportée, dans le premier cas à des axes passant par son sommet S, dans le second cas à des axes passant par son centre F.

Dans la théorie précédente, nous n'avons fait aucune hypothèse sur les positions respectives des points P, P' et C ; la

relation (1) est absolument générale, comme il est facile de le vérifier; les équations (4) et (5), qui en dérivent, sont donc toujours vraies en grandeur et en signe. Pour indiquer le sens des segments p, p', 7-, /*, q et q\ nous choisirons sur Taxe du miroir un sens positif: ce sera, par exemple, le sens d'un segment dirigé en avant du miroir, c'est-àdire en sens inverse de la propagation des rayons incidents.

Cela posé, les divers cas qui peuvent se présenter sont les suivants : Si le miroir est concave, son centre est en avant, reif sont positifs. Si le miroir est convexe, son centre est en arrière, r et /"sont négatifs.

Si io point lumineux est devant le miroir, celui-ci reçoit de la lumière divergente, p est positif.

Si, à l'aide d'un premier miroir, d'une lentille, ou par tout autre moyen, on fait tomber sur le miroir un faisceau de lumière convergente qui se trouve intercepté en avant de son sommet, le point de rencontre des directions des rayons incidents est en arrière du miroir; on dit que le point lumineux P est virtuel et la distance p est négative.

Si les rayons réfléchis forment un faisceau convergent, ils produisent une petite tache lumineuse sur un écran placé enP'; ou bien on aperçoit cette image P' en plaçant l'œil sur le trajet des rayons réfléchis, à une distance convenable, et en ayant soin de regarder en deçà du miroir, au lieu de regarder au delà, comme on est habitué à le faire devant un miroir plan ordinaire. L'image P' est dite réelle ou aérienne) p' est positif.

Si enfin les rayons réfléchis forment un faisceau divergent, l'image P' est virtuelle et ne peut être reçue sur un écran; on ne peut la voir qu'en plaçant l'œil surHie trajet des rayons réfléchis; p' est négatif. 57. Mlpoir concave. — Considérons en particulier un miroir concave ; dans la formule (4), f est positif. La discussion de la formule (4) ou de la formule (5), ou l'examen de la courbe (fîg. 45) qu'elles représentent, conduit aux résultats suivants :

Si le point lumineux A est à l'infini (lumière incidente parallèle), le point A' est au foyer principal (fig. 46, 1).

Si le point lumineux se rapproche (fîg. 46, 2), son image va audevant de lui et ils se rencontrent au centre C (fîg. 46, 3); en effet, quand le point lumineux est au centre, tous les rayons tombent normalement sur le miroir et reviennent sur euxmêmes.

Le point A continuant de se déplacer de gauche à droite (fîg. 46, 4), A' se déplace en sens inverse de plus en plus rapidement, et, quand le point A est au foyer principal (fig. 46, 5), les rayons réfléchis sont parallèles, ou A' est à Tinfîni.

Puis Fimage A' devient virtuelle et, quand le point A se déplace entre le foyer principal et le miroir i^fig. 46, 6), elle se déplace de l'infini au sommet S du miroir, où le point lumineux et son image se rencontrent.

Le point lumineux A passant derrière le miroir, et devenant virtuel (lumière convergente), son image passe devant et devient réelle (fig.

Le point de convergence A des

rayons incidents se déplaçant ainsi . ç,

entre la surface du miroir et l'infini, l'image A' se déplace entre la surface et le foyer principal.

Enfin, supposer le point de convergence A à l'infini, c'est supposer un faisceau de rayons parallèles et revenir au point de départ : les rayons réfléchis concourent de nouveau au foyer principal (fig. 46, 8). Sur l'hyperbole qui résume cette discussion (fig. 45), on a indiqué la nature de l'image correspondant aux diverses branches de courbe.

38. Champ da miroir. — Supposons un œil placé devant un miroir sphérique en un point quelconque A. On appelle champ du miroir, par rapport au point A, la partie de l'espace dans laquelle doit se trouver un point lumineux pour être vu du point A. Or, tous les rayons

Fig. 46.

Fipr. 47.

aboutissant en A, après leur réflexion sur le miroir, passent, avant leur réflexion, par le point conjugué A'; le champ est donc limité, d'une part par le miroir, d'autre part par un cône ayant pour sommet A' et pour directrice le contour du miroir.

Bien entendu, l'image d'un point situé dans le champ ne sera vue nettement que si elle se forme à une distance convenable de l'œil. En particulier, si le point lumineux était en A', son image A coïnciderait avec l'œil et au lieu d'éprouver la sensation d'un point lumineux, on verrait la surface du miroir toute illuminée.

59. Miroir coDvexe. — Dans le cas d'un miroir convexe, f est négatif et la discussion de la formule donne les résultats suivants :

Soient S, F et C (fig. 47} le sommet,

Ç..-X- -|s -- le foyer et le centre

d'un miroir convexe MN. Le point lumineux se déplaçant depuis une distance très grande jusqu'au point S, l'image, qui est virtuelle, va de F en S. Le point lumineux devenant virtuel, l'image passe en avant et devient réelle; quand le point P va de S en F, elle s'éloigne de S à l'infini. Puis, le point lumineux allant de F en G, elle reparaît derrière le miroir, vient au-devant du point P et le rencontre en C : là, ils se croisent et le point P s'éloignant de C à l'infini, l'image vient de C en F.

L'hyperbole qui résume cette discussion est représentée par la

figure 48.

60. Remarqaes. — Les points A et A' sont toujours du même côté du foyer principal; la formule (5) montre en effet que q et q' doivent toujours P avoir le même signe.

B Les points A et A' mar- ? chent toujours en sens contraire ; p et p' dans la formule (4), q et q\ dans la formule (5), doivent en effet varier en sens inverse.

Les points A et A' se renp. ^g contrent deux fois, au centre

et au sommet.

61. Image d'un objet. — Considérons une ligne droite AB (fig. 49)

perpendiculaire à Taxe principal au point A. Son image sera une droite A'B' perpendiculaire au point A' conjugué de A, le point B B' étant sur l'axe secondaire BG et aussi sur le rayon SB' réfléchi au sommet du miroir. Les deux triangles homothétiques CA'B' et CAB donnent, avec les remarques déjà faites, ^'«' ^^•

A'B' ça; __ __ SA' AB "~ CA — SA '

Appelons y et y' les dimensions homothétiques AB et A'B' de l'objet et de son image ; Téquation précédente, dite équation du grossissement, prend la forme

y p ou, en tenant compte de Téquation (4),

La grandeur de l'image varie donc en raison inverse de la distance de l'objet au foyer principal.

Si le rapport -^ est positif, l'image a le même sens que l'objet,

elle est droite\^\ le rapport est négatif, l'image est disposée en sens inverse de l'objet ou renversée.

Pour déterminer, à Taide d'une construction simple, la position B' de l'image du point B sur l'axe BC, on peut utiliser : soit le rayon BS qui tombe au sommet et se réfléchit dans une direction SB' symétrique par rapport à l'axe; soit le rayon BI parallèle à l'axe, qui se réfléchit en passant par le foyer F ; soit le rayon BF qui passe par le foyer et se réfléchit parallèlement à l'axe.

L'équation aux distances conjuguées et Téquation du grossissement déterminent complètement une image au point de vue de sa position, de sa nature (réelle ou virtuelle), de sa dimension et de son signe (droite ou renversée). La considération du rayon parallèle à l'axe permet de résumer rapidement la discussion.

62. Miroir concave,. — Considérons, en effet, un miroir concave (fîg. 50) et un objet AB qui se déplace devant ce miroir de façon que, son extrémité A restant sur l'axe, son extrémité B décrive la parallèle BL Le rayon réfléchi IF reste fixé; c'est le lieu de l'image du point B; l'image de AB se déplace dans l'angle formé par les droites IF et CS.

En faisant tourner autour du point C l'axe secondaire BC, on a les

diverses positions correspondantes des points B et B'. Ainsi le point B prenant successivement les positions B^, B^ (dans le plan focal du centre), Bg, B^, I et Bg (objet virtuel), son image se place en B'^ (image réelle, renversée, plus petite que Tobjet), h\ (renversée, égale à l'objet et dans le même plan), B'3 (renversée, plus grande),

Fig. 50.

B\ (virtuelle, droite, plus grande), I (droite, égale à Tobjet et dans le même plan), B\ (réelle, droite, plus petite).

63. Miroir convexe. — La figure 51 résume de même la discussion pour un miroir convexe. L'objet réel ne donne d'images que dans l'angle IFS; l'objet virtuel donne, au contraire, des images de positions variées.

64. Objet très éloigné. — Un cas particulier important est celui

Bj a

d'un objet excessivement éloigné, mais ayant des dimensions assez grandes pour avoir un diamètre apparent appréciable.

Supposons, par exemple, un miroir concave tourné vers le soleil, de telle sorte que son axe principal SC (fig. 52) soit dirigé vers le centre de cet astre. Tous les rayons qui, partis de ce centre, tombent sur le miroir, peuvent être regardés comme parallèles; ils vont, après leur réflexion, passer par le foyer principal F où se formera, par conséquent, une image du centre du soleil. Les rayons venus du bord supérieur du soleil peuvent aussi être regardés

Fig. 52.

comme parallèles entre eux, mais Taxe secondaire CD de leur faisceau fait avec Taxe principal un angle égal au demi-diamètre apparent du soleil. Ils iront, après leur réflexion, concourir au milieu A' de CD; de même, le bord inférieur donnera une image B' et, finalement, une image A'B' du soleil se formera dans le plan focal principal.

Cette image sera très petite, puisque son diamètre sera égal à la longueur d'un arc d'un demidegré environ dans un cercle de rayon CF; aussi, quand on expose un miroir concave au soleil, les rayons réfléchis semblent-ils aller concourir tousàpeuprèsau même point.

La chaleur des rayons solaires se trouve concentrée en cette image, en même temps que leur lumière : on peut le constater en plaçant en F un corps combustible qui prend feu aussitôt; c'est cette. circonstance qui a fait donner à ce point le nom de foyer.

Quand un nuage, un dépôt de rosée, etc., est exposé au soleil, chacun des points lumineux dont il semble formé est une image excessivement petite du soleil dans le miroir convexe formé par la surface d'une petite gouttelette d'eau.

65. Vérifications expérimentales. — Indépendamment des observations précédentes, on vérifie expérimentalement toutes ces conséquences des lois de la réflexion de la lumière en observant dans un miroir concave l'image d'un objet très brillant, par exemple la flamme d'une bougie. Si l'on place d'abord la bougie très loin du miroir, on en voit, en plaçant l'œil d'une manière convenable, une petite image renversée; on vérifie qu'elle produit la sensation d'un objet placé en avant du miroir (62). On peut, d'ailleurs, recevoir cette image sur un écran.

Si l'on approche la bougie, l'image s'éloigne en grandissant; elle aura les mêmes dimensions que la bougie quand on devra, pour la recevoir, mettre l'écran à côté de cette dernière; puis elle deviendra de plus en plus grande jusqu'au moment où la bougie sera entre le miroir et le foyer ; alors on verra, en regardant dans le miroir, une image droite, très agrandie, mais dont les dimensions diminuent à mesure qu'on rapproche la bougie davantage.

L'expérience bien connue du bouquet renversé vérifie le cas particulier où l'image et l'objet sont à la même distance du miroir.

Les petites images droites et virtuelles qu'on aperçoit dans les boules étamées des jardins se forment conformément à la théorie des miroirs convexes. Pour produire, avec ces miroirs, des images

réelles, il faudrait, à Taide d'un premier miroir concave MN (ou d'une lentille) (fig. 53), produire une image réelle A'B'd'un objet AB; la ppsition de A'B' étant bien déterminée à l'aide d'un écran, on placerait en avant le miroir convexe S à une distance SA' plus petite que la distance SF; A'B' jouant alors le rôle d'objet virtuel donnerait (63) une image réelle A'B" dont on pourrait mesurer la distance SA' au miroir. On a, sur la figure, indiqué par des hachures

Fig. 53.

les régions de l'espace parcourues par les rayons émanés du point B.

66. Mesure de la distance focale. — i^ A Vaide d'un objet lumineux. — Les expériences citées au paragraphe précédent, et dans lesquelles ont peut mesurer p et p\ permettent de calculer /par la formule

67. 2** i4 Vaide du soleil. — Si, dans une chambre obscure, on fait arriver sur un miroir concave les rayons du soleil, et qu'on prenne

soin d'illuminer leur route H^ g| en répandant des pous-

sières dans l'atmosphère, il sera facile de déterminer Tendroit où le faisceau réfléchi est le plus étroit; c'est là qu'est l'image du soleil et, par conséquent, le foyer (64). On aura plus de précision en limitant le faisceau incident à l'aide d'un diaphragme percé de deux petits trous; on cherchera, à l'aide d'un écran, l'endroit où se rencontrent les pinceaux lumineux réfléchis.

Cette dernière disposition s'impose si le miroir est convexe. On fait tomber sur le miroir, parallèlement (ou à peu près) à son axe principal, deux faisceaux de rayons solaires, AE, BD (fig. 54), au tra-

Fig. 54.

vers d'ouvertures étroites, A et B, pratiquées dans un écran. Les rayons réfléchis vont former deux taches lumineuses en G et K. On cherche à quelle distance on doit placer l'écran pour que GK soit double de AB; cette distance est précisément la distance focale principale. Considérons, en effet, Taxe CSI du miroir, parallèle aux axes des faisceaux lumineux ; si F est le milieu de CS, les taches G et K se forment dans les directions FE, FD. En négligeant la courbure du miroir, on a

GK r= 2AB = 2ED ;

par suite,

FI = 2f et SI = f,

68. 3° A Vaide du sphéromètre. — Enfin, le procédé le plus précis consiste à mesurer, à l'aide d'un sphéromètre (275), le rayon de courbure du miroir : la distance focale est égale à la moitié du rayon.

69. Aberration de sphéricité. — Nous avons supposé jusqu'à présent les. rayons incidents assez voisins des axes secondaires pour qu'on pût négliger la

quantité a (53). Consi- ^^

dérons maintenant un miroir concave MN (fîg.

55) et un faisceau de rayons parallèles tombant parallèlement à l'axe principal CS. Soit F le foyer principal des rayons tombant dans le voisinage du sommet ou rayons centraux, A le foyer principal des rayons marginaux tels

que LM. La distance AF s'appelle aberration longitudinale. Pour la déterminer, considérons le triangle isoscèle ACM et appelons w l'angle en C, c'est-à-dire la demi-ouverture (57) du miroir. On a