SIPHON ET VASE DE MARIOTTE

562. Siphon. — Le siphon est un instrument destiné à transvaser un liquide d'un vase dans un autre, sans pratiquer aucun orifice dans leurs parois. 11 se compose d'un tube AB (fig. 418) deux fois

recourbé, et dont les branches sont d'inégales longueurs. La petite branche A plonge dans le vase contenant le liquide à transvaser et, si le siphon est luimême plein de liquide, ce dernier s'écoule d'une façon continue dans le vase B. Ce phénomène est facile à expliquer. Supposons, en effet, le tube AB plein de liquide et limité au niveau XY du liquide dans le vase B, ce qui ne change évidemment rien au phénomène; nous pourrons considérer le vase A, et le tube AB plein de liquide, comme formant par leur ensemble un vase de forme particulière percé d'un orifice au niveau XY. Soient :

h la différence de niveau des plans XY, X'Y',. Aq la pression sur le plan X'Y' de la surface libre, évaluée en colonne du liquide,

h^ la pression sur le plan XY de l'orifice, évaluée aussi en colonne du liquide.

Supposons l'écoulement momentanément arrêté par un obstacle, un bouchon, par exemple, placé en M, à une hauteur z au-dessus du

Fig. 418.

ECOULEMENT DES LIQUIDES 499

niveau XY. Ce bouchon supporte à sa partie supérieure une pression hç^-h h — z, à sa partie inférieure une pression A, — z ; il est donc sollicité de A vers B par la différence

/i -f- Ao — Aj

ou bien

jjL el jx' étant les masses spécifiques du liquide et du milieu ambiant.

Si [tf < [JL, c'est-à-dire si le fluide à transvaser est plus lourd que le milieu ambiant, il s'écoulera du vase Avers le vase B. Si, au contraire, {x' > jx, Técoulement se fera en sens inverse. C'est ce qui arriverait si Ton voulait transvaser de l'hydrogène dans l'air ou de rhuile dans l'eau; les deux vases A et B devraient alors avoir leurs ouvertures tournées vers le bas. Enfin, si (jl' = {jl, il y a équilibre et récoùlement ne se produit pas.

Dans le cas d'un liquide à transvaser dans l'air, (x' est négligeable par rapport à [x, et la différence des pressions se réduit à h.

Si le siphon' était placé dans le vide, l'appareil ne pourrait plus servir. En effet, nous avons admis qu'à l'origine le siphon était plein de liquide, ce qui ne peut plus avoir lieu, Iç liquide contenu dans les deux branches n'étant plus soutenu par la pression atmosphérique, et descendant par chacune d'elles pour retomber dans le vase A aussi bien que dans le vase B. En d'autres termes, la longueur maximum que l'on puisse donner à la branche A est égale à la hauteur de la colonne du liquide à transvaser, qui mesure la pression du milieu ambiant sur le plan X'Y'.

Si Tôrifice inférieur du tube AB pouvait être assimilé à un orifice percé en mince paroi, la vitesse de l'écoulement serait donnée par la formule de Torricelli

Dans tous les cas, la vitesse varie dans le même sens que la différence h des niveaux du liquide dans les deux vases et, comme cette différence va en diminuant, l'écoulement est de plus en plus lent et le débit du siphon diminue de plus en plus. 11 est toutefois possible de disposer le siphon de manière à obtenir un écoulement constant. A cet effet, on le suspend, de façon que ses deux branches restent verticales, à une corde qui passe sur deux poulies et supporte un contrepoids à son autre extrémité; la petite branche est engagée dans un flotteur en liège, et le contrepoids est tel que le flotteur reste à la surface du liquide, lorsque le siphon est amorcé. Par ce moyen, le siphon s'abaisse avec le niveau du liquide dans le vase A,

et, si la grande branche ne plonge pas dans le liquide du vase B, la différence h reste évidemment constante.

De plus, pendant toute la durée de Técoulement, le siphon est poussé en sens inverse du mouvement du liquide (421). Cette réaction a pour effet de maintenir la plaque de liège constamment appliquée sur la surface libre, et, par suite, d'assurer la stabilité de Tappareil.

563. Amorcement du siphon, — Pour que le siphon fonctionne, il faut qu'il ait été amorcé. Cet amorcement se fait de bien des façons

différentes.

1® On incline le siphon après ravoir renversé, de manière que ses deux extrémités A et D (fig. 419) soient sur un même plan horizontal, et on le remplit directement de liquide; l'orifice A est alors fermé au moyen d'un bouchon, Torifice D au moyen du doigt, et le siphon est redressé de manière que A plonge dans le liquide à transvaser. On enlève le bouchon et le doigt, le siphon est amorcé.

2° Le siphon étant en place, on aspire avec la bouche le liquide par la grande branche. S'il s'agit d'un liquide vénéneux ou corrosif, l'aspiration se fait au moyen d'un tube latéral, soudé à la partie inférieure de la grande branche B' et portant un renflement B ài sa partie supérieure (fig. 420), l'extrémité inférieure de la grande

Fig. 419.

Fig. 420.

branche est fermée pendant l'amorcement, jusqu'à ce que le liquide ait dépassé la soudure des tubes B et B'.

3^ Le siphon étant en place, on accroît la pression sur la surface du liquide à transvaser. La figure 421 représente la disposition

ECOULEMENT DES LIQUIDES

adoptée dans les laboratoires. En soufflant dans le tube T jusqu'à ce que le liquide descende dans Je siphon ABC au-dessous du niveau MN, le siphon est amorcé. En aspirant par le tube T jusqu'à ce que le liquide remonte dans le siphon ABC au-dessus du niveau MN, le siphon cesse d'être amorcé, et l'écoulement s'arrête. 4*» Un siphon peut fonctionner sans être complètement rempli de

Fifç. 422.

liquide; il suffît pour cela que, la force élastique de l'air qui y est enfermé et celle de l'atmosphère étant mesurées en colonne du liquide, la seconde surpasse la première de toute la hauteur de la petite branche. Tel est le principe de la disposition employée dans l'industrie pour le transvasement de l'acide sulfurique après sa concentration. Le siphon ABGD (fîg. 422) est en platine, l'extrémité de la grande branche est munie d'un robinet R, et son sommet de deux entonnoirs en platine E et E' qu'on peut ouvrir ou fermer à volonté au moyen de deux petits bouchons coniques en platine e et e\ Le robinet R étant fermé, on ouvre e et e\ et on verse de l'acide dans la grande branche; lorsqu'elle est remplie de liquide, on ferme les deux entonnoirs, on plonge la petite branche dans l'acide, et on ouvre le robinet R; le liquide contenu dans la grande branche s'écoule, l'air contenu dans l'appareil se raréfie, le liquide monte dans la petite branche, et, si la longueur CD est suffisante, il dépasse la courbure et le siphon est amorcé.

564. 11 est facile de calculer la longueur minimum à donner à la grande branche pour que l'amorcement soit possible. En effet, en même temps que le liquide s'écoule par la grande branche CD, il monte par la petite branche AB (fig. 423 et 424), et, si l'on suppose que Tair ne puisse pas rentrer par l'extrémité D (qu'elle soit rétrécie

par exemple, ou qu'elle plonge dans le liquide), il est clair que, au moment où les hauteurs du liquide seront égales dans les deux branches, elles se feront équilibre et l'écoulement par D s'arrêtera.

La longueur limite de CD est donc celle qui produit, à l'instant de

Fig. -iîa.

Fig. 424.

Téquilibre, une élévation du liquide égale à la longueur AB de l'autre branche; car, pour une longueur de CD plus grande, le liquide soulevé traverserait BG et le siphon serait amorcé.

Or soient a et x les longueurs des deux branches du siphon ; Tair occupe primitivement le volume a sous la pression atmosphérique H (H est évalué en colonne du liquide); il occupe, au moment de

Tamorcement, le volume x sous la pression H — a, x étant

l'angle des deux branches. On a donc, en vertu de la loi de Mariette,

(r ^^ (H — a) == aH,

\ cos a/ ^ ^ '

a , aH cos a "■" H — a'

Si le siphon avait la forme ordinaire (fig. 418), le calcul serait tout aussi simple; et, en désignant par a et a? les longueurs des deux branches verticales A et B, par h la longueur du tube horizontal qui les sépare, on trouverait aisément

en supposant que le liquide ne puisse pas se diviser dans la branche horizontale.

Ces deux exemples suffisent pour indiquer la méthode qui servirait à trouver la longueur de la branche extérieure du siphon, dans le cas où les deux branches auraient des directions ou des diamètres quelconques.

ÉGOUtEMENT DES LIQUIDES

ft'

cyf^z?^

TzizznnZà.

565. Flacon de Marlotte. — Le but principal d6 cet appareil est de fournir un écoulement constant. C'est un flacon (flg. 425) dans lequel plonge un tube T, glissant à frottement dur dans le bouchon qui le ferme, et à la partie inférieure duquel on a percé un petit orifice o. Le flacon et le tube jetant remplis d'eau, si l'on ouvre l'orifice o, le liquide s'écoule et le tube se vide d'abord ; on voit eBSuite une série de bulles d'air s'introduire par l'extrémité ^, et monter à la partie supérieure du flacon. A partir du moment où la première bulle apparaît, la vitesse d'écoulement reste constante jusqu'à ce qu'il n'y ait plus d'eau dans l'espace ABGD qui entoure le tube.

Fig. 425.

En effet, supposons qu'à l'origine le flacon soit rempli d'eau, et que le tube lui-même en contienne jusqu'en G, par exemple. Au moment où l'on ouvrira l'orifice o, l'eau contenue dans le tube descendra sous l'action de la pression atmosphérique, jusqu'à ce que son niveau soit arrivé en i\ tandis que, sous l'action de cette même pression, le liquide contenu dans ABCD restera en équilibre, absolument comme l'eau d'un baromètre à eau (467). A partir du moment où le liquide est en ^, il se produit un écoulement constant, dû à la différence A des niveaux CD et oo' *. En même temps si, comme cela arrive toujours (car les flacons de Mariotte ont ordinairement de faibles dimensions), la hauteur BD est moindre que 10"*, 33, la pression exercée par le liquide contenu dans ABCD étant moindre que la pression atmosphérique qui s'exerce en f, Tair entrera par l'extrémité t du tube et se logera à la partie supérieure du flacon aussitôt qu'un vide s'y produira, exerçant à la surface du liquide une pression égale à la dijOTérence entre la pression atmosphérique H évaluée en colonne du liquide et la hauteur DF du liquide qui surmonte l'extrémité du tube. Le liquide s'écoulera donc par l'orifice o en vertu d'une charge constante A, et, si la paroi est assez mince pour qu'on puisse appliquer le théorème de Torricelli, la vitesse d'écoulement aura toujours pour valeur

1. En réalité, Pair rentre par bulles dans le flacon, de sorte que la pression est légèrement variable au niveau de rorifîce. Le jet s'abaisse à chaque bulle qui 96 forme et se relève à chaque bulle qui se dégage. On corrige cet effet en «ffilant ou, mieux, en taillant en biseau Pextrémité du tube.

Il en sera ainsi tant que l'espace ABCD ne sera pas vide, c'est-à-dire tant que le liquide intérieur n'aura pas atteint l'extrémité t du tube.

Au lieu de munir l'appareil d'un tube engagé dans un bouchon fermant le flacon, on peut simplement renverser sur le liquide un ballon préalablement rempli de ce liquide (fig. 426). Le niveau, dans le vase en expérience, se fixe à l'orifice du ballon, et la vitesse d'écoulement reste constante.

566. Rentrée de l'air, — Nous avons dit que, pendant l'écoulement, Tair rentrait par l'extrémité inférieure du tube T; il est facile de se rendre compte de la manière dont s'efiFectue ce phénomène. Au bout du temps ^ compté à partir de l'origine de l'écoulement, le niveau du liquide se trouve en EF (fig. 425), à une distance z de la paroi supérieure du flacon supposé parfaitement cylindrique^ et, si S est la différence entre la section du flacon et celle du tube, le volume de l'air est égal à sS; au même instant, sa pression est H — {/ — z) puisque, sur le plan CD, la pression est constamment égale à H. A étant une constante, la masse M d'air intror duite peut donc être représentée par l'expression

(1) M = ASz(H — Z + 2).

D'autre part, puisque l'écoulement est constant, le volume d'eau écoulé est proportionnel à la durée de l'expérience, et l'on a, s désignant la section de l'orifice o,

Sz = svt ;

Fig. 426.

d'où, en remplaçant z dans l'équation (1) par sa valeur en fonction de ^

ou encore, a et p étant des constantes positives (H — l est, par hypo^ thèse, une quantité positive),

Or, soit AM l'accroissement de la masse de l'air contenu dans le flacon pendant l'intervalle de temps Af, la vitesse V de rentrée de l'air est égale à la limite du rapport

AM

lorsque l'intervalle A^ tend vers zéro, c'est-à-dire à la dérivée de M considérée comme fonction de < ; on a donc

ECOULEMENT DES LIQUIDES

Kî^

*Aiu:iui^

t îr

\rf

hujJUJJJJ,.,.J>JJJJ^JJ.

C'est-à-dire que la vitesse de rentrée de Tair est, camme la vitesse d'un mouvement uniformément accéléré, représentée par une fonction du premier degré du temps.

En d'autres termes, si les quantités d'eau écoulées pendant des temps égaux sont égales, il n'en est pas de même des masses d'air rentrées dans le même temps; ces masses croissent avec le temps, et suivent la même loi que l'espace dans un mouvement uniformément accéléré.

567. Cas général, — Au lieu du cas que nous venons de traiter, celui d'un tlacon de Mariette primitivement plein d'eau, on peut se proposer d'étudier les phénomènes que présente un flacon de Mario tte contenant d'abord h. sa partie supérieure de l'air sous une pression quelconque H H- A. Si l'on vient à ouvrir l'orifice o (fig. 427), le liquide s'écoule à la fois du flacon et du tube, et le gaz intérieur se détend en même temps; quelles seront, à un instant donné, les positions correspondantes des deux niveaux?

A l'origine, l'excès A de la pression du gaz intérieur sur la pression atmosphérique, évalué en colonne du liquide, est égal à la différence des niveaux dans le tube et dans le vase.

Soit, à un instant donné :

EF le niveau du liquide dans le vase,

ir le niveau du liquide dans le tube,

AJBq le niveau initial du liquide dans le vase,

TT' le niveau initial du liquide dans le tube. Comme, sur toute l'étendue du plan horizontal ËF, la pression est la même, on a, en vertu de la loi de Mariette et avec les notationsindiquées sur la figure,

Zo (H + A) = Z'(H + /' - d),

équation qui permet de trouver /' en fonction de rf, et réciproquement.

Le niveau s'abaissant à la fois dans le tube et dans le vase, la différence des niveaux /' — d ira en diminuant jusqu'à zéro, et oa aura

d'où

l' = h •\- Iq g,

valeur qui diffère toujours fort peu de Jo, dans le cas de l'eau ou de

Fig. 427.

tout autre liquide ordinaire, car alors le rapport „ est toujours très petit.

Lorsque /' aura atteint la valeur précédente, la pression sera la même à Tintérieur du flacon et à l'intérieur du tube; à partir de ce moment, Técoulement continuant de se faire plus vite dans le tube que dans le vase, le niveau du liquide y sera moins élevé, il arrivera bientôt en t, Tair entrera dans le vase, et le jeu de l'appareil sera le même que précédemment.

Remarque. — Nous avons supposé jusqu'ici que le vase était de petites dimensions; si la hauteur était très grande, les phénomènes se passeraient d'une manière dififérente. Supposons d'abord que le vase soit, à l'origine, rempli de liquide ; dans ce cas, le niveau baisse d'abord dans le tube seul jusqu'à ce qu'il soit descendu de la quantité H au-dessous de la paroi supérieure du vase; h partir de ce moment, et jusqu'à ce que le liquide arrive en t dans le tube, l'écoulement se produit à la fois dans le tube et dans le vase, de sorte que la différence des niveaux demeure constante et égale à H. Si le vase contenait primitivement de l'air à sa partie supérieure, le liquide s'écoulerait encore à la fois du tube et du vase ; bientôt les deux niveaux seraient sur un même plan; puis le niveau dans le tube descendrait plus bas que dans le vase, la diflFérence des deux niveaux augmentée de la pression du gaz intérieur étant toujours égale à la pression atmosphérique. En sorte que, l'air intérieur se dilatant de plus en plus, la différence des niveaux tendrait à devenir égale à H.

568. Flacon de Hariotte à ftoln orifices. — On emploie souvent dans

les cours un flacon de Mariotte à trois orifices a, 6, c (fig. 428), afin de montrer le jeu des pressions intérieures et extérieures. Supposons qu'à l'origine le flacon soit plein de liquide, et ouvrons l'orifice b; le tube se videra jusqu'à la hauteur de cet orifice; puis l'écoulement s'arrêtera, le vase restera plein, et l'orifice b étant toujours ouvert, pas une goutte de liquide ne s'échappera.

Fermons maintenant b et ouvrons c\ sur le plan horizontal passant par l'orifice é, s'exerce à l'extérieur du tube une pression de haut en bas supérieure à la pression atmosphérique de la distance 6c, à Tintérieur du tube la pression atmosphérique seule ; l'excès de la près-

msa^

Fig. 4-28.

sion extérieure fait donc remonter le liquide dans le tube jusqu'au niveau c, et, comme un vide se produit en même temps dans le flacon, quelques bulles d'air rentrent par Torifice c.

Ouvrons maintenant les trois orifices à la fois. Le liquide s'écoulera à la fois des deux orifices a et é avec des vitesses constantes dues aux charges l et Z', et l'air pénétrera dans le flacon par l'orifice c. On aura ainsi deux jets paraboliques, partis des deux orifices a et ô, qui se couperont en un point d tel que sa distance verticale au point b soit précisément égale à / (556).

Cela suppose toutefois l'orifice c assez large pour laisser passer une quantité d'air équivalente à l'eau qui s'écoule par les deux autres; si on le rétrécit graduellement, on voit l'écoulement par l'orifice b se ralentir, cesser complètement et même de l'air rentrer par cet orifice quand c est près d'être fermé. En réalité il devient difficile d'appliquer les principes d'hydrostatique dès que les frottements au travers des orifices entrent en jeu.