IV. — DILATATION DES CORPS CRISTALLISÉS

603. Observations de Mltseherlleh i. — Dans ce qui précède, nous avons supposé qu'un corps solide, en se dilatant, restait semblable k lui-même ; cela est vrai pour les corps amorphes et pour les corps cristallisés dans le système cubique, mais non pour les autres.

Mitscherlich, en effet, a reconnu que les angles de beaucoup de cristaux changeaient quand la température s'élevait : par exemple,

1. Mitscherlich, Annales de chimie et de physique, 2« série, tomes XXV et XXXII.

langle au sommet d'un rhomboèdre de spath d'Islande offrit les valeurs suivantes :

A la température de

Le cristal prend donc une forme plus allongée quand la température s'élève ^

Mitscherlich se proposa d'étudier la dilatation du spath perpendiculairement et parallèlement à l'axe du cristal. Deux lames à faces parallèles furent taillées dans ces deux directions. Leurs épaisseurs, à très peu près égales, furent mesurées au sphéromètre; on les plaça ensuite dans de l'eau chaude, et on mesura avec le même instrument la différence de leurs nouvelles épaisseurs.

A 12<», la lame parallèle avait pour épaisseur i3'°",267, la perpendiculaire 13»»,267 — 0™",010.

A 83^, la lame parallèle avait pour épaisseur x, la perpendiculaire X + 0,020.

Ainsi, pour une épaisseur de 13"»"*,267 (qu'on peut supposer commune aux deux lames), et une variation de température de 71**, on observe une différence de dilatation égale à 0"'"*,030. Pour un mètre et 100*», on aurait une différence de 3"", 19.

L'expérience fut recommencée avec une lame de spath parallèle et une lame de verre dont on connaissait la dilatation pour 100® : TiVî = 0,000861.

A 15«,o, la lame de verre avait pour épaisseur 23"", 657, le spath parallèle 23«»n»,657 -f 0"",007.

A 93**, la lame de verre avait pour épaisseur y, le spath parallèle y — 0,019.

Ainsi pour une épaisseur de 23™'°,657 et une variation de température de 77°,5, on observe une différence de dilatation égale à Omm^026; pour un mètre et 100**, on aurait une différence de 1"",418.

Comme le verre ne se dilate que de 0,861, la lame de spath parallèle doit se contracter de 1,418 — 0,861 = 0,557, et la lame perpendiculaire doit se dilater de 3,19 —0,557 = 2,633.

604. Observations de M. Fizeaai résvltats. — M. Fizeau s'est servi,

pour étudier la dilatation des cristaux dans différentes directions, de la méthode extrêmement délicate avec laquelle il a déterminé aussi la dilatation d'autres corps. Cette étude a conduit aux résultats suivants.

605. Coefficients de dilatation principaux, — Considérons dans un

1. C'est à l'occasion de ces mesures que Mitscherlich a inventé le goniomètre qui porte son nom.

..-r-Mr-'-î /

cristal une série de particules en ligne droite. Si la température change, ces particules s'éloignent les unes des autres, mais Texpérience montre qu'elles restent en ligne droite; c'est ce que nous exprimons en disant qu'une droite du cristal reste droite.

Considérons deux droites quelconques dans un cristal. Une variation de température les laisse droites, mais change, en général, l'angle qu'elles font entre elles, ainsi que le prouve la première observation de Mitscherlich.

L'expérience montre toutefois qu'il y a, dans tout cristal, trois directions rectangulaires telles que trois droites tracées suivant ces directions restent toujours rectangulaires : on les appelle directions principales ; les allongements suivant ces trois directions sont proportionnels à trois coefficients de dilatation principaux, que nous désignerons respectivement par a, a', x".

606. Dilatation linéaire dans une direction quelconque. — Rapportons le cristal à trois axes Oor, Oy, Oz (fig. 450) respectivement parallèles aux directions principales. Soit une particule M située à une distance de l'origine égale à l'unité ; a, 8' et 8" désignant les angles de la direction OM avec les axes, les distances de cette particule aux trois plans de coordonnées sont cos8, cos8', cos8'^ Supposons que la température s'élève d'un nombre de degrés déterminé t, La distance de la particule M au plan yOz doit augmenter de a^cos8, ses

distances aux plans zOx et opOj/, de aVcosS' et de a"fcos8''; elle vient donc en M' diagonalement opposé à M dans un parallélépipède qui aurait pour côtés afcosS, a'^cosS', a"fcos8".

Nous appellerons dilatation dans la direction 8, 8', 8" la différence des longueurs OM' et OM. Les directions de ces deux lignes étant très voisines, on obtient la diflFérence de leurs longueurs avec une approximation suffisante en prenant la projection MP de MM' sur Tune d'elles, OM, ou, ce qui revient au même, en faisant la somme des projections des composantes de MM', ce qui donne

at cosa« + at C08»6' + «"< cos*8'.

Le coefficient de t dans cette expression sera le coefficient de dilatation linéaire dans la direction donnée :

k= a cos«8 -f- a'cos* fi' + a" cos» 8*.

Fig. 450.

607. Dilatation linéaire moyenne. — Si les trois angles sont égaux \

COS 5 = 7/^1 et

est ce qu'on peut appeler la dilatation linéaire moyenne.

608. Dilatation cubique. — Considérons un cube dont le volume à. 0® soit égal à Tunité et dont les arêtes soient orientées parallèlement aux directions principales. Ai®, le volume est représenté par l-l-rf^ tandis que les arêtes sont devenues respectivement i + a*i 1 + »'^ i -f- a'7; on a donc

i -\- dt = {i + at) (1 + «7) (1 + a'O;

ot, a' et ol' étant des coefficients toujours très petits, on peut négliger leurs produits, et Tégalité devient

c'est-à-dire que le coefficient de dilatation cubique est la somme des trois coefficients de dilatation principaux.

La proposition, démontrée pour un cube, est d'ailleurs vraie pour un corps de forme quelconque, car on peut toujours supposer ce corps composé d'un nombre très grand de cubes très petits.

609. Conservation des éléments géométriques. — Il résulte de ce qui précède que les faces planes d'un cristal doivent rester planes, quand la température change. Soit, en effet,

aa; + ^y + cz + /) = 0,

l'équation à 0° d'une de ces faces rapportée à trois axes parallèles aux directions principales. A i°, les coordonnées d'une particule quelconque de cette face deviennent

X = ar (1 + afl, Y =y (1 + a't), Z = z (1 + a^t).

En remplaçant, dans l'équation précédente, ar, y, z par leurs valeurs tirées de ces égalités, on aura, entre les nouvelles coordonnées, la relation

aX , bY , cZ ,

qui représente encore un plan; seulement ce plan n'est pas, en général, parallèle au premier.

De même, une arête d'un cristal reste rectiligne, car les deux faces adjacentes restent planes.

i. Leur valeur commune est alors 54* 44' environ.

610. Relation entre les directions principales et la forme cristalline, — Dans les cristaux du système cubique, la dilatation linéaire est la même dans toutes les directions; il n'y a plus, à proprement parler, de directions principales, ou, si l'on veut, ces directions sont indéterminées et les trois coffîcients a, a', a' sont égaux.

Dans les cristaux du système quadratique ou du système rhomboédrique, Tune des directions principales coïncide avec Taxe cristailographique ; les deux autres sont placées d'une façon indéterminée dans un plan perpendiculaire à cet axe, car la dilatation linéaire est la même dans toutes les directions de ce plan, et il n'y a, à proprement parler, que deux coefficients de dilatation principaux.

Dans les trois autres systèmes, les trois coefficients principaux sont inégaux, et il y a, par conséquent, trois directions principales déterminées. Dans le système orthorhombique, deux de ces directions sont les bissectrices des angles des axes optiques ^ Dans le système clinorhombique, une direction principale est perpendiculaire au plan de symétrie, les deux autres sont situées dans ce plan et sans relation apparente avec les axes optiques. Enfin, dans le système anorthique, il n'y a pas de relation apparente entre les directions principales et les éléments géométriques du cristal.

611. Valeurs numériques des coefficients de dilatation, — En parlant des observations de Mitscherlich, nous avons noté ce fait remarquable d'une contraction, par élévation de température, du spath dislande perpendiculairement à son axe. Ce n'est pas là un fait isolé, et plusieurs cristaux ont une dilatation négative suivant une de leurs directions principales. En général, cependant, la somme des trois coefficients, c'est-à-dire le coefficient de dilatation cubique, est positif; l'iodure d'argent fait exception, et son volume commence par diminuer quand on le chauffe à partir de 0®.

Voici les valeurs de quelques coefficients pour la température de 40* :

Diamant (syst. cubi- Tourmaline (rhom- ( a = 0,00000905

que) a = 0,000O0H8 boédrique) \ a' = 379

Sel gemme (id).. 0^= 4039

Spath fluor (id) .. «= 19H Spath d'Islande (id.)) , Z lll

lodure d'argent (qua-(— a = 397 f «— »*"

QuIiTt^rh^^^^^ °L= ^^J Aragonite (ortho-j *, = ^^^^î

que).. \ «'= 1449 rhombique)......| ^„ ^ ^^^^

1. Ces axes sont relatifs à des propriétés optiques que nous n'avons pas à étudier dans ce cours.