MA MC

respectivement proportionnels puisquon a par construction — =m= —

par conséquent, AC est parallèle à ac ; pour la même raison CB est parallèle à cb. Le quadrilatère MACB est donc un parallélogramme dont les côtés MA et MB sont les deux composantes et la diagonalo MC leur résultante.

Faisons remarquer qu'ayant supposé quelconque le premier système de translation P dont M faisait partie avant l'application des deux forces F et F' M peut déjà être soumis à l'action d'autres forces. Ainsi on peut trouver par celte règle la résultante de deux forces particulières, quand même d'autres forces agissent sur le point matériel considéré.

Dans notre démonstration nous avons supposé les forces F et F' constantes en grandeur et en direction pendant un certain temps M. Mais le résultat de la composition de deux forces restant le même quelque petit que soit ce temps Al, on en conclut que cette même règle est encore applicable quand ce temps est nul, c'est-à-dire quand les forces F et F' sont variables soit en grandeur soit en direction.

Enfin, faisons remarquer que, si les deux forces sont appliquées en un point d'un corps solide dont on no puisse plus négliger les dimensions, on

En appelant a l'angle AMB des deux forces F et F' et R la valeur de la résultante, le triangle MAC fournit la relation -

ou

MC* = MA2 + AG2 — 2MA X AC X cos MAC

R* = F* + F* + 2FF'cosa

relation qui donne la valeur de R.

Si Ton appelle p et y les angles que forment les composantes F et F avec la résultante, on a dans le triangle MAC

sinp

sin r

sina

ir

relation qui donne la direction de la résultante (1).

18. COMPOSITION DE PLUSIEURS FORGES AYANT MÊME POINT D'APPLICATION. — La règle donnée pour composer deux forces nous fait voir qu'on peut composer un nombre quelconque de forces ayant même point d'application.

Soit, en effet, F, F, F",...

plusieurs forces ayant toutes même point d'application M. Menons par ce point M (lig. 34) une droite MA, représentant la première force F; par son extré-

peut, en tous cas, considérer comme un poinl matériel la petite portion de matière qui est le point d application de ces forces, ce point matériel étant par d'autres forces maintenu au repos par rapport aux autres points du solide : le théorème subsiste donc encore dans co cas.

La règle du parallélogramme pour composer deux forces, ayant même point d'application, est donc tout à fait générale.

(1) Il est clair que les mûmes relations sont applicables dans le cas de la composition des vitesses ou des accélérations.

mité A menons une droite AB, éprnle et parallèle à la droite représentative de la seconde force F' et de même sens qu'elle ; par son extrémité B, menons une droite BC égale et parallèle à la droite qui représente la troisième force F", et ainsi de suite. Soit D l'extrémité de la droite, qui représente ainsi la grandeur et la direction de la (lumière des forces qu'on a à composer : la droite MD, qui joint l'extrémité D de la ligne polygonale ainsi formée au ppint d'application M, représente en. grandeur et en direction la résultante de toutes les forces. Telle est la règle du polygone des forces.

Pour démontrer cetto règle, joignons MB, MC, etc. D'après ce que nous avons vu à la fin du paragraphe précédent, MB représente la résultante R'rieF et de F' et, par conséquent, peut remplacer l'ensemble de ces deux forces; de même MC, représentant la résultante R' de R et de F", peut remplacer le système des trois premières forces F, F' et F", et ainsi de suite : MD représente, en grandeur et en direction, la résultante de toutes les forces.

Considérons le cas particulier de trois forces Aa-, A/, kz (flg. 35) appliquées en un même point ; composons d'abord kz

et ky suivant la e règle du parallé-

T^\ logramme, et soit

kb leur résultante ; composons ensuite kb et kx suivant la règle du triangle pour avoir la résultante finale Afl. Comme on serait arrivé au même résultat en composant d'abord Aà- et kz en une résultante kc et ensuite kc et ky, ou encore en composant d'abord ky et kx en une résultante Ad et ensuite Ad et Az, on voit, d'après la figure qu'il faut faire pour obtenir par ces trois

manières la résultante Aa des trois forces, que celle-ci est la diagonale du parallélipipède kxdybzca ayant pour côtés adjacents les trois forces composantes Ajt, Avet Az.

19. DÉCOMPOSITION D'UNE FORGE. — On peut remplacer une force R par un système de deux forces F et F', ayant même point d'application que R et formant les deux côtés d'un parallélogramme dont R est la diagonale ; le système des forces F et F1 produira le même effet que la force R, puisque R est la résultante des forces F et F' . On voit par là qu'on peut, d'une infinité de manières, décomposer une force en deux composantes.

On peut se fixer à l'avance la direction des deux composantes ; alors la grandeur de celles-ci se détermine par la construction du parallélogramme dont R est la diagonale et dont les côtés adjacents ont les directions données.

On peut se fixer les grandeurs F et F' des composantes ; on a alors à construire un triangle MAC dont R, F et F' sont les trois côtés (fig. 33); MA et AG sont les directions des deux composantes.

Enfin, on peut se donner à l'avance la grandeur et la direction d'une des composantes F. Il suffit d'achever la construction du triangle MAC, dont deux côtés, MC et MA, sont donnés pour avoir, par le troisième côté AC, la deuxième composante en grandeur et en direction.

Chaque composante pouvant se décomposer à son tour, il y a une infinité de façons de décomposer une force en plusieurs composantes .

20. CONDITIONS D'ÉQUILIBRE DE PLUSIEURS FORCES AYANT MÊME POINT D'APPLICATION. — Pour que plusieurs forces, ayant même point d'application, se fassent équilibre, il faut et il suffît évidemment que leur résultante soit nulle.

Si nous nous reportons à la figure 34 du g 18, il faut que l'extrémité D de la dernière force coïncide avec le commencement M de la première ; c'est-à-dire que la ligne polygonale construite en disposant bout à bout les droites représentant les forces en grandeur et en direction soit fermée.

Quand les forces sont au nombre de deux seulement, il résulte

de là qu'elles ne peuvent se faire équilibre que si elles ont môme direction, sont de sens inverse et égales entre elles. Quand elles sont en plus grand nombre, il faut et il suffît que Tune d'elles soit égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres (1).

21. PROJECTION D'UNE FORCE SUR UN PLAN. — Si des deux extrémités A et a de la droite représentative d'une force (fig. 37), on abaisse des perpendiculaires AA' et aa' sur un plan P, la force qui est représentée par la droite A' a', et qui a pour point d'application la projection A' du point d'application A de la force Aa, est appelée la projection de la force Aa sur le plan P {plan de projection) ; Aa est appelée la force projetante.

(1) Considérons, en particulier, le cas de trois forces MA, MB, MG flg. 86). Pour que l'équilibre existe il faut et il suffit que l'une, MC, soit

égale et diamétralement opposée à la diagonale du parallélogramme MBÛA ayant les deux autres forces comme côtés. Les trois forces doivent donc être dans un même plan ; en outre on doit avoir MC = MD et, pour les angles : CMB = 180»— DMB; Fig. 36. d'où, par conséquent :

CMA=180-— MDB

Or, le triangle MBD donne la relation:

BD MB MD

sinBMD sinMDB sinMBD

et comme, outre les relations indiquées plus haut, on a: MBD = 180* — AMB, il vient, en remplaçant :

MA MB MC

sinBMC sinCMA sinAMB

Il faut ainsi, pour l'équilibre, que la valeur de chaque force soit proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres forces.

FiG. 37.

Menons dans le plan projetant AaA'a' une parallèle ÀZ au plan P et, par conséquent à A' a' ; soit a, le point où elle coupe ad . Désignons par a la valeur de l'angle aigu que forme Aa avec AZ ; c'est, par définition, l'angle de la force Aa avec le plan P.

Dans le triangle aAaly on ' a : Aat = Aa cos a. Or, Aat est égal a A' a', puisque le quadrilatère Aata'A' ayant ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme ; on a donc, en appelant F et F' les valeurs de la force Aa et de sa projectiou A'a\ la relation :

F'=Fcos<x

On voit, par là, que des forces parallèles entre elles ont des projections qui sont parallèles entre elles, et dont les valeurs sont respectivement proportionnelles à celles des forces projetantes: deux forces égales et parallèles ont des projections égales et parallèles.

Si Ton décompose la force Aa en une force perpendiculaire au plan P et en une force parallèle à ce plan, le triangle de décomposition est précisément le triangle Aaat : la composante Aai parallèle au plan a même direction, même serre" et même valeur que la projection A' a' de Aa.

On démontre aisément que la projection de la résultante de deux forces ayant même point d'application est la résultante de la projection des deux forces (ftg. 38) (*).

Les projections des quatre côtés d'un parallélogramme Maco (flg. 38) sur un plan P forme un quadrilatère MVc'/>' qui, ayant deux côtes opposés M'a' et b'c' égaux et parallèles est un parallélogramme.

Par conséquent, la résultante M<\ de deux forces Ma et Mo a pour projection la résultante M'c' des projections M'a' et Mb' des forces Ma et Mo.

Ce théorèane est souvent utile ; il s'étend immédiatement à la composition d'un nombre quelconque de forces ayant même

point d'application : la projection de la résultante est la résultante de la projection des forces.

22. PROJECTION D'UNE FORGE SUR UN AXE. — Si ci -s deux extrémités A et a de la droile représentative d'une force (fig. 89), on abaisse des perpendiculaires W et an' sur la droite XX', la force qui est représentée par la droite AV et qui a pour point d'application la projection A' du point d'application A de la force A//, est appelée la projec-

Fig. 89.

tion de la force Aa.sur Taxe XX' {axe de projection) ; ka est appelée la force projetante. .

En considérant comme une quantité positive la projection de la force quand, en allant de son point d'application A' vers son extrémité a', on marche dans le sens de X' vers X, on doit considérer comme négative la projection de la force quand, en allant de son point d'application vers son extrémité, on marche dans le 6ens inverse (de X vers X'). Ainsi, sur la figure 39, la projection A' a' de Aa est positive, et la projection B'b' de BAest négative. Le sens X'X de Taxe de projection est appelé alors le sens positif et le sens XX' le sens négatif.

Soit a l'angle que forme la force avec une parallèle AZ (ou BU) à Taxe X'X, menée par le point d'application dans le sens positif X'X; cet angle est, par définition, l'angle de la force et de Taxe de projection.

Menons, par la ligne projetante aa' de l'extrémité a de la force, an plan perpendiculaire à Taxe X'X ; ce plan coupe en un pointe?! la droite AZ.Dans le triangle aAait on a: Aa^Aacosa; mais Aat est égal à A' a', car la figure Aa,a'A' est un parallélogramme comme ayant ses côtés opposés parallèles; on voit donc qu'en appelant F et Fr les valeurs de la force Aa et de sa projection A' a', on a :

(i) Fx=Fcosa

Si l'angle a est aigu, l'égalité (1) nous montre* que F est

positif; nous voyons bien, eu effet, que dans ce cas la projection est positive d'après la convention faite ci-dessus. Si l'angle a est obtus, la formule (1) nous indique, que F^ est négatif; ce qui

est encore conforme à la convention faite plus haut Il résulte de l'égalité (1) que des forces parallèles entre elles

ont sur un même axe des projections proportionnelles à ces

forces; des forces égales et parnllèles ont des projections égalée.

On voit aussi que des forces parallèles et de sens opposé ont

des projections de signes contraires.

En désignant par F , F , F la valeur des projections d'une

force Aa de valeur F sur trois axes de coordonnées rectangulaires quelconques OX, OY, OZ, et en désignant par a, p, y les

angles que Tonne la force avec la direction positive des axes de coordonnées, on a, d'après la formule (1) :

(2) F^ = Fcos a F = F cos p F% = F cos r

et, en vertu de la relation connue : cos* a -f- cos* p + cos * ï = * » on en tire :

La relation (3) fournit la valeur F de la force quand on connaît la valeur de ses trois projections et les formules (2), en donnant les angles a, p, y quand la valeur F est connue, font connaître la direction de la force.

Si l'on décompose la force Aa (flg. 39) en une force parallèle à X'X, et en une force siluée dans un plan aa'al perpendiculaire à cet axe aAa4 étant le triangle de décomposition, la composante Aflj, parallèle à Taxe, a non seulement la môme direction et le

même sens que la z projection A' fi' de la

force sur Taxe, mais aussi la même valeur.

Menons par le point d'application A d'une force Aa (fig. 40) trois axes rectangulaires entre eux AX, AY, AZ. Projetons sur ces trois axes la force Aa ; le parallélipipède rectangle construit sur ces trois projections A*, Ay, kz ayant Aa pour diagonale, on voit que ces trois projections sont trois forces qui ont pour résultante Aa;'ce sont donc les composantes- de cette force, dirigées suivant les trois axes.

Fig. 40.

23. MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL DANS L'ESPACE. — Supposons que la force F agisse seule sur un point matériel de masse m ; projetons eetto force sur un axe X'X quelconque, et soit F^ la

valeur de la projection donnée par la relation (1) du § 22. Divisons les deux membres de cette relation par la masse m du point matériel, il vient :

F* F (t\ — = — COSa

Or, — est la valeur de l'accélération G , que produirait la m x

projection F de la force F, sur un point matériel de masse m, et

— est l'accélération G du point matériel considéré, on a donc :

(2) — =G =Gcos<x

Mais nous avons vu (Cinématique § 17) queGcosa est la valeur x"t de l'accélération de la projection du mobile sur

Taxe X'X , on a donc :

De là ce théorème fort important :

L accélération x" de la projection A' cFun point matériel

mobile A sur un axe quelconque est égale à f accéléra^ tion Gx que produirait la projection F de la force F appliquée

au point matériel A, en agissant sur un point matériel de même masse.

L'énoncé de ce théorème peut se traduire par la formule suivante, très souvent employée, et qu'on déduit directement des relations (1), (2) et (8) :

(4) mx!'t =Fx = Fcosa

Imaginons un point matériel B, de même masse m que le point matériel A, qui à un certain moment serait placé sur un axe XX à l'endroit où se trouve la projection sur cet axe du point mobile A, qui posséderait à un certain moment une vitesse égale à la projection de la vitesse de A sur Taxe X'X, enfin qui serait soumis à une force constamment égale à la projection F sur X'X de la force F, qui agit sur A, que cette force F

soit constante ou variable. Ce point B décrirait la ligne X'X, et il est facile de voir qu'à chaque instant ce mobile B aurait même position que la projection A' du point A 6ur Taxe X'X.

Désignons en effet par e la distance de B à l'origine du mouvement au bout du temps t et, par conséquent, par ^etpare'J sa

vitesse et son accélération au temps t. En vertu du théorème précédent, l'accélération é' de ce

point B est la même que l'accélération a!' de la projection A' du

point mobile A sur l'axe :

on déduit de là, en égalant les fonctions primitives des deux membres :

à chaque instant, les vitesses e' et x't des mobiles B et A' ne

peuvent différer que par une quantité constante C ; mais cette constante C est nulle, puisque à un certain moment leur vitesse ne diffère pas, par hypothèse.

On a donc :

On déduit de là, en égalant les fonctions primitives des deux membres :

i chaque instant, les distances eet x des deux mobiles B et A' à l'origine, ne peuvent différer que par une quantité constante G ; mais cette constante G' est nulle, puisqu'à un certain moment les deux mobiles B et A' ont même position, par hypothèse. On voit donc que le mobile B occupe constamment la position de la projection A' du point A sur l'axe.

Cette remarque permet de ramener le problème du mouvement dans l'espace d'un point matériel A, soumis à l'action d'une force F connue à chaque instant en grandeur et en direction au problème plus simple du mouvement suivant une ligne droite d'un mobile soumis à une force dirigée suivant cette ligne.

Menons, en effet, trois axes de coordonnées rectangulaires OX, OY, OZ, et considérons trois points matériels B, G, D ayant même masse que le point matériel A, situés respectivement sur les axes OX, OY, OZ, occupant à un certain moment la position de la projection de A sur ces axes, étant animés à ce moment de vitesses égales aux projections de la vitesse de A sur ces axes, et enfin étant soumis à chaque instant à une force égale i la projection de la force F sur l'axe correspondant. Ces trois points, occupant constamment le6 positions des projections de A sur les trois axes, ont pour distance x, y etzk l'origine 0, précisément les coordonnées du point mobile A.

On voit dons que, si le mouvement de ces trois points B, G, D sur leur trajectoire rectiligne est connu, on connaît par là même le mouvement du point A dans l'espace (*).

(1) En désignant par #", y1' z'' les dérivées secondes par rapporl au temps

des coordonnées x, y, z du point mobile, c'est-à-dire les accélérations des projections du point sur les trois axes de coordonnées, on a, d'après la relation (4) :

(1) mat'=F »y"= F «u»=F

en appelant F , F , F les projections sur les trois axes de la force F qui

agit sur le point matériel. Ces trois quantités sont des fonctions du temps que nous supposons connues; en désignant par H , H , H leurs fonctions

24. FORGE TANGENTIELLE. — FORGE CENTRIPÈTE. — Considérons un point matériel qui, sous l'influence d'une force quelconque

(fig. 41), décrit une certaine trajectoire. Soit A la position du mobile à un certain moment, et kg la ligne représentative de la force. L'accélération produite par cette force sur le point matériel, étant dans le plan osculateur à la courbe, on voit que la force est située dans ce plan. Ce plan passant, en outre, par la tangente AT à la courbe en A, qui est la direction de la vitesse, il en résulte que :

Le plan osculateur de la trajectoire en chaque point est

primitives on a, en égalant les fonctions primitives des deux membres des égalités (1) :

(2) m< =H my'=U tnz' =H

Or, on connaît à un moment donné la vitesse du point matériel, sans cela son mouvement ne serait pas complètement déterminé. Pour obtenir la valeur de la constante arbitraire qui entre dans chacune des fonctions du temps H^, H et H^, il suffit d'écrire qu'au moment donné les vitesses

*V ^'/' z't ^** tro*s ProJeclions 80nt respectivement égales aux projections connues de la vitesse du mobile sur chacun des axes. En désignant maintenant par L , L , L les fonctions primitives des

fonctions connues H,H,H, il vient, en égalant les fonctions primitives

des deux membres des relations (2) :

(S) mx = L my = L mz=L

Or, on connaît à un moment donné la position da point mobile, car, sans cela le mouvement ne serait pas complètement déterminé. Pour obtenir la valeur de la constante arbitraire qui entre dans chacune des fonctions L , L

et L , il suffit d'écrire qu'au moment donné les quantités x, y, z sont les

coordonnées du point mobile.

Les relations (3) donnent alors à chaque instant la position du mobUe.

déterminé par la direction de la vitesse du mobile en ce point et par la direction de la force.

On appelle force tangentielle la projection km de la force kg sur la tangente AT à la trajectoire, et force centripète la projection An de la force kg, sur la normale principale AN. La figure plane kmgn étant un rectangle dont kg est la diagonale, la force totale est la résultante de la force tangentielle et de la force centripète; par conséquent, l'ensemble de la force tangentielle et de la force centripète peut remplacer la force totale kg ou l'ensemble des forces agissant sur le mobile dont la force. totale est la résultante.

En désignant par F, F et F les valeurs respectives de la force

totale, de la force tangentielle et de la force centripète, et en appelant a l'angle gkT que fait la direction de la force kg avec la tangente AT à la courbe, on a :

FT=Fcosot

F =Fsin<x

En divisant par la masse m du mobile les deux membres de ces égalités , et en appelant G , T et G les accélérations totales, tangentielles et centripètes, on a :

~= -cosa = Gcosa = T m m

Fc F

— = — sin a = G sin a =C m m

Conformément à ce que nous avons établi d'une façon générale au § 28, on voit que la force tangentielle ou la force centripète, en agissant isolément sur le mobile, lui communiquerait l'accélération tangentielle ou l'accélération centripète,

Nous avons vu (Cinématique § 15) qu'en appelant v la vitesse du mobile, if sa dérivée par rapport au temps et R le rayon

de courbure de la trajectoire au point où se trouve le mobile, on a :

Les

égalités (2) fournissent donc les relations

= wf

mv*

Toutes les fois qu'un mouvement est rectiligne, R étant infini, la force centripète est nulle ; la force totale qui agit sur le point matériel, se réduisant à la force tangentielle, est dirigée suivant la ligne droite que parcourt ce point et sa valeur estmi/j.

Réciproquement, si la force centripète est nulle sans que la vitesse soit nulle, le rayon de courbure R de la trajectoire est infini au point où se trouve le mobile : la treyeetoire présente un point d'inflexion à cet endroit. Si la force centripète est constamment nulle, la trajectoire est rectiligne.

Toutes les fois qu'un mouvement est uniforme, la force tangentielle est nulle^ puisque v' = 0 : la force totale qui agit sur

le point matériel, se réduisant à la force centripète, a pour valeur -=- et sa direction est celle de la normale principale.

Réciproquement, si la force tangentielle est nulle/ la dérivée v't de la vitesse étant nulle, la vitesse v est constante, le mouvement est uniforme.

Par exemple, supposons qu'un corps soit attaché à une corde dont l'autre extrémité soit fixée à un point 0, que ce corps décrive un cercle ayant ce point 0 pour centre, et qu'il ne soit soumis à aucune force autre que la tension de la corde : son mouvement doit être uniforme, puisque la force qui agit sur lui se

réduit constamment à la force centripète. Du reste, la vitesse du mobile et sa distance au centre 0 ne variant pas, la tension de la corde, qui est la force centripète, est constante.

25. FORGE CENTRIFUGE. — Pour qu'un point matériel reste au repos par rapport à un système animé d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme, il faut évidemment que toutes les forces qui agissent sur ce point se fassent équilibre, puisque, sans cela, son mouvement ne pourrait être rediligne et uniforme.

Mais, pour qu'un point matériel reste au repos par rapport à un système animé d'un mouvement d'ensemble qui n'est pas rectiligne et uniforme, il faut que la résultante des forces agissant sur ce point ne soit pas nulle, et qu'elle soit telle qu'elle communique au point matériel une accélération précisément égale en grandeur et en diroction à celle du point du système qui coïncide avec lui. En appelant g cette accélération et m la masse du point matériel, la résultante des forces agissant sur lui doit être égale à mg.

En particulier, considérons le cas d'un système animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe, comme la Terre (en négligeant son mouvement autour du Soleil) .

Soient w la vitesse angulaire constante du système, R la distance à Taxe de rotation du point matériel considéré M et v=wR la vitesse du point A du système tournant qui coïncide avec lui. L'accélération du point A se réduisant à l'accélération centri-

v* pète dont la valeur est — ou <ù*R et qui est dirigée vers le H

centre 0 du cercle décrit par ce point, il faut, pour que le point matériel mobile M reste au repos par rapport au système tournant, que la résultante des forces agissant sur lui se réduise à

v* une force centripète donnant l'accélération — , c'est-à-dire que

cette résultante soit dirigée constamment vers le point 0 et possède

une valeur constante égale à -=- ou mw*R.

On voit que, si l'on ajoutait aux forces agissant sur un point

matériel au repos, par rapport à un système tournant d'un mou-

vement uniforme une force égale et directement opposée à la force centripète, toutes les forces agissant sur le corps se feraient équilibre : cette force égale et contraire à la force centripète, par conséquent, de valeur— ou m o»*R et dirigée suivant

le rayon, mais agissant dans le sens qui écarterait le mobile du centre, s'appelle la force centrifuge (f).

Ainsi la force centrifuge est une force fictive qui, ajoutée aux forces réelles agissant sur un corps au repos par rapport à un système tournant permet d'exprimer que toutes les forces se font équilibre ; c'est un artifice destiné à ramener le problème de l'équilibre relatif par rapport à un système tournant au problème de l'équilibre par rapport à un système au repos (*).

(1) Dans le cas où le point matériel possède un mouvement relatif par rapport au système tournant, au lieu d'être au repos relatif, comme nous l'a vous supposé, on commettrait une erreur en croyant qu'il suffit de composer avec les forces réelles agissant sur le point matériel la force centrifuge pour avoir la force qui produirait, par rapport au système en repos, le même mouvement relatif. Pour avoir cette dernière force, il faut composer avec les forces réelles, non seulement la force centrifuge, mais encore une autre force fictive, appolée force centrifuge composée, qui dépend de la vitesse angulaire de rotation du système et aussi de la vitesse relative du point matériel par rapport au système tournant ; cette force centrifuge composée devient nulle, comme cela doit être évidemment, quand l'une ou l'autre de ces vitesses devient nulle.

(2) Reprenons l'exemple d'un corps attaché à l'extrémité d'une corde, dont l'autre extrémité est fixée à un point 0, et tournant en cercle sous l'influence d'une seule force, la tension de la corde qui, en agissant sur le mobile, fait office de force centripète. La tension de la corde agit aussi sur le point 0 et tire ce point dans le sens de la corde tondue; or, cette réaction do la force centripèto a été appelée souvent force centrifuge. En vertu de l'égalité de l'action et de la réaction, cette force, en effet, est égale en grandeur, en direction et en sens à ce que nous avons appelé plus haut « la force centrifuge »; mais c'est une force réelle et qui n'est pas appliquée au mobile mais bien au point 0. Elle est donc bien distincte de la force fictive appliquée au mobile, désignée dans le texte sous le nom de « force centrifuge ».

Nous en dirons autant à propos d'un mobile qui roule à l'intérieur d'un corps creux, par exemple d'une bille qui roule à l'intérieur d'un cerceau: la force centripète du mouvement circulaire de la bille est ici la pression qu'exerce le bord intérieur du cerceau sur le mobile qui tend toujours à se mouvoir en ligne droite. A son tour la bille exerce sur le cerceau un

Un exemple fera bien comprendre cette notion importante. Considérons un corps pesant suspendu à l'une des extrémités d'un ressort fixé à son autre extrémité ; supposons en outre, pour plus de simplicité, que ce corps soit placé à l'Equateur et négligeons la rotation de la Terre autour du Soleil et l'action attractive qu'exerce cet astre sur les corps qui sont placés à la surface de la Terre. Dans ce cas, deux forces réelles seulementagissent sur le corps : 1° l'attraction terrestre dirigée vers le centre de la Terre, 2° la tension du ressort. Cherchons ce que doit être cette dernière force pour que le corps soit au repos par rapport à la Terre qui tourne autour de son axe. Pour cela ajoutons a ces deux forces réelles la force centrifuge, et déterminons la tension du

«(Tort qui est la réaction de la force centripète et auquel on donne quelquefois le nom de « force centrifuge» parce qu'elle a môme grandeur, même direction et même sens que cette dernière ; elle en est pourtant bien distincte, puisque c'est une force réelle appliquée au cerceau.

Il est regrettable qu'on donne ainsi un même nom à deux grandeurs si différentes au fond, si* semblables à un examen superficiel; cela tend à perpétuer une confusion fâcheuse.

Il arrive parfois qu'un corps solide animé d'une grande vitesse de rotation autour d'un axe vient à éclater ; cet accident se produit malheureusement trop souvent pour les volants des moteurs à vapeur. Il est d'usage de dire que « le volant à éclaté par la force centrifuge ». Si l'on veut que cette locution soit correcte, il faut évidemment entendre ici par « force centrifuge » la réaction de la force centripète. Au fond, voici ce qui se produit dans ce phénomène.

Eq négligeant la pesanteur, chaque partie du volant en mouvement est soumise à deux forces réelles qui sont 1» la tension qu'exerce la partie voisine située du côté de l'axe, 2° la tension qu'exerce la partie voisine située du côté de la circonférence. Ces deux tensions, agissant en sens inverse sur la partie considérée, ont pour résultante leur différence, et c'est celle-ci qui est la force centripète. On voit, par là, que la tension tournée du côté de l'axe doit être la plus grande des deux. Or, la force centripète, pour une partie -déterminée du volant, croît comme le carré de la vitesse angulaire ; il faut donc que les tensions en chaque point croissent suivant cette proportion pour qu'il en soit de même de leur différence.

Or, quand la tension des rayons du volant devient très grande, la limite d'élasticité du métal peut être dépassée et il y a rupture. Dès que celle-ci s'est produite, toute tension cessant immédiatement, c'est-à-dire, toujours en négligeant la pesanteur, toute force cessant d'agir, chaque morceau est lancé tangentiellement au cercle qu'il décrivait, comme le veut le principe de l'inertie.

ressort par la condition que ces trois forces se fassent équilibre. Or, dan6 le cas où le corps est placé à l'Equateur, la force centrifuge toujours perpendiculaire à Taxe de rotation , est directement opposée à l'attraction terrestre ; la condition pour que les trois forces se fassent équilibre est donc que la tension du ressort soit égale et directement opposée à la différence entre l'attraction terrestre et la force centrifuge; cette tension doit donc être dirigée aussi suivant le rayon équatorial et sa valeur doit être égale à A — mci>*R, en appelant A la valeur de l'attraction terrestre, m la masse du corps, w la vitesse angulaire du mouvement de rotation de la Terre autour de son axé et R le rayon terrestre équatorial.

Nous voyons, par cet exemple, que ce qu'on appelle le poids d'un corps n'est que la résultante de l'attraction terrestre et de la force centrifuge. (Voir L. II, Chap. III § 13) («).

(1) A l'Equateur le rayon terrestre R est égal à 6,878X10* centimètres; comme la vitesse angulaire a> du mouvement de rotation de la terre est, en prenant la seconde pour unité de temps, égale à 7,309X^0— ' (Cinéma tique g 10), on a pour la force centrifuge agissant snr l'unité de masse