AA' = DD

L'allongement AA', amplifié par un procédé analogue à celui du pyromètre à cadran, se déduira donc de la longueur DD', mesurée

sur la règle, si l'on connaît le rapport p?^, suivant lequel l'allongement se trouve amplifié. Pour mesurer ce rapport, on mettait successivement en AB deux règles dont la différence de longueur, à la même température, avait été déterminée avec soin à l'aide d'un comparateur (272). Cette différence AA' étant connue, on pouvait

1. Lavoisier, CEuvres, tome II; Biot, Traité de physique^ tome î.

déduire le rapport cherché de la distance DD' des deux points de visée correspondants.

La barre à étudier est placée dans une auge de deux mètres environ sur des rouleaux de verre; Textrémité B bute contre une tige de verre verticale et fixée par Tintermédiaire d'une barre horizontale à deux forts piliers en maçonnerie qui assurent par leur stabilité la fixité du point B; AC est une autre tige de verre et l'axe C est porté par deux autres piliers; la règle divisée servant de mire est placée à 100 ou 200 toises; dans le premier cas, les dilatations sont amplifiées dans le rapport de 1 à 744.

On fait une première lecture à 0°, l'auge étant remplie de glace pilée; puis on remplace la glace par de l'eau de plus en plus chaude dont la température est indiquée par des thermomètres à mercure et Ion détermine ainsi les points D' pour des températures allant jusqu'à près de 100°.

Laplace et Lavoisier ont reconnu qu'entre 0° et 100®, la dilatation des barres sur lesquelles ils expérimentaient était proportionnelle à l'élévation de température.

584. Appareil de Ramsdeii K — A la fin du siècle dernier, Ramsden construisit, siir lés indications du général Roy, un -^d

appareil destiné à l'étude de règles qui servaient dans la mesure d'un arc de méridienne; le principe en est tout différent de celui des expériences précédentes. B^'^JB'

Imaginons que la barre à étudier soit fixée à l'une î \

de ses extrémités et porte à l'autre B {fi^, 441) un ; \

objectif de lunette. Un repère fixe D forme dans cet l \

objectif une image réelle F sur la ligne DB. Si, par ,' \

suite de la dilatation de la règle, le centre optique de ' \

l'objectif va de B en B', l'image du repère va de F en p ""p*

BB'=FF'gJ;

DB si Ton peut mesurer avec précision FF' ainsi que le rapport j^, on

pourra calculer BB'.

La règle à étudier, AB {Vig. 442), portée sur des rouleaux, est placée dans une auge en cuivre entre deux pièces métalliques portant chacune un objectif de lunette; ces objectifs sont placés dans les tubes KL, MN; une tige de cuivre RS, sollicitée par un ressort en hélice, et pressant directement sur Tune des deux pièces, les maintient toutes deux contre les extrémités de la règle, de sorte que les

1. Roy, Rapport sur la mesure de la méridienne, dans les Transactions philosophiques de i785, ou traduction de de Prony, Didot, i787.

it I •

Tariations de longueur de celle-ci sont fidèlement reproduites par les variations de la distance des centres optiques des deux objectifs.

Parallèlement à la règle AB, est placée une règle de fonte CD portant à chacune de ses extrémités un réticule formé de deux fils croisés et représenté à part en G; afin que ces deux réticules restent à une distance invariable Tun de l'autre, on a placé la règle CD dans une auge en bois constamment remplie de glace pilée.

Une autre règle EF, également entourée de glace, et parallèle aux deux autres, porte à chacune de ses extrémités un oculaire à réti-

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:Sin2JiJ2JJ±iJJJHf¥IlI^ilHrHJH}lJ3')3,tJJ3313/lMllll3H331Trm'fJ3r33/3^1f

Fig. 442.

^gfû*

cule; le réticule placé en F, formé, ainsi que l'autre, d*un simple fil vertical, est fixé à un cadre qu'une vis micrométrique munie d'un tambour divisé permet de déplacer d'une quantité connue.

Les choses sont disposées de telle sorte que le réticule C fasse son image dans le champ de l'oculaire E, le réticule D dans celui de l'oculaire F ; les tubes P et Q complètent les sortes de lunettes formées par ces objectifs et ces oculaires.

Pour faire une expérience, on commence par entourer de glace la règle AB. En agissant sur une vis qui permet de déplacer tout d'une pièce l'auge qui la contient, on amène l'image de la croisée du réticule C en coïncidence avec le fil du réticule fixe de l'oculaire E; puis, en agissant sur la vis micrométrique de l'oculaire F, on amène son réticule à coïncider avec l'image du réticule D. On remplace alors la glace de l'auge AB par de l'huile qu'on chauffe à l'aide de plusieurs lampes à alcool; en réglant les fiammes, on arrive à

ÉTUDE DES DILATATIONS b23

obtenir une température stationnaire qu'on détermine à Taidé de thermomètres à mercure. On s*assure que la coYucidence subsiste toujours en E ou, s'il y a lieu, on la rétablit ; Textrémité A de la règle a ainsi gardé sa position primitive. Mais Téxtrémité B s' étant éloignée, Timage du réticule D s'est écartée de sa première position, c'est-à-dire du réticule de F, et on mesure cet écart en cherchant de combien il faut déplacer ce dernier réticule avec la vis micrométrique pour rétablir la coïncidence.

Ayant ainsi mesuré la quantité FF' (fîg. 441), il reste, pour avoir

l'allongement BB\ à déterminer le rapport j^v, A cet effet, on met à

la place du réticule une règle portant quelques divisions tracées à des distances soigneusement déterminées. Soient D et T (fîg. 443) deux de ces divisions, F et V leurs images respectives. En déterminant le nombre de tours et de fractions de tour dont il faut tourner la vis micrométrique pour amener le réticule de l'oculaire de F en V, on détermine la distance FV; or, les deux triangles semblables BDT et BFV donnent

DB ___ DT ,. . DB __ DT FB — fV ' ^^^ W¥~ DT 4- FV

On a quelquefois modifie cet appareil en plaçant la vis micrométrique, non pas à l'oculaire F, mais à l'objectif B qu'elle permet de déplacer de quantités connues. On rétablit alors, dans la seconde observation, la coïncidence au réticule F en ramenant l'objectif de B' en B. On mesure donc ainsi directement l'allongement BB', et il semble qu'il y ait là un avantage sur le premier procédé, puisqu'on

est dispensé de connaître le rapport j^; mais il y a d'autre part un

inconvénient : avec la première disposition, l'appareil de mesure, placé à l'extrémité d'une barre maintenue

constamment à 0^, reste pendant toute l'expérience \;

dans les mêmes conditions de température, de sorte I^B

que toutes les mesures sont comparables entre elles. |*

Avec la seconde disposition, au contraire, la vis !\

micrométrique, soumise à l'influence variable de l'huile î \

chauffée, peut se déformer et ne pas conserver tou- ! \

jours la même longueur de pas. j \

585. Dilatation des règles métriqaes * . — Imagi- ''~'~*^ — tw-

nous que, dans Tappareil précédent, la règle à étudier p. ^3 soit en CD, que l'objectif B soit fixe ; tout déplacement tel que *TD (fîg. 443) de l'extrémité de la règle produira

i. Ttavaux du Bureau internalional des poids et mesures.

un déplacement correspondant FV de son image, et on pourra déduire le premier du second si Ton a déterminé, comme il a éiié indiqué, le rapport des distances BD et BF. Tel est le principe, en réalité fort voisin de celui de Tappareil précédent, de la méthode actuellement employée pour Fétude de la dilatation des étalons du mètre. L'appareil est toutefois fort différent de celui que nous venons de décrire et, pour assurer la fixité des systèmes optiques, on revient à l'emploi de piliers en maçonnerie.

Aux extrémités de Tauge contenant la règle à étudier AB (fig. 444), se trouvent de forts piliers E, F; chacun d'eux porte un microscope

Fig. 444.

vertical à oculaire micrométrique, C, D. Les règles qu'on étudie portent à leurs extrémités des repères dont la distance est à peu près exactement de un mètre, et les microscopes sont placés de façon que ces repères soient dans leur champ.

Chaque observation exige que la règle soit à une température stationnaire et bien déterminée; quand cette température est à peu près la même que celle du laboratoire, il suffît d'agiter vivement pendant quelque temps l'eau qui baigne la règle pour rendre sa température uniforme sur toute la longueur du bain et constante pendant le temps nécessaire à l'observation ; on la détermine à l'aide de thermomètres à mercure couchés le long de la règle. Quand la température doit être supérieure à la température ambiante, on y porte la règle en faisant circuler dans l'auge de l'eau provenant d'un réservoir où elle est constamment réchauffée; au bout de quelque temps, les thermomètres sont stationnaires et l'on peut procéder aux mesures.

On commence généralement par une observation à la température ambiante; on place alors les réticules des microscopes en coïncidence avec les images des repères de la règle. On passe à une autre température; la règle s'allongeant, les repères s'écartent et leurs images quittent les réticules ; on rétablit les coïncidences en notant les nombres de tours qu'on doit faire faire aux vis micrométriques pour obtenir ce résultat; on en déduit les déplacements des repères

qu'on ajoute s'ils sont de sens contraires, qu'on retranche s'ils sont de mênae sens, pour avoir rallongement de la règle.

Gomme le passage d'une température à une autre exige un temps assez long, il est bon de s'assurer de l'invariabilité des microscopes ou de tenir compte des changements qui ont pu s'y produire; à cet effet, on compare à chaque observation la longueur de la règle à étudier à la longueur d'une règle toujours maintenue à la température ambiante ; cette seconde règle est placée dans une auge semblable à la première et qu'un mécanisme particulier permet d'amener exactement à la même place.

Ces observations ne se font jamais que dans des limites peu étendues de température, leurs résultats s'appliquant.à des étalons du mètre qui ne sont jamais destinés à être fortement chauffés.

586. Méthode dlITéreiitieUe de Dolon^^ et Petit K — Dulong et Petit ont appliqué à la comparaison des dilatations de quelques substances le procédé imaginé par Borda pour déterminer la température de la règle en platine qui lui servit dans ses travaux géodésiques. Les deux barres à comparer sont fixées par une de leurs extrémités à une même pièce de fer AB (fig. 445) ; chacune d'elles

Fip. 445.

porte à l'autre extrémité une tige verticale CE ou DF ; à l'une des tiges est fixée une réglette horizontale divisée en cinquièmes de millimètre; à l'autre, un vernier au vingtième. Le système des deux règles est enfermé dans une auge pleine d'huile et placée sur un fourneau; des thermomètres à mercure en donnent la température. Le déplacement relatif du vernier par rapport à la réglette donne l'excès de la dilatation de la première règle sur la dilatation de la seconde supposée connue.

587. Méthode de M. Fizean. — Cette méthode, extrêmement délicate, repose sur des phénomènes optiques dont la description ne rentre pas dans le cadre de cet ouvrage, mais il importe de la citer, car c'est à elle qu'on doit les données les plus précises qu'on possède sur les dilatations des solides.

588. Résultats. — Formule empirique, — Quand les températures des observations dépassent 100** ou, même au-dessous de 100**, quand

1. Dulong et Petit, Annales de chimie et de physique, 2« série, tome II.

les procédés de mesure sont très délicats,. on trouve que la proportionnalité trouvée par Laplace et Lavoisier entre les allongements et les variations de température n'est vraie que d'une façon approximative. On a alors cherché quelque formule plus compliquée qui représentai, d'une façon plus rigoureuse les résultats des expériences et on a été amené à. adopter la suivante : l^ désignant la longueur à. O' d'une barre, i sa longueur à une température t^ a ei b deux coedicients numériques constants dépendant de la nature de la substance, on écrit d'une manière générale

On peut imaginer que, pour déterminer a et è, on prenne au hasard deux observations : / et /' désignant les longueurs mesurées aux températures t ei /', on aura, avec Téquation précédente, Téquation semblable

/• =lo{i + at' + bl'i),

et on pourra calculer a eib k Taide de quantités toutes connues. Si, dans la formule (1) ainsi déterminée, on remplace leit par les valeurs de la longueur et de la température trouvées dans une quelconque des autres observations, ia formule doit devenir une identité. En réalité, cela n'arrivera presque jamais ; mais, si on remplace seulement /q, a^beit par leurs valeurs et qu'on résolve par rapport à / l'équation obtenue, la différence entre la longueur ainsi calculée et la longueur observée est plus petite que Terreur qu'on aurait pu commettre dans la mesure; aussi peut-on dire, malgré ces petites différences, que la formule représente les résultats des observations. En réalité, on connaît des procédés de calcul qui permettent de tenir compte de toutes les observations pour la détermination de a et de 6, et de trouver les valeurs numériques les plus probables de ces coefficients.

589. Représentation graphique, — Sans employer ces procédés de calcul, qui sont longs et compliqués, on peut arriver plus simplement à un résultat tout aussi précis de la manière suivante. On commence par figurer le résultat de. chaque expérience par un point (fig. 446) dont l'abscisse représente la température observée et ^o^ donnée l'allongement correspondant compté depuis 0^ et rapporté à l'unité de longueur à 0"^. L'échelle des ordonnées doit être assez grande pour que la limite des erreurs possibles soit représentée par une longueur sensible. Si les expériences sont bien faites, chacune d'elles ne peut comporter qu'une très petite erreur, et, comme le phénomène est nécessairement régulier, les points ainsi obtenus doivent se suivre régulièrement; il est facile, rien qu'à leur aspect,

Fig. 446.

déjuger du degré de précision des observations. On dessine ensuite une ligne continue et à courbure régulière qui, si elle ne passe pas rigoureusement par tous les points, doit les laisser, les uns d'un côté, les autres de l'autre, à la plus petite distance possible; cette ligne corrige les erreurs accidentelles des observations et chacun de ses points doit représenter le phénomène avec plus d'exactitude que le point qui figure le résultat brut d'une observation isolée.

Enfin, en prenant sur cette ligne deux points convenablement espacés, on pourra, à l'aide de leurs coordonnées, calculer les coef* ficientsde la formule (1). La formule ainsi calculée représentera une courbe ayant trois points communs, l'origine et les deux points considérés, avec la courbe des observations; si, ailleurs, elle ne s'en écarte que de quantités insensibles, c'est que la formule adoptée convient pour représenter le phénomène; or, c'est ce qu'on vérifie en général.

590. Coefficients de dilatation, — On appelle coefficient moyen de dilatation linéaire entre 0^ et une température déterminée t rallongement que subit une barre de longueur égale à l'unité, quand on la porte de 0° à /^, divisé par le nombre de degrés t. Avec les notations précédentes, rallongement d'une barre de longueur /,, est représenté

par / — l^; l'allongement d'une barre de longueur 1 serait -^^P-^,-ce

qui, pour un degré, ferait en moyenne :

0 lot

On peut exprimer ce coefficient avec a et 6, en remplaçant / par l'expression (1), ce qui donne

kt =

OU, avec les coefficients a et b,

On appelle coefficient de dilatation à une température déteiminée la limite vers laquelle tend le coefficient moyen précédemment défini, quand les températures t et t' se rapprochent jusqu'à se confondre. On aura donc sa valeur en faisant dans la dernière expression f' égal à <, ce qui donne

k^=za-\- 2bt,

D'ailleurs, par définition même, ce dernier coefficient doit être le quotient par l^^ de la dérivée de / par rapport à ^ ce qui conduite la même expression.

Soit M (fig. 447) un point quelconque de la courbe représentative des résultats; son ordonnée MP représente —^^^^ et son abscisse OP la température t. Le coefficient angulaire de la corde OM représente donc — TT-^, c'est-à-dire le coefficient moyen de dilatation

entre 0° et P : il lui est égal à un facteur près qui dépend des échelles adoptées pour représenter les degrés de température et les allongements. Si Ton considère un autre point M', on voit de même que le

coefficient angulaire de la corde MM' représente le coefficient moyen de dilatation entre / et t'. Enfin, si le point M' se rapproche de M, la corde MM' devient tangente à la courbe au point M ; le coefficient angulaire de cette tangente représente donc le coefficient de dilatalion à une température déterminée.

591. Formules simplifiées. — Le coefficient a est toujours très petit; le coefficient b est beaucoup plus petit encore et, tant que la température t ne dépasse pas une certaine limite, les termes en h des formules précédentes sont plus petits que les erreurs possibles d'observation, c'est-à-dire négligeables. Les premières formules se réduisent alors à

/ = Zo (1 + at), l = h(i-\- ai'),

et montrent que les allongements sont proportionnels aux varia-

Fjg. 447.

lions de température, ainsi que Tavaient trouvé Laplace et Lavoisier entre 0° et 100°. Tous les coefficients de dilatation précédemment définis se réduisent à a qu'on appelle alors, sans rien spécifier, le coefficient de dilatation de la substance : c'est rallongement d'une barre de longueur égale à l'unité pour une élévation de température de 1 degré.

En divisant membre à membre les expressions simplifiées de / et

de /', on a

V __ 1 + aV T ~ i + at'

Les longueurs d'une même règle à deux températures différentes sont entre elles comme les binômes de dilatation.

Ainsi que les termes en 6, des termes qui renferment des puissances de a supérieures à la première sont négligeables quand leurs autres facteurs ne sont pas très grands; aussi la dernière relation peut-elle souvent s'écrire

forme plus facile à calculer que la précédente.

592. Résultats numériques. — Le coefficient de dilatation d'une substance ne dépend pas seulement de sa composition chimique, mais encore de ses propriétés élastiques : l'acier trempé ne se dilate pas comme l'acier recuit. En général, les métaux les plus compressibles et les plus fusibles sont aussi les plus dilatables. Le tableau suivant renferme, d'après M. Fizeau, les coefficients de dilatation linéaire de quelques corps pour la température de 40° * :

Platine (fondu) 0,00000905 Bronze 0,00001782

Or (fondu) i443 Fer doux 1210

Argent (fondu) 1921 Acier trempé 1322

Cuivre 1678 Acier recuit 1101

Laiton 1859 Fonte grise 1061