ABERRATIONS DE SPHÉRICITÉ S

par r le rayon IH du cercle de base de le calotte aphérique et par B l'angle d'ouverture du miroir lOC (>).

(1) CoDaitUroDB, en efTal, un royoD SI provenant d'un poini A situé à rinfloi sur Vit» principal OC: ca rafon est pareliUe k OC. L« rayon ré- IMehi lOK, coupe en D l'aie principal et en K un plan P perpendiculaire à OC cl paiMot par la tojw principal P, image du point A. On a ;

= DP

= PK

Or, l'angle d'incidence SIO et, par conaëquent, l'angle de réllaiion OID •ont égaux k a : le triangle lOD est donc isocèle, ce qui donne :

1= OD-OF =?('-! l)

i Vcos a /

«langle DFK d p = X tangSs

Les lentilles plan convexes très minces ëtant fort employées dans les instruments (l*optique, leur aberration mérite une mention spéciale. Le calcul montre qu'il existe sur l'axe principal deux points M et N situés du côté de la face plane. Tua un pett en deçà, Tautre un peu au delà du foyer, pour lesquels Taberration est sensiblement nulle ; c'est-à-dire que, si uo point lumineux est placé en M ou en N, les rayons marginaux réfractés coupent Taxe au même point que les rayons centraux. Pour ui point lumineux placé sur Taxe entre M et N, l'aberration longitudinale est positive, tandis qu'elle est négative si le point placé sur l'axe est en dehors du segment MN. L'expérience vérifie l'existence des points sans aberrations H et N : si l'on place es ces points un petit objet et qu'on en examine l'image nielle ou virtuelle donnée par la lentille, on la trouve aussi nette soit qu'on couvre les bords de la lentille pour ne conserver que \f& rayons centraux, soit qu'on couvre le centre pour ne conserver que les rayons marginaux, sans qu'il soit nécessaire de déjilaoer l'appareil optique ({ui sert à examiner l'image. Nous verrons plus loin une importante application de celle propriété.

Pour nous rendre compte de l'influence des aberrations sur la netteté des images, calculons la valeur de l'aberration transversale dans le cas d un point A à Tintlni placé sur l'axe principal d'un miroir concave sphérique de 2 mètres de rayon de courbure et de 10 centimètres de rayon de base. En faisant R = 200' et r ^ 10" dans la formule ^2» on trouve s = (>',0125. Ainsi dans le plan focal, il se forme . non pas un point comme image do |K>int A mais un petit disque lumineux ayant un peu plus de deux dixièmes de millimètre de diamètre. Si le point de l'infioi est en dehors de Taxe princii^^al. au lieu d'un disque on a dans

Du resU\ le U'un^'.e rrcun^'.e IH » Ca.I connaître les valeurs de««" foncùv^u de r .

et» en 5;ib^i;:i:a:;t. on oi. ..,::: li* f.rjLU*..-* ir.iiqui.-e5 dans le lexle.

APLANÉTISME 393

le plan focal une tache lumineuse ovale, dont le plus grand diamètre est supérieur à celui du disque, et d'autant plus grand que Taxe du point A est plus incliné sur Taxe principal.

Il semble que ces aberrations soient assez fortes pour rendre rimage d*un objet confuse, les taches lumineuses correspondant aux points voisins empiétant les unes sur les autres, surtout si, comme dans les télescopes, Timage réelle que donne le miroir est grossie par un oculaire. Pourtant Texpérience prouve que, même dans ce cas, Timage n'est pas trop confuse. Cela tient à ce que le disque ou la tache ovale qui correspond à un point A de Tobjet est très inégalement éclairé par ce point. Si Ton a bien disposé un écran au foyer conjugué A' de A, la tache qui se peint sur celui-ci présente en ce point A' (image donnée par les rayons centraux) un maximum de lumière très prononcé; en effet, ce point A' est, comme nous le savons, un foyer dû à la rencontre des deux caustiques. Il en résulte que dans les conditions les plus ordinaires d'intensité relative des différents points d'un objet, la partie visible de la tache lumineuse qui correspond au point lumineux a un diamètre moindre que celui qui a été calculé ci-dessus.

5. APLANÉTISME. — Les aberrations de sphéricité sont un défaut pour la parfaite netteté des images. Aussi a-t-on cherché à les faire disparaître en donnant aux surfaces optiques une courbure convenable. Un système optique qui donne d*un point lumineux une image dépourvue d'aberrations de sphéricité est dit aphuiéiique. On ne peut réaliser Taplanétisme rigoureux que pour un seul point lumineux; mais, quand Timage d*un objet n'est pas trop grande , si les aberrations sont rigoureusement nulles pour un de ses points, elles sont tellement faibles pour les autres que prati(|uement l'image est parfaite.

On voit aisément quelle est la forme que doit avoir un miroir

pour donner d'un point A placé à dislance flnie une image réelle

dépourvue d'aberrations en un autre point donné A' : c'est une

portion d'ellipsoïde de révolution, ayant pour axe la droite AA',

et engendré par la rotation d'une ellipse dont A et A' sont les

deux foyers. En effet, considérons un rayon quelconque AI émis

par le point A; prenons comme plan de la flgure 87 le plan A' Al,

TOMB II x

qui coupe suivant une section méridienne l'ellipsoïde; ce pian, conlenaat la normale IN au point I, est le pian d'incidence du rayon Al. Le rayon réfléchi IR est contenu dons ce plan; en outre, comme il Torme arec la normale IN à l'ellipu un angle égal i celui que forme le rayon Al , ce rayon IR passe, commeonlesiil, par le second foyer A' de l'ellipse.

Nous veDODS de supposer que F»c. «- la réflexion se

Taisait sarlecilé concave de l'ellipsoide. On voit tout de suite que des rayons, tels que SI, qui se dirigeraient vers le point objet-virtuel A et se réfléchiraient sur le côté convexe de I ellipsoïde, donnenient une image virtuelle A' sans aberrations.

Le même raisoDuemont fait voir qu'un miroir formé par UH portion d'uu hyperboloïde de révolution autour de l'axe des foyers, donne d'un [teint .\ situé à l'un des foyers une image A' située à l'autre foyer el qui est dépoumie d'ab^rations ifig-88)- ^i la réflexion se fait du côté concave, uo poînt.ol:uet réel pUoi au foyer A correspondant à la nappe qui forme le miroir dooH une image virtuelle placée à l'autre foyer A'. Réciproquemeol. uu objet virtuel placé au foyer A' donne une image réelle co A. Si la réflexion se fait du côté convexe, on peut obtenir d'uo objet réel placé en .\ une image virtuelle placée en A, et, réci- (troquoiuent, d'un objet virtuel placé en A une image féells placée eu A .

Ainsi, pour obtenir d'un point réel une image sans abeiratioiS, il faut employer un miroir concave elliptique, si l'on déare 3\>>ir une iiudgt.' réelle, ou uu miroir concave hypeiboliquer

APLA.NÉTISME

si l'on désire une iniago virtuelle. Plus l'image réelle ou virtuelle doit être éloignée plus les foyers doivent être écartés, el, à la limite, si l'image doit se former à l'infini, il faut un miroir elliptique ou hyperbolique dont un des foyers est à l'iaflni, c'est-à-dire un miroir parabolique.

Réciproquement, un miroir parabolique concave donne d'un point à l'inflm situé sur l'axe de révolution une image réelle sans aberrations pla- *■";■ »■

oée à son foyer.

Du reste, si l'on néglige les aberrations, comme nous l'avons fait en traitant des miroirs spliériques au chapitre II, les formules fondamentales

trouvées dans ce chapitre sont applicables à tous ces miroirs quelle que soit la position d'un point lumineux situé sui' l'axe principal (axe de révolution) au situé en dehors de cet axe mais dans son voisinage; il sufTlt pour s'en convaincre de considérer les rayons centraux, ceux qui tombent vers le sommet du miroir. En effet, au point où l'axe de révolution rencontre la surface du nÛToir (sommet), il existe une sphère osculathce à la surface; des rayons qui tombent en des points inHniment voisins du sommet se réfléchissent comme si le miroir était formé par la sphère osculatrice. Cette sphère a son centre sur l'axe à une

certaine distance, dont la moitié est la distance focale /* de ce mi* roir; par conséquent, pour ces rayons les formules ci-dessus sont applicables et, aux aberrations près, chacun de ces miroirs jouit des mêmes propriétés qu*un miroir sphérique.

Les miroirs des télescopes employés aiyourd'hui sont paraboliques. Un miroir parabolique ne diffère, du reste, d'un miroir sphérique de même diamètre, de même distance focale et dont le sommet occupe la même position qu'en ce que les bords sont l'eculés d'une quantité extrêmement faible. Ainsi, même en prenant comme exemple un grand miroir de 80 centimètres de diamètre et de 5 mètres de distance focale, pour amener celui-ci de la forme sphérique à la forme parabolique, il faut enlever sur les bords une couche de matière dont Fépaisseur n'atteint que 3i dix-millièmes de millimètre (3,2 microns) i';. Une quantité

•J) Soient, en effet,

^ = \fs el »X — if}' + \* = Ap

les équations d'une parabole et d'un cercle qui lui est osculaleur en aoo sommet, puisque le centre de ce cercle est sur l'axe de U parabole à onc distance du sommet égale au double de la distance focale f. En tournant aotour de Taxe, ces courbes engendrent les surfaces des miroirs paraboliques el sphenqucs remplissant les conditions indiquées plus baut. Or, pour Y = f idemi-diaiiiètr^î du miroir, on tire des formules ci-dessus :

'=i^ '* X = 2/^- vV-jr^

dToii