ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE
CINÉMATIQUE
1. MOUVEMENT. — Quand les distances entre les points de différents corps restent les mêmes, on dit que ces corps sont en repos les uns par rapport aux autres. Si les distances entre les points d'un corps et les points au repos varient, ce corps est dit en mouvement, et est appelé mobile.
L'étude du mouvement, abstraction faite des causes qui le produisent, a reçu le nom de cinématique (de xiVrçaa, mouvement). Cette science, n'empruntant au monde physique que les idées d'espace et de temps y est, comme la géométrie, une science mathématique. Nous allons en présenter les éléments, qui sont indispensables à connaître pour l'étude de la Physique.
Il suffira, dans ce qui va suivre, d'étudier le mouvement d'un point (point mobile), puisqu'un corps peut toujours être considéré comme formé d'un grand nombre de parties assez petites pour être assimilées à des points.
2. TRAJECTOIRE. — On nomme trajectoire d'un point mobile la ligne que décrit ce point, pendant son mouvement. ■
Si la trajectoire d'un point mobile est une ligne droite, on dit que le mouvement est rectiligne ; le mouvement est dit curviligne si la trajectoire est une ligne courbe.
3. ESPACE PARCOURU. — L'espace parcouru est la longueur de la trajectoire comprise entre le mobile et un point fixe 0 (fig. 1) appelé origine.
Dans une relation algébrique qui lie l'espace parcouru au
temps employé à le parcourir, une " S X quantité positive représente l'espace parcouru d'un côté de l'origine (par Fie. \. exemple du côté OX) et une quan-
tité négative l'espace parcouru de l'autre côté de l'origine (dans l'exemple choisi, du côté OX'). Ainsi supposons que l'espace parcouru e soit lié au temps t employé à le parcourir par la relation
e={a— bt)t
dans laquelle a et b sont deux constantes; tant que (a — bt) est positif, c'est-à-dire tant que t est plus petit que -r-, l'espace parcouru e est positif et, d'après la convention faite, le mobile se trouve du côté OX ; pour t = -r- l'espace parcouru est
nul, c'est-à-dire que le mobile est revenu à l'origine 0 ; enfin, à
a partir de ce moment, t devenant plus grand que -r , l'expression
(a — bt) et, par conséquent, e sont négatifs; ce qui indique que le mobile est passé de l'autre côté OX; de l'origine 0.
Quand on connaît la trajectoire d'un mobile, l'origine du mouvement et la relation qui lie l'espace parcouru au temps employé à le parcourir, le mouvement est entièrement déterminé puisqu'on sait à chaque instant où est le mobile.
4. MOUVEMENT UNIFORME. — Un mouvement est dit uniforme quand t espace parcouru augmente proportionnellement au temps.
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Si nous prenons l'origine d'un pareil mouvement à l'endroit où se trouve le mobile à l'origine du temps, la formule qui lie l'espace au temps est, d'après la définition ci-dessus *
(1) e=at
e représentant l'espace parcouru pendant le temps t et a une constante.
On voit que dans un mouvement uniforme les espaces parcourus dans des intervalles de temps égaux sont égaux entre eux, quelque petits que soient les intervalles de temps considérés. Cette propriété est souvent prise comme définition du mouvement uniforme.
La constante a représente la quantité dont s'avance le mobile dans chaque unité de temps, car, si dans la formule ci-dessus t augmente d'une unité, l'espace e augmente de a. On appelle cette quantité a la vitesse du mouvement uniforme.
On tire de la relation (1) :
La vitesse est égale au rapport constant qui existe entre f espace parcouru et le temps employé à le parcourir.
Pour un mouvement uniforme déterminé, le nombre qui exprime la vitesse dépend évidemment du choix des unités de longueur et de temps. Ainsi, si un mobi'e parcourt 8 mètres par seconde, sa vitesse est 8, en adoptant le mètre et la seconde comme unités; mais, comme le mobile parcourt 800 centimètres par seconde, la vitesse serait 800, en adoptant le centimètre et la seconde comme wiités. Si nous prenions la minute comme unité de temps, tout en conservant le centimètre comme unité de longueur, le mobile parcourant 60 fois 800 centimètres par minute, la vitesse serait représentée par le nombre 48 000.
On adopte aujourd'hui en Physique le centimètre comme unité de longueur, la seconde comme unité de temps (voir T. Ie* L. I Chap. II).
Tout mouvement qui n'est pas uniforme est appelé mouvement varié.
5. DIRECTION DE LA VITESSE. — Nous allons maintenant généraliser la notion de vitesse pour la rendre applicable à un mouvement quelconque, en commençant par définir ce qu'on entend par direction de la vitesse.
Dans un mouvement rectiligne, la direction de la vitesse est celle de la ligne droite suivant laquelle se fait le mouvement. Mais, dans un mouvement curviligne, cette difinition ne peut plus convenir, et pourtant, à chaque instant, le mouvement a une certaine direction qu'il convient de préciser, en prenant une définition générale, contenant, comme cas particulier, celle donnée pour le mouvement rectiligne.
Soit AB un arc de trajectoire décrit par un point mobile
(fig. 2) ; nous appellerons direction de la vitesse moyenne, la direction ABK de la corde AB de cet arc. C'est la direction d'un mouvement rectiligne allant de A en B : elle dépend de la position des deux Fie. a. poinls A et B.
Si, au lieu de AB, nous considérons, à partir du même point A, des arcs AB;, AB",... de plus en plus courts, la direction de la vitesse moyenne varie un peu et devient AB'K', AB"K". . . ; et, quand la longueur de l'arc considéré tend vers zéro, la seconde extrémité se rapprochant indéfiniment du point A, la direction de la vitesse moyenne devient la direction d'une corde dont les deux extrémités se confondent, ce qui, par définition, est la direction de la tangente: elle ne dépend plus que de la position du point A sur la trajectoire. On est amené par là à prendre la définition suivante :
La direction de la vitesse d'un point mobile est la direction
de la tangente à la trajectoire au point où se trouve le mobile.
Ainsi, dans un mouvement circulaire, la direction do la vitesse.
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étant celle delà tangente au cercle, est constamment perpendiculaire au rayon.
«. VALEUR DE LA VITESSE DANS UN MOUVEMENT VARIÉ. —Dans un mouvement uniforme, le rapport entre la longueur de l'espaça parcouru au temps employé à le parcourir est une quantité constante qui est la valeur de la vitesse. Dans un mouvement varié, ce rapport n'est plus constant et dépend du temps considéré ; il ne peut donc représenter la valeur de la vitesse à un instant donné. Pourtant nous concevons qu'à chaque moment le mouvement varié peut être plus ou moins rapide: il convient donc de chercher une définition précise de la valeur do la vitesse, définition générale qui comprenne, comme cas particulier, celle donnée pour le mouvement uniforme. Nous allons procéder pour y arriver, comme nous l'avons fait pour arriver à une définition générale de la direction de la vitesse.
Soit un mobile possédant un mouvement varié suivant une trajectoire quelconque (fig. 2). Appelons At le temps employé par ce mobile pour décrire un arc AB, et s la longueur de la corde AB de cet arc. On appelle valeur de la vitesse moyenne
ou simplement vitesse moyenne, la valeur du rapport —■ ; en
désignant par V» la vitesse moyenne, on a donc:
Cette vitesse moyenne est la vitesse d'un mobile, animé d'un mouvement uniforme, qui parcourerait la corde AB dans le temps que le mobile animé du mouvement varié met à parcou~ rir l'arc AB.
La vitesse moyenne dépend à la fois de la position des points À et B. Si, au lieu de considérer la vitesse moyenne dans la portion AB de la trajectoire, on la considère dans les portions de plus en plus courtes AB', AB"..., sa valeur varie un peu; et, si la longueur de ces arcs tend vers zéro, la seconde extrémité se rapprochant indéfiniment du point A, la vitesse moyenne tend vers une valeur limite, bien définie, qui ne dépend plus que
de la position. du point A et de la nature du mouvement. On est amené par là à la définition suivante :
La valeur de la vitesse d'un mobile au point A de sa trajectoire est la limite de la valeur de la vitesse moyenne dans une portiçn AB de la trajectoire, quand cette portion AB devient de plus en plus courte, le point B tendant vers le point A.
Au lieu de prendre comme définition de la valeur de la vitesse c la limite du rapport de la longueur de la corde au temps employé pour parcourir Tare, quand celui-ci devient de plus en plus petit », il revient au même de définir la valeur de la vitesse comme, t la limite du rapport de la longueur de Tare au temps employé pour parcourir cet arc, quand celui-ci devient de plus en plus petit ». Désignons, en effet, par Le la longueur d'un arc dont la corde a une longueur e, et soit Lt le temps employé pour parcourir cet arc; la première définition de la vitesse donne :
v = hm. — ou v = hm. — ■ T7 = hm. — Vhm. t: Lt Le Lt A*r x Lt
Or, la limite du rapport —• de la longueur d'une corde à la
longueur de Tare est l'unité, quand l'arc tond vers zéro. On a donc :
V=hm.-
ce qui est la seconde définition donnée.
En considérant l'espace parcouru e comme une fonction du temps t9 on voit que la longueur Le de l'arc AB est l'accroissement de la fonction e quand la variable t croît de la valeur Lt.
Le
La limite du rapport -—, quand Le et Lt tendent vers zéro, est donc
la dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps. En désignant par ét cette dérivée et par v la vitesse, ou a donc :
(2) i; = lim.^ = e;
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La valeur de la vitesse est la dérivée de l'espace par rapport au temps; ce n'est encore qu'une autre manière d'énoncer la définition donnée plus haut.
Pour bien faire comprendre la définition de la vitesse moyenne et de la vitesse vraie, donnons un exemple. Supposons que dans un mouvement rectiligne la relation qui existe entre l'espace parcouru et le temps soit la suivante :
(8) e=at + bP
a et b étant deux constantes.
Cherchons la valeur, au bout du temps t, de la vitesse moyenne pendant le temps M. Le mouvement étant rectiligne, la corde se confond avec l'arc (Ae = e); aussi convient-il d'abord de chercher la longueur be parcourue pendant ce temps Af . Or, l'espace parcouru depuis l'origine étant e -f- àe pendant le temps t -j- Af, on a, d'après la formule générale (3) :
(4) é + A^aU + A^ + ^t + Ai)1
d'où, en retranchant membre à membre (8) de (4), il vient :
(5) A* = aA* + b [(t + A*)* — f*] = aàt + b [ 2*At + (AI)»]
A* Formons maintenant le rapport — pour avoir la valeur de la
vitesse moyenne V* :
(6) V. = £=a + fc(» + At)
Comme on le voit, la valeur de cette vitesse moyenne dépend du temps At pendant lequel on la considère.
En faisant tendre le temps A/ et, par conséquent, l'arc Ae vers zéro, la valeur de Vw devient la valeur de la vitesse v au bout du temps t; on obtient ainsi la relation:
f7) v = a + 2bt
Par ce calcul nous avons, en réalité, déterminé la dérivée de e par rapport à /; les règles connues de la dérivation nous auraient permis d'avoir immédiatement cette relation :
v = é'i=a+tbti
Telle est la formule générale qui représente la vitesse dans un mouvement pour lequel les espaces parcourus sont représentés par la formule (8). Nous nous servirons plus loin de ce résultat important.
Pour indiquer les unités qui servent dans l'évaluation de la vitesse, on dit, par exemple, qu'un corps est animé d'une vitesse de 80 mètres par seconde. Si le mouvement est uniforme, cela signifie qu'il s'avance de 30 mètres dans chaque seconde sur sa trajectoire; mais, si le mouvement est varié, cela no veut plus dire qu'il s'avance de 80 mètres par seconde, mais bien qu'au 'moment considéré il possède une vitesse numériquement égale à celle d'un mobile animé d'un mouvement uniforme qui. s'avancerait de 30 mètres par seconde ; ou encore, ce qui revient au même, que la vitesse de ce mobile est 30, en mesurant les espaces en mètres et les temps en secondes.
