II. — REFRACTION PAR UNE SURFACE PLANE
84. Imaf^e par réfraction dans une snrface plane. — Soit Pj (fig. 73) un point lumineux situé dans un milieu réfringent d'indice n^ séparé par une surface plane d'un autre milieu d'indice n^. Considérons le point P, où la direction d'un rayon réfracté IR provenant d'un rayon incident quelconque PJ rencontre la normale P^O abaissée du point Fig. 73.
Pj sur la surface. Si on appelle p,
et Pj les distances OP4 et 0P„ i^ et i^ les angles d'incidence et de réfraction, on a
01 = Ps tg i, = pi Ig il,
d'où
sin 2f cos û Pi = —' — ^' • Pi-
Supposons le rayon PJ assez voisin de la normale pour qu'on
puisse supposer cos ij et cos i, égaux à l'unité, et tenons compte de la loi de Descartes; l'expression se réduit à
El «1
Donc les directions de tous les rayons réfractés voisins de la normale passent sensiblement par un même point Ps ; ce point est Yimage du point P^; elle est toujours du même côté de la surface réfringente que le point P, et, par conséquent, virtuelle si le point lumineux est réel, réelle si le point lumineux est virtuel.
85. Caustiques par réfraction. — Considérons un point lumineux P (fîg. 74) situé dans un milieu réfringent tel que le verre, et soit
Fig. 74.
MN la surface plane qui limite ce milieu. Les rayons issus de P et rencontrant MN sous des incidences notables ne peuvent plus être regardés comme provenant, après leur réfraction, d'un même point P'. Or, on peut grouper ces rayons de deux façons :
1® Considérons tous les rayons qui rencontrent MN sous le même angle; ils forment un cône ayant pour axe la perpendiculaire PO abaissée du point P sur MN : les rayons réfractés forment un cône de même axe dont le sommet se trouvera entre le point P' et le point 0. Par conséquent, la partie P'O de la perpendiculaire abaissée du point P sur MN fait partie d'une caustique par réfraction.
2<* Considérons tous les rayons situés dans un même plan passant par PO, et soit PIR un de ces rayons. Considérons le point P^ symé-
trique du point P par rapport au plan MN, le point A où la direction du rayon réfracté IR rencontre la circonférence passant par lesirois points P, I, P, et le point K où cette même direction rencontre la droite PP^ . Les angles en K sont égaux à l'angle de réfraction r ou à son supplément; d'autre part, lAPj et lAP sont égaux entre eux comme inscrits dans des segments égaux, et égaux pour la même raison âi !??! qui est Tangle d'incidence i. Soit n l'indice du verre et, par con-
séquent, - l'indice de réfraction pour les rayons considérés ; les
triangles AKP, AKP^ donnent
AP sinr .
KP sin i ""
APt j__ sin?* KPj sint
d'où l'on déduit
AP -f AP,
Le lieu du point A est donc une ellipse ayant pour foyers P et P, et pour grand axe nPPj ; les rayons réfractés sont des normales à cette ellipse ; leur enveloppe est donc la développée P'ST de cette ellipse, et la surface engendrée par la rotation de cette développée autour de PO fait encore partie de la caustique *. Le sommet P' de la développée est le foyer optique du point P. Les sommets S et T sont tels que les rayons PS, PT rencontrent la surface MN sous l'incidence limite.
Supposons maintenant que le milieu dans lequel se trouve le point P soit moins réfringent que le milieu situé de l'autre côté du plan MN, qu'un point lumineux situé dans l'air, par exemple, envoie ses rayons sur la surface d'une lame de verre.
Le foyer P' (fig. 75) est, dans ce cas, plus éloigné de la surface que le point P, et, en groupant
Fig. 75
1. La démonstration qui précède est due à M. Moutier {Nouvelles Annales de Mathématiques, 2* série, tome XIV).
les rayons par cônes d'axe PO, on obtient la portion de PO comprise entre P' et l'infini.
En considérant les rayons situés dans un même azimut, on trouve une seconde caustique dont la méridienne est la développée d'une
hyperbole. Cette hyperbole a pour foyers le point P et son symétrique
Pi, et pour axe transverse - PP,.
86. Imagées fournies par les rayons obliques. — Soit P^ (fig. 76) UD
point lumineux dans un milieu d'indice n^ séparé par une surface plane d'un milieu d'indice n^. Au lieu de la totalité des rayons, considérons seulement un pinceau très délié et prenons pour plan de la figure le plan d'incidence du rayon moyen. Soient P|K et PjL les limites du pinceau, i^ et i^ + di^ les incidences correspondantes, KR
et LU les rayons réfractés correspondants, i, et ?2 -f- rfij les angles de réfraction. Les directions KR et LU rencontrent en S et T la perpendiculaire abaissée de P^ sur la surface réfringente, et tous les autres rayons réfractés rencontrent cet axe entre S et T. D'autre part, tous les rayons réfractés du plan de la figure se rencontrent sensiblement au point M de la caustique, ceux des autres Fig. 76. plans d'incidence se rencontrent un
peu en avant ou un peu en arrière de M. Donc l'ensemble du faisceau réfracté s'appuie sur deux petits segments de droite, le segment ST situé sur l'axe et le segment M perpendiculaire au plan d'incidence moyen.
Appelons p^, q^ et pj les distances KP^, KS et KM et proposonsnous de déterminer les deux dernières en fonction de la première.
La considération des triangles rectangles P,OK et SOK, dans lesquels les angles en Pj et en S sont respectivement égaux à i^ et à i^y donne immédiatement
pi sin il = 9s sin ij
OU, en tenant compte de la relation n^ sin i^ = Wj sin ij,
Pi = £i, Ui ns
Considérons maintenant les triangles P^KL et MKL, où les angles en Pj et en M sont respectivement di^ et rfi^; ils donnent
KL
Êi
sin rfî'i cos (ï'i -f- di^)
et
KL ^ p«
sin rfîj cos (t'î + dit)'
ËUminons KL et négligeons les infiniment petits d'ordre supérieur au premier :
cos il cos ij*
Or, en différentiant Téquation de Descartes, on a
ni cos ?i dt'i =3 Tij cos if di^.
Divisons membre à membre; il vient finalement
Pi = Pi
Wi C082 t» nj cos^ i{
Si Ton suppose ij très petit, chacune des équations (2) et (3) devient identique à Téquation (1) (84).
Les considérations qui précèdent s'appliquent sans difficulté à la vision des objets au travers d'une surface plane réfringente ; considérons par exemple les apparences que présentent les objets placés dans l'eau : leurs images ne paraissent nettes que si on regarde ver-
ticalement, et leur distance à la surface n'est alors que les j environ
de celle des objets; si on regarde obliquement, les images sont plus relevées encore et leur distance ne peut être définie que si l'on fait intervenir les deux yeux. (Voir 71.)
