O'E' = O'A' + A'B' + B'C + (— CD') + ( — D'E
Or. chaque terme de cette dernière somme représente, en valeur et en "igne.la projection de l'une des composantes, tandis que O'E', qui est égale ^ cette somme, représente la projection de la résultante.
Une force contenue dans un plan passant par Taxe XX'' a une f)rojection dont la direction rencontre le point 0, à nioin& que la force ne soit parallèle à XX', auquel cas sa projectionsur le plan P est nulle ; dans les deux cas, le moment de I force par rapport à XX' est nul.
Ht»ciproquement, si une force a un moment nul par rapport n XX\ la direction de sa projection passe par le point 0, à moins cpie cette projection ne soit nulle, ce qui indique quel force est parallèle à XX' ou nulle : la force est contenue dan un plan passant par l'axe, on bien cette force est nulle.
Doux sysli'mes de forces qui produisent le même effet sur u corps sont tels que la somme des moments des forces par rappor à un axe quelconque est la môme pour les deux systèmes (')
En parliculier, 7a somme des moments par rapport à un ax
I La di'monstralioQ do ce Iht^orèmc esl calque; sur ccllo du Ihéorèm* oaalo^ue correspondant aux forcer situées dans un même plan.
Hemarquons d'abord que deux forces cpales et directement opposées on' d.'S moments o^nux en valeur absolue et de signes contraires par rapporta uc axo quelconque. On peut donc ajouter à un sysêlme de forces ou en rclrao- «•hor d^ux forces égralcs et dirojlement opposées sans changer la «orome des uiouients.
!>*autre part, nous savons que la projection sur un plan P perpendiculaire à t:n ave quelconque \X , delà résultante Me de deux fortes M« et M/# csl prov*I<« .uenl la r.*sultante dos projections M a et M b de ces deux forci tî^. ;3> , et nous savons au>si que le moment lie la résultante Me pai rappi^^rt au point O où Taxe XX per\e le plan P esl t-pal à la somme des^ luomenis de* composante* M a ei M /> par rapport à ce point. Or, par défi — lùtion, les moments par rap(H>rt au point 0. de M a , M Z» , Me' sont respecii\ ment Ks moments de Mj. Mb, M<* par rapport à XX ; par conséquent, /a r\'>ulUut' Me «. />«ir rs^'p-strt i un axe quclc'jDqu>y XX, uo vaoïueDt *]ui oi ."a s^'ni:uc «/es tuow'Dts Jes «/-.'-x c-.'niposëDtes Ma et M 6.
v'.i*s dciiv points établis, remarquons «;ae toutes l:*» transformalioQS d'un s\<lemede forces en en autreéqui\ale.;t .-.mjH^silion de force* concourantes ^w a ^-aralMes, decom^vsiûon en forces oonc^.•araule* ou i^arailele** composi- ;.,vi tfï d -oaipL^itioii de* cou, i.'s et.*, se font j-ar une série d'opération* qu; 0 x.iisle:'.; à Ct»m^x^ser deux forces aij'ltiu-es eu un mCme point ou à dev.'. :n;-.-s*r u»o force en vi.'ux forces a^ant oiCiue (-oint d'application, ou N.- i e:îc.*re à ajouîer ou a relr.ia.'her deux :■. rcts t^jlrs et directe- Rie.it op{H>*ees; U s<<:uuie des m^men^s Jes force* restant La même dans cïki^u^ o(>erAiioa de ce ^crf« il en est de 3i-'uie poor lensemble des operj;ioas.
DYNAMCQUE 108
'fuetconqae 'les deux résnilantes on de In vi'-suUanle et des cotnposBiilea du couple résultant est le même que la somme des aiomeats de toutes les forces appliquées à au corps solide.
CeH In gri^nëraUsation du ihéorèmc des moments par rapport à un point ; ce dernirr théorème n"élant évidemment qu'un cns liar-Uculîer de celui ([ue nous venons d'énoncer.
Si toutes les foires qui ngissenl sur un corps se font éijuililirc, les rcsiiltnntes élaiH nulles, les moment<<l« ces i<fsultantes sont nuls : itt somme des moments par rapport à un axe quelconque e/t* ioules les forces est nulle.
I-t(?ciproquemeut, si la somme des moments pnr rapport à uei axe quelconque de toutes les forces est nulle, /o'J/es ces /breesso font équilibre. Prenons, en effet, un axe perpendiculaire au plan «lu couple résultant et passant par lu résultante; In somme des »ïiomenls du couple et do la résultante devant être nulle, et lo rnoiiienl de cette résultante étant nul, il faut que le couple soit o» il , Prenons maintenant un second n\e i[ui ne reniiontre pas ta flii-eclion de la résultante; pour que le moment de celle-ci soit r*»»!, il faut que sa valeur soit nidle.
Cïç thôorème des moments par rapport à un oxeest précieux *ouies les fois qu'on a â considérer l'équilibre d'nn corps solide Pc>uvaiil tourner autour d'un axe fixe. Parmi les forces qui agis- **^tit siu- le corps, la résistance de l'axe derotation doit intervenir; **•". on ne connaît a priori ni la prandcur ni In direction de cette (ofoe; on sait seulement que son point d'application se trouve sur ' •x©. Dès lors, si l'on prend celui-ci cojnnio axe des moments, '^ ïïiomcnt de la résistance est nul, et, pour qu'il y ait équilibre, '^ ftt vl que la somme des moments dus autres forces par rapport "■ -'"«se soit nulle.
t>u reste, il sa fût que la somme dos moments des forces par
*'^Sjf3orl à Faxe de rotation soit nulle pour qu'il y ait é(|uilihre.
"^iiplaçons, en effet, les forces par leurs deux résultantes, et
'^" oïsissons pour point d'application do Tune d'elles un point
*^ l'nxe de rotation de façon que son moment soit nul. Le
"^'^ment de l'aitlrc résultante étant nul aussi, puisque la somme
'*^s moments de toutes les forces est nulle, il faut que sa direction
P^Sjse par un point de l'axe. Comme on peut In supposer appli-
4UéQ en ce point de l'axe de rotation sans clianger son effet, on
voit que os deux résultantes rtant appliquées h l'axe sont d< truites par la résistance de celui-ci : il y a équilibre.
38. MOMENT PAR RAPPORT A UN PLAN. — On appelle mome (Tuno force pnr rapport a tin plan F qui lui est parallèle,
produit F>%\A' de la valeur de la force par la distance AA' ( la force au plan (flg. 60).
Quand une force est située dat le plan P (plan des moments) 8< moment est nui puisque la dislaiK A A' de la force au plan est nul!
Réciproquement, si le moment d'ui foire est nul , ou cette force o nulle, ou elle est contenue dans plan (les moments.
Menons dans le plan des m< menls une droite X'X perpendio laire a la direction de la force; celle force tend h faire tourner a' tour de X'X le cor[>s auquel el est H)ipli(|uée dcins le sens des a guilles (fune montre, le mome do la foroeost considéré comme positifc exemple An flg. 60); si foire tentl à faire tourner le corps en sens inverse du mouveme desai^iillesd^une montre, le moment est considéré comme néga I exemple n/> lljr. tUh.On voit que deux forces parallèles, de mèn sens et situées de part et d'autre du plan des moments ont d< moments de si^rnes contraires. Il est évident aussi que det forées parallèles, de sens inversas, situées du même côté du ph des moments ont des moments de sipnes contraires.
Faisons rem:irquer que le momt^nt d'une force \a {Vi^. 6( )uir rapport a un plan V n'est pas autre cliose ffue le mome \F OK l'e cette force p;ir rapport à un axe X X situé dans plan P et ayant une «lireotion perendioulaireà la loi ce.
Puisque le moment de !:i résultante de plusieurs forces p^ mllèles \M\y rapiH^rt à un ave quiconque, ou la somme d< momer:ts d('< oon4H>santes liu Cv uple résultant, égale la somn
Fit;. 60.
des momenls des forces par rapport â cet axe, on en conclut que:
Lemoment par rapport à un plan de la résultante deplusieurs fortes parallèles entre elles et parallèles à ce plan, ou la somme des momenls des composantes du couple résultant, égale la somme des moments des forces composantes.
Au Tond, la notion de moment par rapport à un plan fait double emploi avec celle de moment par rapport à un axe qui est plus générale et il n'y aurait pas lieu de la conserver, si Ton ne pouvait pas établir directement et simplement le théorème que nous venons de déduire du théorème des moments par rapport i un axe {'f.
Il| Voici ta démonslralioD direcie du théorê dtnin» d'abord deux Torces parollètca et de mfme uns Aa el Bb {flg. 01) el leur réaullaDle Ce. Abiii^sons dix trois poiiiis A, C, G siiués eu lign) droite, do9 perpendicu- Up»e AA', ce, Ull' sur le plan P; ces ■mil droites élatil contenues dans un mime plan, les point!' A', C, D' oii cIIcb rmcoDlrent le plan P aonl siluËs en ligne droit», et l'on a la relition :
ce
