CHAPITRE I

260. Unités fondamentales. — Pour mesurer une grandeur, on la compare à une grandeur de même espèce appelée unité.

On pourrait choisir arbitrairement les unités des diverses grandeurs géométriques, mécaniques, physiques. Mais ces grandeurs sont reliées entre elles par des définitions ou des lois qu'on peut traduire par des formules, et ces formules renferment des coefficients numériques dont la valeur dépend des unités choisies; il est logique de choisir ces unités de façon que ces formules et, par suite, les calculs qui en seront l'application, soient aussi simples que possible. Nous appellerons rationnel un système d'unités satisfaisant à cette condition.

Par exemple, quand on aura fait choix d'une unité de longueur et qu'il sera convenu, bien entendu, de mesurer toutes les longueurs avec cette unité *, il sera logique de prendre pour unité de surface la surface du carré dont le côté vaudrait une unité de longueur : c'est à cette condition seulement que l'aire d'un rectangle se trouvera représentée par le produit de ses deux dimensions, ce qui n'aurait pas lieu si l'aire était évaluée en ares, et les côtés en pouces.

1. C^est ce qu^on ne fait pas toujours dans l'industrie où, pour mesurer, par exemple, les barres métalliques, on se sert d'unités différentes pour la longueur, la largeur et la hauteur.

Il y aura au moins une grandeur dont Tunité sera tout à fait arbitraire; il n'y en aura qu'une si Ton dispose d'un nombre de relations suffisant pour déterminer toutes les autres d'après celle-là; plusieurs unités, au contraire, seront arbitraires si Ton manque de lois propres à les déterminer. En réalité, et dans Tétat actuel de nos connaissances, on est obligé de conserver trois unités arbitraires dont toutes les autres dérivent, on les appelle unités fondamentales. Cela revient à dire que la mesure de toutes les grandeurs connues peut se ramener à celle de trois grandeurs fondamentales au plus.

Ces trois grandeurs fondamentales ne sont pas quelconques, car leurs unités ne doivent pas pouvoir se déduire Tune de l'autre, mais ces unités doivent être indépendantes et pouvoir servir, par contre, à déterminer toutes les autres : ce ne pourrait être, par exemple, les unités de longueur, de surface et de volume. En outre, il est désirable, ou que ces unités puissent être représentées par des étalons matériels indestructibles, ou qu'on puisse, tout au moins, les retrouver facilement.

Les unités fondamentales adoptées sont celles de longueur, de masse et de temps. Nous les désignerons par les symboles [L], [M], [T]. Les valeurs particulières qu'on leur attribuera caractériseront un système d'unités,

261. Unités dérivées. — L'unité de surface est la surface du carré construit sur l'unité de longueur : les aires pourront alors se calculer à l'aide des formules habituelles de la géométrie. Si l'on prend une unité de longueur 2, 3, 4,... fois plus grande, l'unité de surface devient 4,9, 16,... fois plus grande; en d'autres termes, l'unité de surface est proportionnelle au carré de l'unité de longueur; on le rappelle symboliquement en écrivant

On dit encore que ce symbole représente les dimensions de l'unité de surface.

L'unité de volume est le volume du cube construit sur l'unité de longueur; elle est proportionnelle au cube de l'unité de longueur. Ses dimensions sont donc :

Les volumes se calculeront par les formules usuelles.

L'unité d'angle est l'angle dont les côtés interceptent un arc égal au rayon sur une circonférence dont le centre est au sommet de l'angle. Si a désigne la valeur numérique d'un arc intercepté sur une circonférence de rayon r par les côtés d'un angle au centre a, ces trois nombres seront liés par la relation

a = ra.

L'unité d'angle est, d'après ce qui précède, indépendante de l'unité de longueur; elle n'a pas de dimensions; mais on peut rappeler qu'on calcule un angle en faisant le quotient d'une longueur par une

autre longueur f a = - j en écrivant

L'unité d'angle solide est un cône dont les génératrices interceptent sur une sphère dont le centre est ^u sommet du cône une aire égale à celle du carré construit sur le rayon. La surface s interceptée par un cône d'angle solide o> sur une sphère de rayon r sera

D'après ce qui précède, l'unité d'angle solide est indépendante de l'unité de longueur; maison peut rappeler qu'on calcule un angle solide en faisant le quotient d'une surface (ou du produit de deux

longueurs) parle carré d'une longueur ( w =z= -^ j en écrivant

On fait, en mécanique, la convention de mesurer la vitesse d'un mouvement par l'espace parcouru dans l'unité de temps; les valeurs numériques u, l et t de la vitesse, de l'espace et du temps sont liées par la relation

et l'unité de vitesse est la vitesse d'un mobile qui parcourt l'unité de longueur dans l'unité de temps. Cette unité est proportionnelle à l'unité de longueur et inversement proportionnelle à l'unité de temps :

[U]=[Ll[T]-i.

De même, une accélération y est liée à une vitesse u par la formule

l'unité d'accélération est l'accélération d'un mobile dont la vitesse augmente d'une unité par unité de temps. Cette unité est proportionnelle à l'unité de vitesse et inversement proportionnelle à l'unité de temps :

rr] = [U] [T]-i.

Mais les dimensions de [U] sont [LJ [T]-*; l'unité d'accélération est donc proportionnelle à l'unité de longueur et inversement proportionnelle au carré de l'unité de temps :

La proportionnalité des forces aux masses et aux accélérations s'exprime simplement par la formule

si Ton a soin de prendre, pour unité de force, la force qui donne à l'unité de masse Funité d'accélération; la première unité est alors proportionnelle à chacune des deux autres :

[F] = [MJ [FJ,

OU, en remplaçant [F] par ses dimensions,

La masie spécifique d'un corps est la masse par unité de volume, et se calcule par la formule

On en déduit les dimensions :

Le poids spécifique est le poids par unité de volume; le poids d'un corps est une force ; on peut donc écrire, en désignant par vs le poids spécifique :

Les dimensions de l'unité seront, par suite,