DEUXIÈME PRINCIPE. — L'effet dune force est indépendant

de Tétat de repos ou de mouvement du point matériel auquel elle est appliquée.

Tel est le deuxième principe de dynamique ; mais cet énoncé un peu succinct demande quelques explications pour être bien compris.

Supposons un point matériel M (flg. 27) animé d'un mouvement rectiligne et uniforme (par conséquent, qui n'est soumis a aucune force) ? et d'autres points A, B, C, D.. . formant

A. c un système animé d'un mouvement de

translation, par rapport auquel M est au • repos.

Faisons maintenant agir une force sur le point matériel M seulement ; le principe dit que le mouvement relatif que • prend M, par rapport aux autres points

A, B, C, D. . . est absolument le môme9 F|C* *7, quelle que soit la vitesse, en grandeur

et en direction du mouvement de translation du système A, B, C, D... dont M faisait partie.

En particulier, le mouvement relatif est le même que &i lo point M, étant primitivement au repos, les points A, B, C, D. . . restaient immobiles.

L'expérience démontre directement ce principe. Laissons tomber un corps dans l'intérieur d'un wagon en marche, en choisissant le moment où il est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme, comme cela a lieu entre deux stations, quand la voie est droite. Le mouvement relatif du corps qui tombe, par rapport aux parois du wagon, est absolument indépendant de la vitesse de celui-ci et de la direction de sou mouvement; le mouvement relatif du corps est. encore le même quand le wagon est nu repos sur la voie. Ainsi le poids du corps, force qui le fait tomber , produit un effet qui est indépendant de la vitesee du train, qui constitue ici le système de translation dont le corps faisait partie avant sa chute (').

(1) C'est à Galilée que l'on doit la première expérience démontrant co principe. Il faisait tomber une pierre du haut du mât d'un bateau animé d'un

D'après ce principe, quelle que soit la force qui agit sur un point matériel, on obtient la position de celui-ci en composant, suivant la règle du parallélogramme, le mouvement qu'il prendiait en étant soumis à la même force, s'jI partait de l'état do repos, avec le mouvement de translation rectiligne et uniforme d'un système possédant en grandeur et en direction la vitesse initiale du point matériel.

En composant les vitesses de ces deux mouvements, à un moment quelconque, on obtient la vitesse réelle du mobile ù ce moment.

9. MOUVEMENT PRODUIT PAR UNE FORGE CONSTANTE. — Une force constante en grandeur et en direction agissant sur un point matériel sans vitesse initiale, ou animée dune vitesse initiale dans la direction de lu force, donne naissance a un mouvement rectiligne uniformément varié.

Cdtle proposition est une conséquence du principe précédent, comme nous allons le montrer.

Soit un point matériel M animé d'un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse a. Imaginons un système A de points animés d'un mouvement de translation, ayant tous la même vitesse

mouvement recliligne el uniforme; la pierre tombait au pied du mal exactement à la place où elle serait tombée si la bateau était resté immobile. Avant Gililée lo-it le morulc croyait que la pierro devait tomber rn arrière du mât à une distance égale à celle dont s'était avancé le navire pendant la chute. Rien ne peut mieux montrer l'ulilité de l'expérience pour acquérir des notions exactes sur le monde physique, el rectifier des conceptions purement spéculotives.

Faisons remarquer, en outre, qu'on ne s'aurait objecter à ces expérionecs que, le bateau ou le wagon participant au mouvement de la Terre, leur mouvement réel dans l'espace n'est pas leur mouvement apparent, car les arcs décrits par un point du sol, soit dans le mouvement de rotation de la Tcrro sur elle-même, soit dans son mouvement de rotation autour du Soleil, sont d'un si grand rayon qu'on peut, pendant la duréo de l'expérience, considérer le mouvement du sol comme recliligne et uniforme. Ce mouvement »e coin pos-ant avec celui du train sur les rails, ou du bateau sur le fleuve, donne encore un mouvement de translation rectiligne et uniforme du wagon ou du bateau dans l'espace, mouvement dont la vitesse, en grandeur cl en direction, dépend essentiellement de celle du mouvement relatif par rapport au sol. La conclusion de l'expérience reste toujours la même.

en grandeur et en direction que le point M ; ce dernier point est au repos par rapport au système A.

Faisons agir maintenant sur M une force constante en grandeur et en dircclion, cette direction étant celle de la vitesse du système A. Le point M se mettra en mouvement par rapport à ce système dans la direction de la force F, par conséquent, dans celle du mouvement primitif, et suivant le sens de la force, qui peut être le même que le sens du mouvement ou contraire à celui-ci.

Au bout d'une unité de temps, M aura acquis une certaine vitesse relative, que nous désignerons par y, de façon que la vitesse abrolue de M sera au bout de la première unité de temps a+y. Cette quantité y est positive, si, la force étant dans le sens du mouvement du système, la vitesse relative de M est . de même sens que celui-ci, négative si, la force ayant un sens opposé, la vitesse relative de M est de sens contraire à celle du système.

Si, au bout de cette première unité de temps, la force cessait d'agir sur M, ce point matériel continuerait à s'avancer d'un mouvement uniforme avec une vitesse absolue u + y. Imaginons maintenant un second système B de points, animés tous de la vitesse a+Y dans la même direction et le même sens que M ; ce dernier point ne se déplacerait pas dans ce système.

Mais, si la force, au lieu de cesser au bout de la première unité de temps, continuait à agir pendant une seconde unité de temps en restant la même en grandeur et en direction, le point M, d'après le deuxième principe fondamental, acquérerait au bout de cette deuxième unité de temps, dans le deuxième système B, la même vitesse relative y qu'au bout de la première unité de temps dans le premier système A. Sa vitesse absolue serait

donc a + Y+Y ou'a-f -Y-

Continuons le même raisonnement ; remarquons que, si la force cessait d'agir au bout de la deuxième unité de temps, M prendrait un mouvement uniforme avec la vitesse a -j- 2y que, si nous imaginons un troisième système C, de points animés tous de la vitesse constante a-\-2y dans la même direction et le même sens que M, ce point ne se déplacerait pas dans ce

système. Mais si la force, au lieu de cesser d'agir au bout de la deuxième unité de temps continuait à agir pondant une troisième unité de temps, le point M, d'après le même principe fondamental, acquérerait au bout de cette troisième unité de temps, dans le troisième système C, la mémo vitesse relative y qu'au bout de la première unité de temps dans le premier système A. Sa vitesse absolue serait donc a+2y + T ou a~\-&(i et> ainsi de suite.

On voit, en poursuivant ce raisonnement, que, si la force agit pendant t unités de temps, la vitesse acquise par M, sera a-\- v/. Ce résultat subsistant, quelque petit que soit le temps pris ici pour unité, le mouvement est uniformément varié, puisque . dans des intervalles de temps égaux la vitesse varie de quantités égales, quelque petits que soient les intervalles considérés.

Si la force agit dans le sens de la vitesse initiale du point M, le mouvement est uniformément accéléré, puisque l'accélération y est positive. Il est uniformément retardé, si )a force agit en sens inverse de la vitesse initiale, puisque l'accélération y est* alors négative.

- Nous verrons, à propos de la pesanteur, comment l'expérience justifie cette conséquence si importante du deuxième principe de la Dynamique.

10. ACTION D'UNE FORGE CONSTANTE AGISSANT SUR UN MOBILE ANIMÉ D'UNE VITESSE DE DIRECTION QUELCONQUE. — Quand une force constante en grandeur et en direction agit sur un point matériel, et que la vitesse initiale de ce mobile n'est plus dans la direction de la force, la trajectoire n'est plus uno ligne droite. Le deuxième principe de la Dynamique permet de démontrer que cette trajectoire est une parabole.

Prenons deux axes de coordonnées rectangulaires OX et OY passant par le point de départ 0 du mobile (lig. 28), dans le plan déterminé par la direction de la force et de la vitesse initiale, OY étant parallèle à la direction de la force. Soit a l'angle que forme avec OX la direction OT de la vitesse initiale, et soit a sa valeur.

Si aucune force n'agissait sur le point matériel mobile, il décrirait d'un mouvement uniforme la ligne OT, et, au bout

d'un temps t après son départ de l'origine 0, on aurait la valeur ai pour l'espace parcouru OL. Par conséquent, les coordonnées x et y du point seraient données par

x = at cos a

y r=afsin a

Imaginons maintenant un système A, dont tous les points

seraient animés de Y /P ; la même vitesse que

le mobile en grandeur et en direction; celui-ci ne se déplacerait pas dans ce système. Mais, si le point matériel est soumis à une force F parallèle à OY, et dirigé de Y vers 0, il prendra un mouvement relatif dans le système A, qui, en vertu du deuxième principe, sera le même que si le mobile était primitivement au repos, le système A restant immobile. Ce mouvement relatif sera donc uniformément accéléré, et, si y est son accélération, le mobile, au bout du temps /, aura, dans le système A, parcouru parallèlement à OY, et dans le sens de YO, uu

espace égal à -ôï**-

Il résulte de là que la véritable ordonnée du mobile au temps t est celle (a/sin a) qu'il posséderait si aucune force

n'agissait sur lui, diminuée de —yt*. On a donc, pour les coor-

données réelles du point mobile :

FlG. ».

x =at cos a y = al sin a ■

Si l'on élimine le temps t entre ces deux égalités, on obtiendra entre x et y une relation, qui est l'équation de la trajectoire. Or cette élimination donne :

y = £tanga — x*

2a* cos* a

On reconnaît là l'équation d'une parabole du second degré, dont Taxe SQ est parallèle à OY et passe par le point a* sin 2a

d'abscisse

Comme le poids d'un corps est une force verticale et constante en grandeur, l'équation (2) représente la trajectoire d'un projectile qui serait lancé dans le vide avec une vitesse de valeur a faisant, un angle a avec l'horizon. Malgré la présence de l'air, la trajectoire d'un obus lancé par une bouche à feu ne s'éloigne pas beaucoup d'être une parabole (t).

(1) Le point P où la parabole coupe de nouveau Taxe OX a pour abscisse

a*sin 2a

. Pour de mêmes valeurs de a et de y, cette quantité devient maxi-

mum pour sin 2a =1 ou a=T. Cest donc sous l'angle de 45* qu'il faut

braquer une pièce à feu pour qu'elle porte le plus loin possible.

Si l'on considère dans l'égalité (2) l'angle oc comme variable et qu'on cherche le lien des intersections successives des paraboles -pour lesquelles a et y conservent la même valeur, on trouve pour ce lien une autre parabole du second degré ayant OY pour axe et 0 pour foyor; son équalion est en effet*

11. ACCÉLÉRATION PRODUITE PAR UNE FORCE QUELCONQUE. — Une force F variable en grandeur ou en direction, agissant sur un point matériel animé d'une vitesse quelconque, donne lieu, à chaque instant, à une accélération qui est la même que celle que produirait, en agissant sur le même corps partant de l'état de repos, une force qui aurait constamment l'intensité, la direction et le sens de la force F à l'instant considéré. C'est ce que le deuxième principe de la Dynamique permet de démontrer. Considérons, pour cela, un point matériel M possédant au

temps t une vitesse absolue CH (flg. 30) quelconque, du reste. Imaginons un système A dont tous les points seraient animés de vitesses égales et parallèles à CH; si, à partir du temps t aucune force n'agissait sur le mobile M, il resterait au repos par rapport au système A. Mais supposons qu'à partir du temps t une force CL agisse sur le mobile et soit constante en grandeur et en direction pendant le temps Af. En vertu du deuxième principe, le mobile M prendra dans le système A le même mouvement que si M était primitivement au repos, le système A restant immobile ; c'est-à-dire qu'il prendra dans le système A pendant le temps M un mouvement relatif rectiiigne et uniformément accéléré, caractérisé par une certaine accélération y, dont la valeur ne dépend que de la gran-

Fio. 30.

Toutes les trajectoires paraboliques de mobiles lancés avec la vitesse initiale a, sont tangentes intérieurement à celle parabole (flg. 29), par conséquent, quel que soit l'angle a sous lequel on braque une pièce de canon lançant un projectile avec la vitesse a, les points qui sont situés en dehors de cette parabole ne pourront pas être atteints ; aussi les artilleurs donnent-ils à cette courbe le nom de parabole de sûreté.

rieur de la force et de la nature du mobile. Au bout du temps At le mobile aura donc acquis par rapport au système A une vitesse relative CK, dans la direction de la force CL, et égale à y M. La vitesse absolue du mobile au temps t-^M s'obtiendra, par conséquent, en composant suivant la règle du parallélogramme, la vitesse absolue CH acquise au temps / avec la vitesse relative CK.

On voit par là que la variation de vitesse du mobile pendant le temps A/ e6t précisément CK. Par conséquent, la direction de l'accélération .moyenne pendant le temps M est la direction CK de

vAf la forco CL, et la valeur de l'accélération moyenne est i — ou y.

Ceci, subsistant quelque petit que soit l'intervalle de temps considéré Al, reste encore vrai quand cet intervalle devient nul. L'accélération moyenne devenant alors l'accélération totale, celle-ci possède la direction et le sens de la force qui agit sur le mobile, et sa valeur est y.

Faisons remarquer, enfin, que nous n'avons supposé la force F constante en grandeur et en direction que pendant le temps Ai, et, comme ce temps peut être nul sans que ce que nous venons d'établir cesse d'être exact, l'accélération produite est la même, que la force F soit constante ou variable en grandeur ou en direction.

12. TROISIÈME PRINCIPE. — L'effet produit par une force agissant sur un point matériel est indépendant de l'effet des autres forces agissant sur ce point.

Cet énoncé, comme celui du principe précédent, a besoin d'une explication pour être bien compris.

Supposons qu'un point matériel M soit soumis à l'action de plusieurs forces et que, sous l'influence de celles-ci, il soit animé d'un certain mouvement. Imaginons un système A de points animés de .vitesses constamment égales en grandeur et en direction à celle du point M (qui peut varier en grandeur et en direction, bien entendu). Le système A est animé d'un mouvement de translation, et le pointMestau repos dans ce système. Faisons agir maintenant sur M, et sur lui seulement, une nouvelle force J*\ Le principe dit que- le mouvement que prend le

point M dans le système A, sous l'influence de la nouvelle force F, est absolument indépendant du mouvement de ce système, par conséquent, de l'effet des autres forces agissant sur le point M. En particulier, le mouvement que prend M dans le système A est le même que si aucune aulre force n'agissait sur M, celui-ci étant primitivement immobile, et tous les points du système A restant au repos.

Sans être impossible, la démonstration expérimentale directe de ce principe se heurterait à de très grandes difficultés; aussi n'a-t-elle jamais été faite. On admet le principe parce que ses conséquences sont vérifiées par l'expérience.

13. PROPORTIONNALITÉ DES FORCES AUX ACCÉLÉRATIONS. — Nous avons vu qu'une force en agissant sur un mobile lui communique une certaine accélération. La valeur de cette accélération dépend de la valeur de la force; or, le troisième principe de la Dynamique permet de démontrer que, si plusieurs forces agissent successivement sur un même point matériel, elles produisent des accélérations dont les valeurs y,t\y".*, sont proportionnelles à celles des forces F,F',F"...; c'est-à-dire qu'on a:

Pour démontrer ce théorème, supposons qu'un point matériel M fasse partie d'un système de points A au repos. Faisons agir sur M, et sur lui seulement, une force <p constante en grandeur et en direction. Le point M prendra dans le système A un mouvement uniformément accéléré; soit a l'accélération de ce mouvement. Supposons un second système B de points possédant à chaque instant des vitesses égales et parallèles à celle de M, c'est-à-dire animés par rapport au premier système d'un mouvement uniformément accéléré avec une accélération a. Le point matériel M, soumis à la force 9, sera au repos dans ce nouveau système B. Faisons agir maintenant sur ce point M une seconde force ayant même valeur 9, même direction et même sens que la première ; le troisième principe nous dit que

M prendra dans le système B exactement le même mouvement que celui qu'il possédait dans le système A quand une seule forcq 9 agissait sur lui. C'est-à-dire que M prendra, par rapport au deuxième système de points, un mouvement rectiligne uniformément accéléré dont l'accélération est encore a. Le mobile M sur lequel agit maintenant une force 2<p est donc animé, par rapport au premier système A, d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré ayant une accélération a-]- a ou 2a. Continuons encore le même raisonnement; supposons un troisième système C de points ayant constamment des vitesses égales et parallèles à celles du point M soumis à la force 2<p, c'est-à-dire possédant l'accélération 2a, par rapport au premier système A : le corps M est en repos dans ce troisième système. Faisons agir maintenant sur M une troisième force de même valeur 9 de même direction et de même sens que les précédentes. Le mouvement que M prendra dans ce troisième système C sera exactement le même, d'après le troisième principe, que celui qu'il possédait dans le premier système, quand il était soumis à une seule force de valeur 9; c'est-à-dire qu'il prendra un mouvement rectiligne uniformément accéléré avec la même accélération a. Le mobile M soumis à la foroe 89 aura donc un mouvement rectiligne uniformément accéléré avec une accélération 2a -j- a ou 3a par rapport au premier système A; et ainsi de suite. On voit, en poursuivant ce raisonnement, que, si l'on applique au point mobile M une force de valeur n?, l'accélération deviendra rta.

Supposons maintenant que le point matériel M soit soumis successivement à l'action de deux forces F et F' constantes en grandeur et en direction dont les valeurs soient recpectivement 129 et n'9; les accélérations y et 7' des deux mouvements seront respectivement égales à n<x et n'a. On a donc :

F=nç F' = n'9

f = M y. = n'a d'où .

et, par conséquent :

La démonstration que nous venons de donner suppose qu'entre les valeurs F et F' des deux forces» il existe une commune mesure; comme cette démonstration subsiste, quelque petite que soit cette commune mesure, il faut en conclure que le résultat est encore vrai quand les deux forces F et F' sont incommensurables (*).

(1) Soient F et F' deux forces incommensurables, y et y' les accélérations ' qu'elles produisent en agissant sur un môme mobile. Divisons la valeur F de la première force en n parties égales à 9. Soit «' le plus grand nombre entier contenu dans le quotient de F' par 9 ; on a alors :

80 it a l'accélération produite par la force 9 agissant sur le mobile considéré ; on a :

T = na n'a < y' <(*'+*)«

écrivons ces égalités ainsi

\F=sn* «t S «'?<F'<(n'+l)9

on en tire, en divisant membre à membre :

o • F on remplaçant dans la double inégaiilé - par - » et, en remarquant que

^H = 1-f?+T et -^- = 1+-,, il vient:

Cette double .inégalité subsiste, quelque petite que soit la force 9 et, par conséquent, quelque grands que soient les nombres n et n' ; elle subsiste

Nous avons démontré le théorème dans le cas de forces constantes en grandeur et en direction agissant sur un point matériel primitivement au repos. Mais nous avons vu (g 11) que l'accélération produite par une force agissant sur un point matériel déterminé est la même, que le point soit primitivement au repos ou qu'il soit animé d'une vitesse quelconque, que la force conserve la grandeur et la direction qu'elle possède au moment oonsidéré ou qu'elle soit variable. Le théorème do la proportionnalité des forces aux accélérations est donc tout à fait général et s'applique aussi bien dans le cas de forces variables que dans celui de forces constantes.

Nous verrons plus loin (T. I", L. II, Chap. H, g 6, p. 76,) comment à l'aide de la machine d'Atwood on peut vérifier directement cette conséquence immédiate du troisième principe ; or, ici la vérification expérimentale est indispensable, puisque celle du principe lui-même n'a pas été faite.

14. REMARQUE SUR LES LOIS PRÉCÉDENTES. — Dans l'exposé des trois premiers principes, nous avons toujours envisagé, pour plus de simplicité, un corps de dimensions négligeables, un point matériel. Ces trois principes sont encore applicables dans le cas d'un corps de dimensions quelconques, pourvu que son mouvement reste toujours un mouvement de translation; c'est-à-dire que les vitesses et, par conséquent, les accélérations de ses divers points 6oient toujours les mêmes à un même moment (1). Sous cette réserve, toutes les conséquences que nous avons déduites de ces principes sont applicables à un corps de dimensions quelconques, la trajectoire, la vitesse et l'accélération

donc encore quand »' tend vers l'infini. Or, les deux quantités entre lesquelles

— se trouve constamment compris tendant alors toutes les deux vers la

F même limite — # H faut qu'on ait T

- (I) Nous verrons plus loin (g 41) les conditions que doivent réaliser les forces appliquées à un corps pour .qu'il en soit ainsi.

du mobile étant la trajectoire, la vitesse et l'accélération d'un de ses points. Il n'y a qu'à jeter un coup d'œîl sur les raisonnements des paragraphes précédents pour s'en convaincre.

Dans ce qui va suivre, toutes les fois que nous parlerons de trajectoire, de vitesse ou d'accélération d'un corps, il sera entendu que le corps est de dimensions négligeables ou qu'il est animé d'un mouvement de translation. Sans cela, il est évident, que ces expressions n'ont aucun sens précis.

15. MASSE. — Nous venons de voir qu'il existe un rapport constant entre les valeurs F,F',F,"..., des forces qui agissent successivement sur un même corps et les valeurs y,y,Y'..., des accélérations qu'elles produisent. Désignons par m sa valeur :

Ce rapport m de la force à l'accélération qu'elle produit dépend essentiellement du mobile sur lequel agit U force et, pouvant différer d'un mobile à un autre, il caractérise celui-ci au point de vue mécanique; on lui a donné le nom de masse du corps. D'après sa définition même, la masse d'un corps est une quantité absolument invariable quelles que soient les circonstances où le corps se trouve placé. La masse ne peut varier que si le corps perd ou gagne de la matière, c'est-à-dire ne reste plus le même.

Quoiqu'une définition n'ait pas besoin de justification, comme le mot masse est employé dans le langage ordinaire, il est bon de montrer que la définition précise que nous lui donnons ici concorde bien avec le sens un peu vague qu'on y attache habituellement : c'est ce qui résulte de la propriété que nous allons établir.

Supposons un corps de massj M, primitivement au repos, et divisé en n parties de même masse m. Appliquons à chacune d'elles, suivant la même direction, dans le même sens, une même force /"constante en grandeur et en direction. Gomme toutes les parties du corps ont même masse, elles prendront, d'après la relation (1), la même accélération y, et, par consé-

quent, le même mouvement. Or, la force totale agissant sur le corps tout entier est nf. On a donc, d'après la définition de la masse :

(2) M = ^=n^=nm

Par conséquent, la masse dun corps est égale à la somme des masses des parties qui le composent.

En particulier, quand un corps homogène contient nfois plus de matière qu'un nuire de même nature, sa ma-se est n fois plus grande. En d'autres termes : pour des corps homogènes de même nature, la masse est proportionnelle à Ja quantité de matière qu'ils contiennent. Ce qui concorde bien avec le sens vulgaire du mot masse.

Si F est la valeur de la force qui agit sur un corps de masse m, et y l'accélération du mouvement qui en résulte, on a, par définition :

d'où:

(3) F = mT

Une force est égale au produit cte la masse du corps sur lequel elle agity par T accélération qu'elle produit.

Supposons qu'une force de valeur F, agisse successivement sur deux corps de masses différentes m et m! ; les accélérations Y et y des mouvements correspondants n'ont pas la même valeur et, d'après (3), on a :

F = mY = mY d'où:

Les accé érations produites par une même force agissant

sur deux corps différents sont en raison inverse m leurs masses.

Ainsi, supposons qu'un petit grain de plomb et une balle de plomb soient, pendant un même temps très court, soumis à l'action d'une même force constante, par exemple, à l'action d'un ressort qui se détend, mais dans une très petite portion de la détente, pour que la force soit constante. Ces deux corps prendront un mouvement uniforme dès que la force aura cessé d'agir. Or, les vitesses des deux mouvements doivent être très différentes : celle de la balle de plomb doit être bien plus pi.'tite que celle du grain de plomb, puisque ces vitesses sont celles du mouvement varié au moment où la force a cessé d'agir, et que, si nous prenons le temps pendant lequel la force a agi comme unité de temps, ces vitesses, acquises dans l'unité de temps, sont précisément les accélérations. L'expérience confirme pleinement cette déduction en montrant que la vitesse acquise est bien moindre pour la balle de plomb, qui a une grande masse, que pour le grain de plomb, qui en a une petite.

16. RÉSULTANTE DE PLUSIEURS FORCES. - On appelle résultante de deux ou de plusieurs forces, une force unique qui, â elle seule, produirait le même effet que l'ensemble des autres forces, appelées composantes. Déterminer la résultante de plusieurs forces s'appelle composer ces forces.

L'effet de plusieurs forces appliquées à un même corps ne peut pas toujours être produit par une force unique; nous allons examiner quelles sont les conditions nécessaires pour que plusieurs forces aient une résultante et chercher quelle est la valeur et la direction de celle-ci.

17. COMPOSITION DE DEOX FORCES AYANT MÊME POINT D'APPLI- CATION. — Quand deux forces ont même point d'application,: elles peuvent être remplacées par une résultante. Celle-ci s'obtient en composant les deux forces-suivant la règle du parallélogramme, comme deux vitesses :

On construit sur les deux forces représentées graphiquement

par MA et MB (flg. 3i), un parallélogramme MAGB. La dia* gonale MG de ce parallélogramme représente eu grandeur et en direo- 1 lion la résultante des deux forces MA et MB.

Cette règle résulte de celle qui a été donnée pour la composition des accélération» et de l'application du troisième principe de la Dynamique 0).

On peut, du reste, comme dans le cas de la composition des vitesses, simplifier un peu la construction graphique nécessaire pour ob-

(1) Pour démontrer ce théorème, supposons qu'un point matériel M, de masse m, fasse partie d'un système P de points animés d'un mouvement de translation quelconque. Faisons agir sur M une force F que nous supposons constante en grandeur et en direction. Ce point matériel prend, par rapport un système P, un mouvement relatif rectiligne, dans la direction de F et uniformément accéléré sans vitesse initiale. L'accélération 7 de ce mouvement est donnée par

7= — ; représentons-la par Ma (flg. 32). Suppo-

in sons maintenant un second système Q de points

animés de vitesses constamment égales et parallèles à celle de M soumis à l'action de F; si M n'était pas soumis à une nouvelle force, il resterait au repos dans ce système. Mais si, au moment même où F a commencé d'agir, une seconde force F', constante en grandeur et en direction, agit aussi sur M, cotte force communique à ce point par rapport au système Q un mouvement relatif, qui est rectiligne suivant la direction de F' et uniformément accéléré. L'accélération 7'. de

F' ce mouvement est donnée jpar y' = — ; représen-

lons-la par Mb.

Dès lors, d'après ce que nous avons vu (Cinématique, § 16) sur la composition des accélérations de deux mouvements uniformément accélérés sans vitesses initiales, le mouvement de M dans le système P est aussi un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale et ayant pour accélération en gran-

tenir la résultante : par l'extrémité A de la droite MA (fig. 88) représentant la force F, menons une droite AC, égale et parallèle à l'autre force F, représentée par MB, et joignons MC.

Cette droite est évidemment la diagonale du parallélogramme MAGB construit sur les deux forces, et, par conséquent, représente la résultante de ces forces.

Fie 33.

Heur et en direction la diagonale Me du parallélo gramme Mac/) construit sur Ma et Mb. On yoU, par là, qu'une force unique R dirigée suivant cette diagonale et ayant pour valeur m X Me produirait exactement le même effet. Telle est donc la résultante des deux forces F et F'. Pour obtenir cette résultante, portons dans la direction M» une longueur MA égale à m X Ma, dans la direction Mb une longueur MB égale à m XMB et dan* la direction Me une longueur MC égale m X Me. Les droites MA, MB, MC représentent graphiquement les deux composantes F et F' et leur résultante R. Joignons les points A et C ainsi que les points C et B. Les triangles Mac el MAC sont semblables comme ayant même angle compris entre côtés.