SENS DE LA VITESSE. — Suivant une ligne droite ou courbe
on peut marcher dans deux sens
M x différents, le sens X'OX (flg. 3) ou
le sens XOX\
La convention faite plus haut de
regarder les espaces parcourus à
partir d'une origine 0 comme des quantités positives s'ils sont
du côté OX et comme des quantités négatives s'ils sont du
côté OX', nous amène à distinguer le sens du mouvement {sens
de la vitesse) par le signe de la valeur de la vitesse.
En effet, supposons que le mobile M marche dans le sens X'OX ;
alors, pour un accroissement Af du temps, il y a un accroissement
Ae positif de l'espace parcouru OM ; le rapport — est positif et,
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comme la limite de ce rapport, quand àe et Af tendent vers zéro,
représente la vitesse, dans ce cas, la vitesse est une quantité
positive.
Au contraire, supposons que le mobile M marche dans le
sens XOX' ; alors, pour un accroissement At du temps, il y a
un accroissement négatif de l'espace parcouru ; Ae étant une quan-
Ae lité négative, le rapport — est négatif, et, comme sa limite est
la vitesse, dans ce cas, la vitesse est une quantité négative.
Un exemple fera bien comprendre l'usage du signe de la vitesse. Supposons que la formule qui représente la vitesse du mobile M soit :
a et y étant doux constantes positives. Pour /=0 on a t>=a, la vitesse est positive-, le mobile se dirige dans le sens X'OX ; elle reste positive et le mobile se dirige dans lo même sens tant qu'on
a a — yJ>0 ouJ<-. Pourl = -, la vitesse devient nulle,
le mobile cesse de s'avancer. Pour l> -, on a a — yt < 0, la
Y vitesse devient négative ; ce qui nous indique que le mobile rétrograde et se dirige maintenant dans le sens XOX'. A partir de ce moment, a — Y*reste toujours plus petit que zéro et prend des valeurs absolues de plus en plus grandes, ce qui veut dire que le mobile continue toujours à s'avancer dans la direction XOX' et avec une vitesse absolue de plus en plus grande. Le résultat de cette discussion nous sera utile plus loin.
8. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES VITESSES. - Nous venons de voir que la vitesse est une grandeur qui possède une direction , un sens et une valeur numérique. Dans les problèmes de mécanique, il est commode de représenter graphiquement ces trois qualités.
Pour cela, on convient de figurer chaque vitesse par une ligne droite Aa (fig. 4) dans la direction de la vitesse, terminée par une
flèche suivant son sens et ayant une longueur Aa, contenant autant de fois une longueur déterminée (la même pour toutes les vitesses considérées dans le problème) qu'il y a d'unités dans la valeur numérique de la vitesse.
Ainsi, supposons qu'après aoior fait . choix du millimètre pour représenter graphiquement l'unité de vitesse, nous ayons à figurer une vitesse dirigée horizontalement du Sud au Nord et ayant une valeur numérique de 18,1; nous mènerons une droite dirigée horizontalement du Sud au Nord et ayant une longueur de 18mm,l que nous terminerons par une flèche du côté du Nord (lig. 5).
9. MOUVEMENT DE TRANSLATION. — On appelle mouvement d'ensemble d'un système un mouvement dans lequel les divers points de ce système conservent la même distance entre eux. Parmi ces mouvements, il en est deux, le mouvement de translation et le mouvement de rotation, qui sont intéressants par leur simplicité et par l'utilité que présente leur considération ; nous allons en dire quelques mots.
Quand un système de points A, B, G,... K (flg. 6) se meut d'un
mouvement d'ensemble tel que les positions successives AB et A'B', AC et A'C', CK et C'K', etc., des droites qui joignent les points deux à deux soient toujours parallèles entre elles, le mouvement est dit de translation, que le mouvement des points soit rectiligne ou curviligne, qu'il soit uniforme ou varié.
IL est aisé de voir que, dans un pareil mouvement, les vitesses des divers points A, B, C...K sont, à un même moment, toujours égales et parallèles.
En effet, soit Af, le temps employé par le système pour passer de la position A. B, G,... K à la position A', B', C',.-. K'. Joignons
Fio. 6.
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A et A', B et B', C et Cr. K et K' ; les droites AA', BB', GG .. . KK'V qui représentent les déplacements des différents points sont toutes égales et parallèles, car les divers quadrilatères ABB'A', ACC'A', KCC'K' etc., sont des parallélogrammes, comme ayant leurs côtés opposés AB et A'B', ou AC et A'C'... égaax et parallèles.
Or, les directions AA', BB', CC',... sont précisément les directions des vitesses moyennes des points A, B, C, . . . pendant le temps
Af, et les rapports égaux——, — - , ,... sont les va-
Oit A* Ckt
leurs de ces vitesses moyennes pendant le même temps A/. Les vitesses moyennes des divers points A, B, G,... ayant même direction et même valeur, quelque petit que soit le temps Al, il en est de même à la limite quand le temps A* tend vers zéro et que les vitesses moyennes deviennent les vitesses vraies.
Réciproquement, si différents points A, B, G,... sont animés de vitesses constamment égales et parallèles, le mouvement est de translation. En effet, les vitesses moyennes pendant un temps Al infiniment petit étant les mêmes en direction et en valeur numérique, les déplacements AA',BB',CC'... des points pendant ce temps sont des droites égales et parallèles; or, les divers quadri latères A A'B'B, AA'C'C, etc. . . , ayant leurs côtés opposés AA' et BB' ou AA' et CC', etc..., égaux et parallèles, sont des parallélogrammes, et les autres côtés opposés ABetA'B' ou AC et A' G' etc..., étant égaux et parallèles, le mouvement est de translation.
10. MOUVEMENT DE ROTATION. — VITESSE ANGULAIRE. — Quand un système possède un mouvement d'ensemble tel que la distance de chacun de ses points à une droite fixe XY demeure invariable, chaque point restant dans un plan perpendiculaire à cette droite, on dit que le système est animé d'un mouvement de rotation autour de Vaxe XY.
Dans ce cas, chaque point décrit un cercle dans un plan perpendiculaire à l'axe, le centre du cercle étant le point où Taxe perce le plan.
La vitesse d'un point est toujours dirigée dans le plan du cercle perpendiculairement au rayon qui joint ce point à Taxe. Tous les points situés à une même distance de Taxe, décrivant
des arcs égaux dans le même temps, ont des vitesses dont la
valeur est la même à un même moment.
On appelle vitesse angulaire la valeur de la vitesse des points
situés à l'unité de distance de Taxe. Soient (flg. 7) À un de ces points, 0 le centre du cercle qu'il décrit et-B un second point situé sur le même rayon OA à une distance r(=OB) de l'axe. Supposons qu'au bout du temps Ai, le rayon que nous
venons de considérer ait pris la position OA'B', les deux
points ayant respectivement décrit les arcs AA' et BB'.
Menons les cordes de ces arcs; les vitesses moyennes VA et VB
des deux points pendant le temps Af sont données par les relations :
Fia. 7.
