II. — ACTIONS DES LIQUIDES SUR LES PAROIS

410. Action sur une paroi plane. — Une relation analogue à la relation (i) du n<^ 403 s'apphque à deux parois planes finies situées d'une manière quelconque dans le liquide.

Considérons, en effet, une paroi plane S (fig. 274), et sur cette paroi un élément superficiel w supportant l'action <p; imaginons un plan horizontal arbitraire xy mené à l'intérieur du liquide, et appelons q • y\^. 27i.

la pression en un point de

ce plan, z la distance de l'élément w au plan xy. D'après la relation (1),

g -|- ZCT

OU

Les actions élémentaires ç ont une résultante F égale à leur somme :

Or, si Ton appelle Z la distance du centre de gravité de la surface S au plan art/, on sait que

2(oz = SZ,

et, par suite,

F = çS -f- SZct OU

Si l'on appelle F' la force supportée par une seconde paroi plane d'étendue S', dont le centre de gravité soit à une distance Z' du plan xy, on a de même

et, en éliminant q entre ces deux relations,

Cette relation a la même forme que la première et conduit, par suite, à des conséquences analogues; la pression en un point est remplacée ici par la pression moyenne sur une surface plane.

411. Principe de Pascal. — Le liquide étant contenu dans un vase fermé par un piston mobile, si Ton exerce un effort plus grand sur la base du piston, les actions supportées par les deux parois planes S et S' deviennent F, et F'j, et, en supposant que xs reste le même, on a comme ci-dessus

d'où, en éliminant (Z — Z')ny entre cette relation et la précédente,

Fj — F Y\ — r

Les vaiiations des actions exercées par le liquide sont proporhonnelles aux surfaces; c'est le principe de Pascal, ou de la transmission des pressions.

Pascal l'énonce ainsi, au commencement du second chapitre du Traité de V équilibre des liqueurs : « Si un vaisseau plein d'eau, clos de toutes parts, a deux ouvertures, l'une centuple de l'autre : en mettant à chacune un piston qui lui soit juste, un homme poussant le petit piston égalera la force de cent hommes, qui pousseront celui qui est cent fois plus large, et en surmontera quatre-vingtdix-neuf.

« Et quelque proportion qu'aient ces ouvertures, si les forces qu'on mettra sur les pistons sont comme les ouvertures, elles seront en équilibre. D'où il paraît qu'un vaisseau plein d'eau est un nouveau principe de mécanique, et une machine nouvelle pour multiplier les forces à tel degré que l'on voudra, etc. »

La mesure directe des forces Fj — F, Y\ — F' ne peut être réalisée que difficilement à cause des frottements des pistons contre les parois des tuyaux; aussi Pascal fait-il suivre de trois démonstrations théoriques l'énoncé du principe qui lui sert à expliquer les propriétés des liquides en équilibre. Nous l'avons déduit ici de la propriété fondamentale qui nous a servi à définir les liquides parfaits (401) '. Or nous avons déjà pu vérifier expérimentalement sur les liquides réels, et nous vérifierons encore par la suite diverses

1. Celte méthode a été indiquée par M. J. Moutier (Sur les principes fondamentaux de l'hydrostatique, î^ouv. ann. de mathématiques^ 2' série, t. VIII, 1860).

HYDnOSTAT[QUE 337

! cette propriété; il y a donc lieu de penser que le prîQcipe de Pascal s'applique, lui aussi, aux liquides réels.

412. Presse hydranllqne. — Pascal a fondé sur le principe de la transmission des pressions la construction d'ua appareil employé maintenant dans l'industrie pour transformer des efforts relativement assez faibles en actions comprimantes très énergiques, et qu'il a désigné sous le nom de presse hydraulique.

B (flg. 275) est une pompe aspirante et foulante à piston plongeur

de petite section. Ce piston, mis en mouvement j)ar un levier à bras inégaux L, fait arriver l'eau dans le corps de pompe A, par l'intermédiaire du tuyau T. Le piston plongeur de A présente une large section, et, en se soulevant, il peut comprimer fortement tel corps que l'on voudra contre le plancher fixe F, Dans le canal de communication T se trouvent : 1" une soupape a s'ouvrant de bas en haut et empêchant l'eau de revenir de A vers B; 2° une soupape de sûreté b, qui s'ouvre lorsque la pression dépasse une limite qui compromettrait la solidité de l'appareil; 3° une vis â filet en partie interrompu c, qui, lorsqu'on la fait tourner dans un sens convenable, permet à. l'eau contenue en A de s'échapper, afin que le grand piston . puisse redescendre.

413. On fut longtemps arrêté dans l'emploi des presses hydrau-

338 KQUILiBHE DES LIQUIDES

ligues par l'impossibilité d'empêcher, sous de fortes pressions, l'eau de suinter eotre le piston Pet la paroi du corps de pompe A. Ed 1796, l'ingénieur anglais Bramah résolut le problème de la manière suivante. Dans une gorge annulaire, creuSée dans la paroi du corps de pompe, il plaça un cuir embouti ayant à, peu près la forme d'uoe gouttière (flg. 276). L'un des rebords touche la surface du piston, et l'autre la paroi intérieure du corps de pompe. L'eau, pressant latéralement contre ces deux rebords, les ^'^' *■ applique contre les surfaces qui les touchent

avec d'autant plus de force que la pression est plus grande, et bouche ainsi les interstices par lesquels les fuites pourraient avoir lieu. 414. Les pressions que l'on obtient avec l'appareil ainsi modifié ne dépassent jamais quelques centaines d'atmosphères. A partir d'un certain moment, il arrive en effet que l'effort exercé à l'extrémité du levier L {flg, 27S), et transmis à la partie inférieure de la

soupape a, est impuissant à soulever cette soupape. En outre, les pressions obtenues ainsi s'accroissent brusquement de quantités énormes. Or, la continuité est, en général, aussi indispensable à

obtenir que la grandeur de la pression. L'appareil suivant, construit par Desgoflfe, permet d'atteindre graduellement jusqu'à plusieurs milliers d'atmosphères.

S (fig. 277 et 279) est une pompe aspirante et foulante dont le détail est reproduit figure 278. Le piston se compose de deux cylindres de diamètres inégaux : l'un plein P et l'autre creux p. La capacité « du corps de pompe étant pleine d'eau et le piston au haut de sa course, on abaisse le piston. Les ouvertures o, qui font communiquer la capacité v avec le réservoir H, pénètrent immédiatement dans une boEte à cuirs c, et la communication est interceptée. L'eau, comprimée par le piston P, soulève le cuir c' et pénètre par le canal U dans le corps de fik- ^s. pompe V, où elle détermine l'ascension du

piston Q. On remonte le piston P; immédiatement le cuire' s'applique contre lui, et toute communication entre V et ti est inter-

ceptée. Le vide se produit donc dans w et, au moment où le piston atteint le haut de sa course, l'eau pénètre, par les ouvertures o deve-

nues libres, dans le corps de pompe qu'elle remplit. On continue ainsi jusqu'à amener au contact de la plaque d'acier F, et sous une certaine pression, les matières disposées sur la plaque G; ce qui se fait très rapidement.

On cesse alors d'introduire de l'eau dans le corps de pompe V et, à l'aide de la roue R, qui se manœuvre avec la plus grande facilité, on fait pénétrer dans V un cylindre d'acier creux et résistant C qui, sur la figure 277, est représenté presque à bout de course. Ce cylindre est fixé à un écrou E mobile le long de la vis W, et guidé dans son mouvement pour ne pas tourner avec elle. A l'origine, E est voisin du collier 0 de la vis qui occupe alors toute la capacité du cylindre C, de sorte que l'on peut diminuer V de tout le volume extérieur de ce cylindre.

Le tube M fait communiquer le corps de pompe V avec un manomètre qui sera décrit plus loin et qui permet d'évaluer à chaque instant la pression qu'on exerce. L'ouverture o) laisse retomber dans le réservoir H l'eau contenue dans l'appareil, lorsqu'on desserre la vis u. Enfin les anneaux d'acier fondu A, A maintiennent les parties inférieure et supérieure de la presse et s'opposent à leur écartement, tandis que les plaquettes B, B s'opposent à leur rapprochement.

415. Action sur le fond d'un \afse. — Dans la relation établie au numéro 410,

F = ^S + SZcT,

supposons que q désigne la pression atmosphérique régnant à la surface libre du liquide et S l'aire du fond du vase; SZny sera l'action due en particulier au liquide, et la formule montre que cette action est égale au poids d'une colonne de ce liquide ayant pour base le fond du vase et pour hauteur la distance verticale qui le sépare de la surface libre.

Il est intéressant de vérifier que l'effort supporté par le fond d'un vase est bien indépendant de sa forme, et ne dépend que de la hauteur du liquide. Voici deux expériences :

1** Tonneau de Pascal. — Pascal employait un tonneau rempli d'eau (Vig, 280), qu'il surmontait d'un tube long et fin. Il suffisait de verser dans ce tube une quantité d'eau, dont le poids était insignifiant, pour faire éclater le tonneau.

^^ Appareil de Masson, — Dans un anneau de cuivre A (fig. 28i)r taraudé à l'intérieur, peuvent se visser les montures métalliques de trois vases de verre M, M', M'^ de formes très diverses. Ces vases, portant tous une ouverture inférieure de même diamètre, peuvent se fermer par le bas à l'aide d'un même obturateur de verre suspendu par un fil à l'une des extrémités du fléau d'une balance. On

commence par placer dans le bassin de la balance un poids P notablement plus grand que celui de l'obturateur, et on verse de l'eau dans le vase M jusqu'à ce que l'obturateur s'abaisse légèrement pour laisser écouler l'excès d'eau qui pèse sur lui. A ce moment, le poids P fait équilibre au poids ^^

de l'oblurateur et à l'effort supporté par le fond du vase M. On marque la hauteur du liquide avec un index. On recommence la même expérience avec les deux vases M', H", et on reconnaît que, le poids P demeurant le même, on doit toujours ver-

ser l'eau jusqu'à la hauteur de l'index, pour que l'obturateur puisse se détacher. Cet appareil donne la valeur de l'effort supporté par le fond du vase : en pesant directement le liquide coatenu dans le vase cylindrique M', et en y ajoutant le poids de l'obturateur, on trouve, en effet, P pour le poids total. 416. Action sup ■■■« paroi luérsle. — La relation

F = qS + SZc,

appliquée à. une paroi plane inclinée, montre que faction due à un liquide contre la paroi latérale du vase qui le lenferme est égale au poids d'une colonne liquide qui a pour base cette paroi et pour hauteur la distance verticale de son centre de gravité au niveau de la surface libre.

On vérifie d'ordinaire un cas particulier de cette proposition h l'aide de l'appareil suivant. Un tnbe, ouvert aux deux bouts (fig. 282),

3(2 ÉQUILIBRE DES LICfllDES

est fermé par an obturateur qu'on maintient èi l'aide d'un fil. Ed enfonçant le tube dans l'eau, l'obturateur est pressé contre le tube et on peut abandonner le fil. Si l'on verse alors de l'eau par l'extrémité ouverte, on voit l'obturateur se détacber au moment où le niveau du liquide à, l'intérieur est à peu près le même qu'à l'extérieur, et la difiJérence est d'aïUant plus faible, que le poids spécifique de l'obturateur est plus voisin de celui de l'eau.

417. Centre de pression. — Le centre de pression d'une paroi plane est le point d'application de la résultante des actions élémentaires supportées par la paroi. Ce point peut donc se déterminer, comme tout centre de forces parallèles, à l'aide du théorème des moments.

Considérons, par exemple, une paroi rectangulaire dont l'un de» côtés, situé dans le plan de la surface libre, se projette en A (fig. 283): soient b sa longueur et / celle du c6té AB qui lui est perpendiculaire- Deux boriiton taies, menées par H et M' à des distances x elx + dx de A, découperont un élément rectangulaire ayant pour surface

b. dx et supportant l'eflfo ri

s = hdj-. X sln X. CI,

si l'on appelle ce l'angle de la paroi avec la surface libre et ts le poidi^ spécifique du liquide. Désignons par X la distance du centre de pression C au point A, par F l'action totale exercée sur la surface du rectangle, nous aurons (416)

et, en prenant la somme des moments par rapport au cAté situé dans le plan de la surface,

FX = Sfj-,

le signe £ s'étendant h. tous les éléments rectangulaires qui composent la paroi. Remplaçons if et F par leurs valeurs, il viendra

„ s hdx. s sin a. m. j; Si'dj;

UYDROSTATIQUK

et comme

2,ï2rfa-- = ~ + Cte,

ce qui, dans le cas actuel, se réduit à

on aura définitivement

418. Mais il est plus simple de procéder de la manière suivante :

Élevons, en chaque point de la paroi plane, une perpendiculaire égale ou proportionnelle à la dislance de ce point à la surface libre. On peut regarder cette perpendiculaire comme représentant en grandeur et en direction la pression au point considéré (416); le poids du filet liquide ayant pour axe cette perpendiculaire, et pour base un élément de la paroi, représentera la force appliquée à cet élément, et il suffît de chercher le centre de ces forces parallèles pour avoir le centre de pression. Or, il est aisé de voir que les extrémités de toutes les perpendiculaires ainsi obtenues sont sur un même plan; la résultante cherchée passe par le centre de gravité du cylindre droit circonscrit à la paroi plane et terminé à ce plan. On n'a donc qu'à projeter sur la paroi le centre de gravité de ce cylindre tronqué, pour obtenir le centre de pression.

Voici quelques exemples :

l'^ La paroi est un rectangle ABCD (fîg. 284) ayant un de ses côtés AB dans le plan de la surface libre. Nous élèverons des points C et D des perpendiculaires au plan du rectangle, et nous construirons le centre de gravité du prisme ainsi formé.

Ce point est le centre de gravité de la section menée à égale distance des bases; il est aux deux tiers de la médiane IK à partir du point I, donc le centre de pression est aux deux tiers de la droite ir qui joint les milieux des côtés horizontaux.

2o La paroi est un triangle dont un côté AB (fîg. 285) est horizontal, et dont le sommet opposé S est dans le plan de la surface libre. Le cylindre tronqué est ici une pyramide quadrangulaire dont le centre de gravité est au quart de la droite SO qui joint le point S au centre

de la base opposée; donc le cealre de pression est au quart delà médiane SI à partir du point I.

3* La paroi est un triangle dont un côté AB (fig. 286) est dans le plan de la surface libre. Le cylindre tronqué est ici un tétraèdre

Nl^''

Fig. 285.

Fig. 286.

dont le centre de gravité est au milieu de la droite IF qui joint les milieux de deux côtés opposés; donc le centre de pression est au milieu de la médiane IS.

419. Action sur une paroi courbe. — Les actions exercées par un liquide sur les divers éléments d'une paroi courbe, n'étant pas parallèles, n'ont pas nécessairement une résultante unique; mais, dans certains cas, on peut trouver d'une manière simple la résultante de ces actions élémentaires.

Considérons, par exemple, une paroi hémisphérique dont le cercle de base soit horizontal, et proposons-nous de chercher si les actions

Fig. 287.

Fig. 288.

exercées sur les divers éléments de cette paroi ont une résultante unique. On peut procéder de deux manières :

10 Soit HH' (fig. 287) la surface libre du liquide, to un élément de paroi situé à une distance z de HH', cp l'effort qu'il supporte, on a

© = toZCT.

Décomposons cette action en deux autres, l'une horizontale et l'autre

verticale. Les composantes horizontales se font évidemment équilibre; il s'agit de composer les composantes verticales. La composante verticale de cp est, en appelant a son inclinaison sur la verti-

çcosa = zniwcosa ;

cale, or wcosa est la projection de Télém^nt o> sur la surface libre du liquide, donc ©cosx est le poids du filet liquide contenu dans le cylindre projetant. La résultante ^©cosa est donc égale au poids du liquide contenu dans le cylindre à base hémisphérique MNS.

2 Imaginons un plan AB (fig. 288) qui ferme Thémisphère. La masse liquide contenue à l'intérieur de ABS est en équilibre sous l'action de son poids Q, de la force P qui s'exerce sur AB et de celles qui s'exercent sur la partie sphérique. Ces dernières ont donc une résultante égale et directement opposée à P 7I- Q, et nous retrouvons le résultat précédent.

420. Paradoxe hydrostatique. — Nous allons montrer de la même manière que les actions exercées par un liquide sur les parois d'un vase ont une résultante égale au poids du liquide.

!*• La masse liquide contenue dans le vase est en équilibre sous l'action de son poids Q et des actions normales q^, q^, ^2v qu'exercent sur elle les divers éléments de la paroi; ces forces q^, 9,, Çj,... ont donc une résultante égale et directement opposée à la force Q. Or, les actions Poi /^n Pii" ^^ liquide sur les éléments de la paroi sont égales et directement opposées à Çq, g,, {'avî ^^^^^ ^^^ donc une résultante égale et directement opposée à la résultante de ces dernières, c'est-à-dire égale au poids du liquide.

2o Considérons sur la paroi du vase (fig. 289) un élément de sur-

Fig 289.

face 03, supportant de la part du liquide l'action (ozcr et un système d'axes trirectangulaires, dont deux, Oar, Oy, situés sur la surface libre et le troisième O2 vertical. Décomposons la force coztj suivant ces trois directions, les trois composantes auront pour valeurs

(ozrrcosa, (oznicosp, (ozcrCOSy,

en désignant par a, p, y les angles que fait avec les directions positives des axes, la direction suivant laquelle s'exerce la force. Circonscrivons à l'élément oj un cylindre, dont les génératrices horizontales soient parallèles à Oar; ce cylindre découpera sur la paroi opposée un élément 0/ supportant l'action normale w'ztr, et, en désigaaat ^r a' r«ngle aaalogae à «, la composante de cette force suivant Taxe des x sera o>'znycosx'. Mais ojcosa et oi'cosa' représentent Tun et l'autre la section droite du cylindre circonscrit (403); donc les deux composantes en question sont égales et directement opposées. Ce raisonnement fait voir qu'à toute composante horizontale en correspond une autre égale et directement opposée.

Il reste donc à considérer les composantes verticales. La composante verticale (ozcrcosy est le poids du liquide contenu dans le cylindre qui projette l'élément w sur la surface libre. Si ce cylindre n'est pas tout entier contenu à l'intérieur du liquide, il rencontre de nouveau la paroi suivant un élément o),, par exemple, et la composante verticale tOjZjcrcosYi ^^ l'action que cet élément supporte, composante égale au poids du liquide contenu dans le cylindre qui projette w, sur la surface libre, est dirigée en sens contraire de la précédente; ces deux composantes verticales ont donc une résultante égale à leur différence, c'est-à-dire au poids du filet liquide contenu à l'intérieur du vase. Par conséquent, la somme de toutes les composantes verticales, ou la résultante totale des actions, est égale au poids du liquide renfermé dans le vase.

La démonstration s'applique tout aussi bien au cas où il n'y a pas de surface libre : la différence des pressions en deux points d'une même verticale est, en effet, toujours égale à zny, et la différence des composantes verticales des actions élémentaires correspondantes toujours égale au poids du filet liquide.

Il en résulte que, si l'on place sur le plateau d'une b«alance un vase plein de liquide, la balance accuse le poids du vase augmenté du poids du liquide; ce qui, à première vue, peut sembler contradictoire avec le résultat obtenu pour l'action qui s'exerce sur le fond horizontal du vase. C'est cette contradiction apparente que Ton désigne sous le nom de paradoxe hydrostatique,

421. Vases ft réaetion. — Les actions po, /?i, Pa,--, exercées parle liquide contenu dans un vase, ont pour résultante le poids Q du liquide contenu dans le vase, et, par suite, font équilibre à une force Q' égale et contraire à Q. Par suite, la force Q' et les actions élémentaires Pj, P2,..., considérées à l'exclusion de/?,,, ont une résultante p égale et directement opposée à p^. Donc si l'on ouvre un orifice, en enlevant la portion de paroi qui supporte l'effort p^, et si l'on admet, en outre, que toutes les autres forces du système restent

les mêmes, la force p, égale et contraire à p^, donnera la direction du mouvement pris par le vase.

L'expérience se fait, soit à Taide d'un chariot à réaction en cuivre

Fig. 290.

très mince porté sur des roulettes fort mobiles (fig. 290), soit à l'aide d'un ballon à deux tubulures om pendule hydraulique (fig. 291),

Fig. 291.

Fig. 292.

soit enfin à l'aide d'un entonnoir V ou tourniquet hydraulique (fig. 292), suspendu à un fil et muni d'une garniture métallique.

422. Principe d'Archimècie. — Les actions exercées sur la surface d'un corps plongé dans un liquide ont pour résultante une force égale et directement opposée au poids du liquide déplacé.

Si Ton suppose, comme on l'a fait jusqu'à présent, que les actions exercées par le liquide soient indépendantes de la nature du corps

sur lequel elles s'exercent, on peut les évaluer en remplaçant le corps par une masse liquide qui occupe exactement le même volume. Les actions p, />', p",..., exercées par le liquide environnant sur les divers éléments de la surface qui limite cette masse liquide, font équilibre au poids du liquide; donc ces actions ont pour résultante une force égale et directement opposée au poids du liquide déplacé. On donne à cette résultante le nom de poussée^ et on appelle ccnin de poussée le centre de gravité de la masse liquide dont le corps tient la place, la direction de la poussée passant toujours par ce point.

Le principe est encore applicable quand le liquide n'est pas homogène, mais formé de couches horizontales de poids spécifiques différents. Si l'on considère en particulier un corps qui ne soit pas complètement immergé dans un liquide (fîg. 293), la résultante des actions provenant du contact du liquide avec sa partie inférieure et du contact de l'air avec sa partie supérieure est égale à la somme des poids du liquide et de l'air déplacés.

423. On peut également établir le principe d'Archimède en employant le même

Fig. 293.

Fig. 294.

genre de démonstration que pour le paradoxe hydrostatique (420). Il suffît de décomposer chaque action élémentaire suivant trois directions rectangulaires choisies comme précédemment, et de tenir compte de ce que les positions relatives du corps et du liquide sont interverties.

424. On démontre expérimentalement le principe d'Archimède en suspendant à l'un des plateaux d'une balance (fig. 294) deux cylindres, l'un plein et l'autre creux, tels que le volume extérieur du cylindre plein soit exactement égal à la capacité du cylindre creux. On fait la tare des deux cylindres, puis on immerge complètement le cylindre plein à l'aide d'un pignon qui permet de sou-

lever lentement un vase rempli d'eau. L'équilibre est rompu et le fléau s'incline du côté de la tare. Pour évaluer la poussée que subit le cylindre plein, on verse de Teau dans le cylindre creux, et on constate que l'équilibre est rétabli lorsque ce cylindre est exactement rempli. D'où cette conclusion : la poussée de bas en haut sur le corps immergé est égale au poids du volume d'eau introduit dans le cylindre creux et par suite au poids du volume d'eau déplacé par le corps immergé.

4:25. Équilibre des corps flottants. — Lorsqu'un corps est plongé dans un liquide, il est sollicité par son poids P, appliqué à son centre de gravité, et par la poussée Q du liquide, appliquée au centre de gravité du liquide déplacé ou centre de poussée. Trois cas peuvent se présenter, suivant que Ton a

1** Dans le premier cas, P et Q ont une résultante égale à P — Q, dirigée dans le sens de la plus grande force, et qui tend à faire descendre le corps dans l'intérieur du liquide.

2° Dans le second cas, P et Q forment un couple qui a pour effet de faire tourner le corps, de telle sorte que le centre de gravité et le centre de poussée se placent sur la même verticale; le corps est alors en équilibre.

3^ Dans le troisième cas, la résultante Q — P fait monter le corps à la surface du liquide. Mais, à mesure que le corps émerge, la poussée diminue, et il arrive un moment où cette poussée est égale au poids du corps; les deux forces forment alors un couple qui amène les centres de gravité et de poussée sur une même verticale. Pour qu'un corps flotte en équilibre à la surface d'un liquide, il faut donc que son poids et la poussée soient deux forces égales et directement opposées, c'est-à-dire que le poids du corps soit égal au poids du liquide déplacé^ si on néglige le poids de l'air déplacé par la partie supérieure du corps, et de plus que le centre de gravité et le centre de poussée soient sur la même verticale,

426. Détermination du plan de flottaison. — Un COrps étant donné,

on peut se proposer de déterminer son plan de flottaison^ c'est-àdire la situation, par rapport au corps, du plan de la surface libre du liquide sur lequel il flotte. La première condition que ce plaa doit remplir est de partager le volume du corps en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné, en supposant, toutefois,^ le corps homogène. Soient, en effet, V le volume du corps, xs son poids spécifique, u le volume du liquide déplacé, S son poids spécifique. Le poids du corps sera égal au poids du liquide déplacé, si l'on a

et cette égalité peut s'écrire

irr

V — M ~ S — rr'

La seconde condition, pour le plan de flottaison, d'être perpendiculaire à la droite qui joint le centre de gravité du corps à celui du liquide déplacé, est en général plus difficile à exprimer. 427. Stabilité de l'équilibre. — La Stabilité de Téquilibre d'un corps

flottant est une des questions les plus difficiles de l'hydrostatique, et nous ne la traiterons que dans le cas très simple de déplacements qui n'altèrent point le volume immergé.

Soit AB (fig. 295) la droite qui joint le centre de poussée C au centre de gravité G du corps dans sa position d'équilibre, A'B' (fig. 296) ce quelle devient à la suite d'un déplacement infiniment petit, C le nouveau centre de poussée. Les forces égales qui sollicitent le corps sont, d'une part son poids P appliqué en G, et de

Fig. 295.

Fig. 296.

l'autre la poussée Q, qu'on peut regarder comme appliquée en M où la verticale de G' rencontre A'B'^ P et Q constituent un couple qui a pour eff'et, dans la première figure, de ramener le corps vers sa position d'équilibre, dans la seconde, de l'en éloigner davantage, et, dans la troisième, de le laisser indifférent. La stabilité est donc intime-

1. Si la verticale du nouveau centre de poussée ne rencontrait pas A'B', on prendrait pour M le pied, sur A'B', de la plus courte distance de ces deux droites.

ment liée à la position de ce point M, qu'on a appelé métacenire, ou plutôt à la position limite de ce point quand on suppose Técart de plus en plus petit, et Ton peut énoncer la proposition suivante : ^^L'équilibre est stable ou instable, suivant que le métacentre est situé au-dessus ou au-dessous du centre de gravité du corps; il est indifférent lorsqu'il coïncide avec lai K

428. Applications. — 1° Considérons une sphère hétérogène dont le centre de gravité ne coïncide pas avec le centre de figure. La verticale du centre de poussée C (fîg. 297) passant, dans une position

Fig. 297.

Fig. 298.

quelconque, par le centre 0 de la sphère, le centre de gravité du corps est sur la verticale du point 0 quand la sphère est en équilibre. En écartant le corps, de telle sorte que le volume immergé reste invariable, G ne change pas; donc le métacentre est en 0. Ainsi l'équilibre est stable si le centre de gravité est en G' au-dessous de 0, il est instable s'il est en G" au-dessus, et il est indifférent s'il est en 0.

2^ Considérons un cylindre droit dont la section soit très petite relativement à la longueur, et qui flotte verticalement à la surface d'un liquide (fîg. 29.8). Le centre de gravité et le centre de poussée C sont sur une parallèle aux génératrices ; de plus C est au milieu de la partie plongée. Inclinons légèrement le cylindre, de manière que le volume immergé reste invariable, C ne se déplace que d'une quantité infiniment petite ; donc le métacentre est en C. Ainsi l'équilibre est stable si le centre de gravité est en G' au-dessous de G, il est instable s'il est en G'' au-dessus, et il est indifférent s'il est en C.

1. Cette proposition et l'expression de métacentre sont dues à Clairaut, qui les a données pour la première fois dans son Traité du navire.

De là Tutilité de lester les aréomètres et autres instruments du même genre.

429. Exercice. — Pour terminer ce qui est relatif aux liquides pesants, proposons-nous de déterminer V effet produit par un covpi solide suspendu à un fil^ quand on Vintrodult dans un vase plein deau placé sur le plateau d'une balance^

D'après le paradoxe hydrostatique (420), la résultante des actions normales exercées par le liquide, tant sur la paroi du vase que sur la surface du corps plongé, est égale au poids du liquide et dirigée de haut en bas. D'après le principe d'Archimède (422), la résultante des actions normales exercées par le liquide sur la surface du corps plongé est égale au poids du liquide dont ce corps tient la place et dirigée de bas en haut. Par conséquent, la résultante des actions normales exercées par le liquide sur la paroi du vase seulement est égale au poids du liquide, augmenté du poids d'un volume de liquide

égal à celui du corps plongé, et dirigée de haut en bas.

On peut encore résoudre la question de la manière suivante. Les actions normales supportées par la paroi du vase sont indépendantes du corps plongé, et ne dépendent que du niveau de la surface libre. Or, on n'altère pas ce niveau en remplaçant le corps par une masse liquide de même forme abandonnée à elle-même. Mais, dans ce cas, la résultante des actions normales supportées par la paroi du vase est égale au poids du liquide (420) ; on obtient donc le même résultat que précédemment.

430. Pour vérifier ce résultat par l'expérience, on place sur l'un des plateaux d'une balance un vase de verre (fig. 299) en partie rempli d'eau, et sous l'autre le cylindre creux dont il a été question plus haut (424), puis on achève d'équilibrer avec de la tare. On immerge complètement le cylindre plein, fixé à un support distinct de la balance. Le fléau s'incline du côté du vase et ne redevient horizontal que si l'on remplit exactement d'eau le cylindre creux placé de l'autre côté.

431 . Équilibre d'un liquide soumis à des forces quelconques. —

Nous avons considéré jusqu'à présent des liquides soumis uniquement à l'action de la pesanteur ; il est aisé de voir que les résultais sont analogues, si l'on suppose un liquide soumis à des forces de

Fig. 299.

direction constante et proportionnelles aux masses sur lesquelles elles agissent.

Reprenons en eflFet le filet cylindrique AA' (403) ; soit q (fig. 300) la résultante des forces appliquées au liquide qu'il contient, cette force passe par le centre de gravité du filet et a pour expression

si l'on appelle p la force appliquée à l'unité de volume. En conservant les autres notations, on a, comme précédemment,

- = -^ + ^cos p.p;

Fig. 300.

mais /cos^S est la projection de là longueur l sur la direction des forces supposée constante; si Ton représente cette projection par X, la relation peut s'écrire

p = v' + >^P- Elle donne lieufiux mêmes remarques que la relation (199)

en particulier, si Toiî appelle toujours surface de niveau le lieu géométrique des points où la pression est la même, on voit que la surface de niveau passant par le point A est le lieu géométrique des points pour lesquels

X = Cte,

c'est-à-dire un plan perpendiculaire à la direction commune des forces q,

432. Si les forces qui agissent sur le liquide, toujours proportionnelles aux masses, ont des directions variant d'un point à un autre d'une manière continue, on peut considérer une masse liquide suffisamment petite pour que les forces appliquées aux divers éléments de volume conservent sensiblement la même direction, et remplacer dans une petite étendue la surface de niveau par le plan tangent à cette surface. D'après ce qui précède, le plan tangent est perpendiculaire à la direction des forces au point considéré; en d'autres termes, la surface de niveau est normale en chacun de ses points à ia résultante des forces qui sollicitent le liquide.

433. Appiieations. — 1° Prenons comme première application le cas d'un liquide pesant tournant uniformément autour d'un axe

jnt^x

vertical. Nous chercherons, au lieu des surfaces de niveau qui sont évidemment de révolution, les méridiennes de ces surfaces. On démontre en mécanique qu'on peut faire abstraction du mouvement de rotation et ramener l'étude de l'équilibre relatif à celle de Téquilibre absolu, en appliquant à chaque particule, en outre des forces qui agissent effectivement sur elle, une force centrifuge ayant pour expression mw'a?, oi désignant la \itesse de rotation, x le rayon du cercle décrit.

Prenons Taxe de rotation (fîg. 301) pour axe dest/; une particule M est sollicitée par son poids mg^ auquel nous adjoignons la force centrifuge mw'a;; exprimons (432) que la résultante de ces forces est normale à la surface de niveau qui passe par M. Les deux triangles semblables DME, PMN donnent

PN DE mg PM DM ma)2x'

Fig. 301.

d'où, pour la valeur de la sous-normale,

PN = -^ = Cte,

ce qui est une propriété caractéristique de la parabole. Par suite, les méridiennes cherchées sont|des paraboles égales définies parla relation

a:2 = 2 -S^ y H- Cte.

Si l'on avait deux liquides au lieu d'un seul, on obtiendrait les mêmes surfaces de niveau, et la surface de séparation serait une de ces surfaces. Ce dernier point peut s'établir par un raisonnement analogue à celui du numéro 406.

2» Cherchons, comme seconde application, la position d'équilibre d'un corps solide de très petites dimensions en suspension dans un liquide pesant tournant uniformément autour d'un axe vertical. Si nous ramenons l'équilibre relatif à un équilibre absolu par radjonction de la force centrifuge, le corps plongé S (fîg. 302) est soumis à cette force mtà^r^ à son poids mg^ et aux actions normales du liquide.

Pour évaluer ces dernières, remplaçons S par une masse liquide de même forme. Cette masse m' étant en équilibre sous l'action de la force centrifuge m'(ah\ de son poids m'^, et des actions du liquide environnant, ces actions peuvent être remplacées par des forces égales et directement opposées à m'g et à rw'w'r; de sorte que la poussée sur S est la résultante de ces forces. Cette résultante est à la résultante des forces mg et mwV comme m' est à w, et elle lui

s^ muhr

Fig. 302.

est directement opposée : il n'y a donc de position d'équilibre que si le corps est moins dense que le liquide et émerge de telle sorte que la masse du liquide déplacé soit égale à celle du corps.

Si m est différent de m', et que la vitesse de rotation soit très grande, les deux forces mwV et m'wVont une résultante {m — m')tù^r qui peut devenir très grande. C'est ainsi qu'on peut accélérer le dépôt de certains précipités fort ténus en faisant tourner rapidement le liquide au sein duquel ils se sont produits.