Annuaire du Bureau des longitudes

tion deO"" àf" sera

le cûeffieient moyen de dilatation de t^à t'^ sera

Vo {f - 0'

et le cofficient de dilatation à t^ sera la limite de cette expression pour t' =z t :

rfi = — lim. ., ;«

En supposant la relation entre le volume et la température représentée par une courbe, on verrait, comme pour la dilatation linéaire, que ces coefficients sont représentés par les coefficients angulaires des cordes ou des tangentes de cette courbe.

Cette relation est, le plus souvent, assez exactement représentée aussi par une formule de même forme que celle que nous avons indiquée dans Tétude de la dilatation linéaire, à savoir

a ei b représentant des constantes numériques ne dépendant que de la nature de la substance. Il en résulte les expressions suivantes des coefficients de dilatation

Enfin, si on ne considère que des températures peu élevées, on peut négliger le second terme, dans lequel le facteur b est très petit, ce qui réduit toutes ces expressions à a, qu'on appelle alors, sans rien spécifier, coefficient de dilatation de la substance : c'est Taugmentation que subit, pour une élévation de température de 1®, un volume primitivement égal à Funité.

En appelant d et d' les coefficients moyens de dilatation de 0° à <** et de 0" à r^ on a

V = Wo (1 -f" dt), V' = t'o (1 -f d't'),

d'où

Les volumes dun même corps à deux températures différentes sont entre eux comme les binômes de dilatation.

Quand les températures t et t' ne sont pas très élevées, la dernière expression se réduit à.

1, = f; + f/. ou mieux à r = y' [1 + <^ (^ — Ol-

V 1 -f- ttc

594. Relation entre la auHise njpéclAqiie et la teiapéi^tive. —

Soient ;x et pt.' les masses spécifiques d'une même substance à deux températures t et t\ v et r' les volumes, aux mêmes températures, d'une masse déterminée de cette substance; cette masse peut être représentée indifféremment par vyi ou par v'itf^ donc

Ou. s=s v'iu ou t =:^„

Remplaçons -, par l'expression ci-dessus, nous aurons

\l' __i + dt (L "" 1 -f. dt' *

Le$ masses spécifiques d'un même corps à deux températures diffé* rentes sont dans le rapport inverse de celui des binômes de dilatation,

595. Relation entre la dilatation enblqne et la dilatation linéaire* —

La dilatation cubique d'un corps peut se déduire de sa dilatation linéaire. Soient, en effet, v^ et v les volumes d'un même corps à 0* et à ^s on a

^ =zi + dt.

Soient l^ et l les longueurs aux mêmes températures d'une quelconque de ses dimensions; on a de même

[ =:{ ^ kt, '0

Nous supposons que le corps, en se dilatant, reste semblable à lui-même; or deux volumes semblables sont entre eux comme les cubes de leurs dimensions homologues, donc

OU, en remplaçant les deux rapports par leurs expressions respectives,»

i-\. dt = i +ZIU + ZkH^ + kH^, d = 3k-\- ZkH + kH^,

Cette relation permet de calculer d quand on connaît k. Comme k est toujours très petit, on peut, quand t n'est pas très grand, réduire le second membre à son premier terme, et écrire

d= zk.

Dans ces conditions, le coefficient de dilatation eulnque est donc à très peu près le triple du coefficient de dilatation linéaire.

Cette relation ne dispense pas de rechercher des méthodes directes pour la détermination de la dilatation cubique. En effet, les

méthodes que nous connaissons pour Tétude des dilatations linéaires sont d'une application déjà difficile quand on peut façonner les corps en forme de barre ; mais les corps dont on est amené à chercher la dilatation cubique ne se présentent pas en général sous cette forme, et an serait réduit à déduire la dilatation cubique d'un objet de la dilatation linéaire d'un autre objet fait de la même substance et taillé en forme de règle; or, l'identité de la composition chimique n'est nullement une garantie de l'identité des propriétés physiques, comme nous l'avons déjà vu pour la dilatation linéaire, et comme l'étude directe de la dilatation cubique va nous le montrer encore. Il subsisterait donc toujours quelque incertitude sur une dilatation déterminée indirectement.

596. Dilatation d'un Yase de verre. — Nous commencerons par un cas qui se présente fréquemment dans la pratique, celui où l'on a à étudier la dilatation d'un récipient en verre, tube ou ballon. Les méthodes que nous allons décrire supposent connue la dilatation du mercure; nous verrons bientôt comment cette donnée a été déterminée.

597. Méthode du thermomètre à poids, — On soude au récipient un tube capillaire qu'on recourbe et qu'on effile à son extrémité, comme l'indique la figure 448.

Cela fait, on commence par déterminer le poids de mercure que le tout renferme à 0°. A cet effet, on tare l'appareil, sur une balance, avec un poids marqué qui soit sûrement supérieur au poids de mercure qu'on a à déterminer ; puis on procède au remplissage de

la manière suivante : Ayant chauffé à l'aide d'une lampe à alcool le réservoir AB, on plonge l'extrémité du tube C dans du mercure pur; l'air, en se D contractant, laisse entrer un peu de mercure; en recommençant plusieurs fois, on remplit le réservoir aux deux tiers; le chauffant alors plus vivement, on fait bouillir le mercure dont la vapeur chasse ce qui reste d'air; on fait, pendant ce temps, plonger l'extrémité du tube effilé dans du mercure également chauffé; on laisse le tout se refroidir, la vapeur se condense et le mercure remplit complètep. j^g ment l'appareil; il reste cependant quelquefois

quelques bulles d'air à la partie supérieure du réservoir; on doit, dans ce cas, recommencer à faire bouillir. On entoure l'appareil de gïàce fondante; quand il en a bien pris la température, on retire le tube C du mercure dans lequel il plonge et on Tentoure d'un petit godet D assujetti à l'aide d'un bouchon, avec lequel on a dû faire la tare de l'appareil et qui reçoit le mercure

qui s'échappe du tube dès que la température s'élève. On retire l'appareil de la glace et, après l'avoir laissé prendre la température ambiante, on détermine son augmentation de poids; elle représente le poids du mercure qui remplit l'appareil à 0**.

On détermine ensuite les quantités de mercure qui s'écbappent de l'appareil quand on le porte à certaines températures déterminées. A cet effet, on le place dans un bain d'eau ou d'huile (suivant qu'on veut opérer en deçà ou au delà de 100^), à côté d'un thermomètre à air ou d'un thermomètre à mercure ; on porte ainsi le tout à une température déterminée t\ on reçoit le mercure qui sort du tube dans le petit godet, et on détermine son poids/?.

' Soit D le poids spécifique du mercure à 0^. Le mercure P — p qui

reste dans l'appareil à f* avait à 0"* un volume — ^r-^; son volume à

t' est

m désignant le coefficient moyen de dilatation de mercure de 0^ à <°.

L'appareil avait à 0® un volume qui était le même que celui du mer-

cure qui le remplissait, c'est-à-dire t^; son volume à f* est

En égalant ces deux expressions d'un même volume, on trouve

i-\-ml— P '

d'où l'on tire dt.

Quand on a déterminé ainsi un certain nombre de valeurs de dt^ on s'en sert, soit pour tracer une courbe, soit pour calculer une formule qui représentera d'une manière continue les variations de d ou de dt avec la température.

Mais, le plus souvent, il suffit, dans les applications, de connaître le coefficient moyen de dilatation entre 0^ et 100°; pour le déterminer, on place l'appareil dans une étuve à vapeur d'eau. Si la pression atmosphérique est juste de 760 millimètres, la température de l'étuve sera exactement 100°; en général, la pression sera plus grande ou plus petite; on en déduira la température 6 d'ébtiUition de l'eau en consultant les tables qui donnent les valeurs correspondantes de ces deux quantités, ou simplement en se fondant sur ce que, dans le voisinage de lOO^', ces deux quantités peuvent être regardées comme variant proportionnellement, une variation de 27 millimètres dans la pression produisant une variation de 1° dans

la température d'ébullition. On déterminera le poids tz de mercure qui sort à la température 0; le coefficient de dilatation S se calculera par la relation

1 + ge p —-K 1 -h ito ~ p '

où {JL est le coefficient moyen de dilatation du mercure entre O' et 100^. Du reste, même en faisant cette détermination unique, on pourra avoir, pour les températures différentes de ô, une valeur du coefficient moyen plus approchée que 8, en consultant les résultats obtenus par Regnault avec un échantillon de cristal et un échantillon de verre ordinaire (599), et en supposant que la loi de la variation du coefficient avec la température est à peu près la même pour le verre qu'on a entre les mains et pour Tun de ces deux échantillons. L'instrument que nous venons de décrire peut servir, ainsi que nous le verrons plus loin (Thermométrie), à mesurer les températures par des pesées; on l'appelle thermomètre à poids.

598. Méthode du thermomètre à tige, — Supposons que le réservoir A dont on veut étudier la dilatation soit soudé à une tige B€ divisée en parties d'égale capacité (fig. 449). On commence par déterminer le volume à 0*, V, du réservoir jusqu'à la première division, ainsi que le volume v d'une division. A cet effet, ayant taré l'appareil avec un poids connu, on le rem- Fig. 449. plit de mercure jusque vers le haut de la tige et on détermine son augmentation de poids P ; puis, le plongeant dans de la glace fondante, on note le nombre n des divisions de a tige occupées par le mercure ; on a, D étant le poids spécifique du mercure à 0",

On enlève du mercure de manière à le faire affleurer vers le bas de la tige; P' et n' désignant les quantités analogues à P et à n, on a

De ces deux équations, on peut tirer V et t? *, ou plutôt^es quantités proportionnelles, par exemple les poids de mercure VD, vD qui remplissent à 0" respectivement V et v.

On porte ensuite l'appareil à une température déterminée ^ et on

1. En général, le jaugeage de la tige se fait à part, comme nous rindiquerons en étudiant le thermomètre à mercure.

détermine la division d'affleurement n" ; on écrit alors que le mercure qui occupait le volume V H- n'o à 0** remplit exactement la partie de Tappareil dont le volume à 0* était V + ^'«^ •

(V + n"») (l + dl) = (V + n'») (1 -+■ mt),

m et rf désignant les coefficients de dilatation du mercure et du verre. On remplace V et t> par leurs valeurs relatives, et on résout par rapport à rf.

599. Résultats numériques. — Pour donner une idée des nombres obtenus dans ce genre de déterminations, nous extrayons des mémoires de Regnault les résultats suivants : pour un réservoir en cristal, le coefficient moyen de 0° à <^ [t désignant la température indiquée par un thermomètre à air) est représenté par l'expression

pour un réservoir en verre ordinaire, on a

Mais ce sont là, il ne faut pas l'oublier, des exemples très particuliers. Toutes les fois qu'on recherchera la précision, on devra faire l'étude de l'appareil qu'on aura entre les mains.

Même pour un verre de composition déterminée, les propriétés physiques dépendent de la façon dont ce verre a été travaillé. Ainsi, pour un tube de cristal sortant de la verrerie, Regnault a trouvé de 0^» à 100%

et, pour une boule soufflée avec le même verre,

Même pour un appareil déterminé, l'opération k haute température qui consiste à le remplir de mercure semble modifier un peu ses propriétés; car, si l'on fait plusieurs fois de suite cette opération, on trouve de petites différences supérieures aux erreurs possibles d'observation»

600. Méthode de Dolong et Petit. — Dulong et Petit ont étudié la dilatation de quelques substances de la manière suivante :

On commence par étudier, comme il est indiqué au n° 597, la dilatation d'un réservoir de verre muni d'un tube effilé ; puis, fayant vidé de mercure, on l'ouvre à sa partie inférieure, on y introduit une tige préalablement pesée de la substance à étudier, et on le referme. On le remplit de nouveau de mercure à 0**, puis on cherche le poids p de mercure qui s'en échappe quand on le porte à une température déterminée t.

Soient :

P le poids du mercure qui s*y trouve à 0**,

D le poids spécifique à 0* du mercure,

P' le poids de la tige introduite,

D' son poids spécifique à 0**,

rf, m et X les coefficients moyens de dilatation de 0* à f" du verre,

du mercure et de la tige.

P P' Le volume à (y* de Tappareil, ou de ce qui le remplit, est g + g7

/P P'\ son volume à ^ est donc représenté par (|) + n^ ) (^ + ^0- ^r, à i\

il renferme la tige dont le volume est ^, (1 + ^0 ®^ ^^ poids P — ;?

de mercure dont le volume est — sr-^ (1 -^mt). On peut donc écrire

^. (l + xt) + ?^ (i + ;nO = (g + n-' ) (* + ^0'

équation qui permet de déterminer x.

On ne peut étudier ainsi que les substances qui peuvent supporter la température d'ébullition du mercure : Dulong et Petit ont fait Texpérience sur le fer, le platine et sur une tige de cuivre légèrement oxydée à sa surface, afin de ne pas être attaquée par le mercure.

601. Méthode de Billet. — L'emploi du thermomètre à tige constitue une méthode plus générale. Ayant soudé une tige calibrée à un réservoir de verre, on commence par étudier, comme au n'* 598, la dilatation de ce réservoir. Puis, Payant vidé de mercure, on Touvre, on y introduit un poids P' de la substance à étudier, on le referme et on achève de le remplir, ainsi qu'une partie de la tige, avec un poids P d'un liquide qui soit sans action sur le corps. Plaçons l'appareil dans la glace fondante, puis dans un bain à la température ^ et déterminons les divisions successives d'affleurement, n et n', du liquide. Écrivons pour chacune des températures que le volume du contenant est égal à celui du contenu; nous aurons, en désignant par D et D' les poids spécifiques du liquide et du corps, par ^, m et X les coefficients de dilatation de l'enveloppe, du liquide et du corps :

p, + g=V-f nt;, ^,(1 + a:0 + 0(1 + mO = (V + n' v) (1 + kt).

D'autre part, v étant connu par un jaugeage au mercure, nous pouvons écrire, en appelant w un poids connu de ce liquide et 8 son

poids spécifique,

Éliminons V et o entre ces trois équations, il vient

^' (1 + xO + g (1 -+■ m/) = [^ + ^ + {n'-n) f] {i + kt).

Il importe de remarquer que cette équation est homogène en P, P' etîT d'une part, D, D' et S d'autre part; la détermination de x n'exige donc que la connaissance de poids relatifs et de poids spécifiques relatifs, quantités qu'on sait mesurer avec précision.

602. Héthode de la Iwlance hydrostatique. — Le COrps qu'on veut

étudier étant suspendu au plateau d'une balance hydrostatique, on détermine la perte de poids qu'il subit dans un liquide déterminé maintenu à une température connue t. Si V désigne le volume du corps à 0**, son volume à t^ sera V (1 + xt) ; d'autre part, D désignant le poids spécifique du liquide à 0"*, m son coefficient de dilatation, le' poids spécifique à 0^ sera t— — — -; la perte de poids observée aura donc pour expression

p = VD *'^^'

1 + mt'

En faisant une expérience à 0**, on détermine VD et on pourra calculer X,

BrUnner a ainsi étudié la dilatation de la glace en observant les pertes de poids qu'elle éprouve dans de l'huile de pétrole ; il avait préalablement déduit la dilatation de ce liquide des pertes de poids d'une boule de verre; l'équation précédente permet, en effet, de calculer le coefficient m du liquide quand on connaît celui du solide.