DÉTEMINATION DU CENTRE DES FORGES PARALLÈLES. — Lo

théorème des moments par rapport à un plan, ou le théorème plus g:énéral des moments pnr rapport à un fixe, donne nu moyen commode de trouver le centre des forces parallèles.

Prenons trois axes des coordonnées rectangulaires entre eux OX, OY, OZ (lig. 62). Soient x,,y„ »„

les coordonnées des points d'application A, B, C...

des forces parallèles et soient F,, Fj, F3. .. les

FiG. 69.

valeurs de ces forces.

d'où

ce X (B/) + A«) = AA' X Aa -|- BB' X B^

ce X Ce = AA' >: Aa + BB' X B^

Cette relation montre que le rooinenl de la résultante Ce est égal à la somme des moments des deux composantes. Dans le cas de la (Igurc 61 Ica moments des deux forces composantes sont positifs; si le plan P coupait la ligne AB qui joint les points d'application des forces, il y aurait à considérer des moments de signes contraires, mais on trouverait de même que le moment de la résultante égale la somme algébrique des moments des composantes.

Une démonstration calquée sur la précédente montre que cette proposition subsiste quand les deux forces sont parallèles et de sens opposons.

On en conclut, par conséquent, que, quel que soit le nombre des forces parallèles, le moment de la résultante de toutes ces forces ou, dans le cas où toutes les forces »c réduisent à un couple, la somme des moments des deux composantes du couple, égale la somme des moments des forces composantes.

Désignons par X, Y, Z, les coordonnées du point d'application de la résultante de ces forces, c'est-à-dire les coordonnées du centre des forces parallèles, et par R la valeur de cette résultante.

Nous savons que la position du centre des forces parallèles est indépendante de la direction commune des forces; supposons alors que toutes les forces soient parallèles à OZ, et écrivons que le moment de leur résultante, par rapport au plan ZOY, ou, ce qui revient au même, par rapport à l'axe OY, est égal a la somme des moments des composantes ; les distances des forces au plan des moments étant ïx des points d'application, on a:

(!) RX = FiX| + FgXa + F3a:3+ . . . = 2 Fx

Si mainteuant nous prenons les moments des forces par rapport au plan ZOX, ou, ce qui revient au même, par rapport à Taxe OX, la dislance des forces au plan ZOX étant ïy des points d'application, on a :

(2) RY = F,y, + F,//, + F^y, + . . . = 2 F^

Supposons maintenant que les forces soient toutes parallèles àOY, et prenons leur moment par rapport au plan XOY, ou, ce qui revient au môme, par rapport à Taxe OX ; la distance de leur point d'application au plan XOY étant le z des points d*applicalion, on a:

(3) RZ= F,3fi + Fâ», + F323 + . . . = 2 Fa Nous avons, en outre, la relation :

Cette dernière relation fait connaître la valeur de R et les relu-

lions (1), {2\ (3), déterminent les coordonnées X, Y, Z du centr^^ des forces parallèles.

40. CENTRE DE GRAVITÉ. — Quoique la notion de centre cfe — gravité soit venue de l'étude de la Pesanteur, celte notion est utile à connaître pour la Mécanique générale et nous devons en 'lonner, dès à présent, une défînilion précise indépendante delà Pesanteur.

Supposons un corps, ou un système de corps, dont la position est rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires. Divisons ce système en portions assez petites pour être assimilées chacune à des points; soientmi^m^^nis... les masses de chacune de ces portions, et désignons pas X|, î/|, s,, jt^, y^, 2-^. X3, ys, S3,... leurs coordonnées. Appelons enihi M la masse totale du système :

Le centre de gravité est le point dont les coordonnées X, Y et Z sont fournies par les relations suivantes :

MX = m,X| + m^j -f ^«3X3 |- . . . = -^ mx MZ = ni|3, -|- ^n^z^ -j- wj3:.3 -f ... = ^ mz

Nous définirons plus loin iL. II, Chap. I g 3) le centre de gravité comme le point d*applicalion de la résultante des actions de la pesanteur sur toutes les parties du corps. Les actions de la pesanteur étant des forces parallèles et de même sens, ces deux définitions reviennent au même, grâce au fait d'ex [>érien ces, que nous établirons (L. 11 Chap. H gg 7 et 8), que quand un corps tombe

ousTaclion delà force de pesanteur seule, raccélérationdu moulinent est une môme constante g quelle que soit la nature du orps, ce qui fait que mg représente la force de pesanteur agisent sur un corps de niasse m. En effet, multiplions les deux lembres de la relation (1) et de chacune dos relations (3) par titô constante £f; les relations ainsi modifiées expriment que , Y et Z sont les coordonnées du point d'application de la rélitanle des forces de pesanteur agissant sur toutes les parties mi corps, d'après les formules (1), (2), (3) et (4) du paragraphe vécédent.

Nous aurons occasion, un peu plus loin, de montrer Timporince de la notion de centre de gravité.