IRISATION DES IMAGES VUES A TRA- VERS UN PRISME OU UNE LENTILLE

— Un objet qu'on

regarde à travers un prisme ou une lentille parait le plus souvent bordé de couleurs bleues ou jaunes, qui sont dues au phénomène de la dispersion qui accompagne la réfraction.

Considérons, par exemple, le cas d'un prisme et supposons qu'on regarde à travers le prisme un objet blanc sur fond noir. Le prisme donnera naissance à une image virtuelle de cet objet dans chacune des couleurs simples qui composent la lumière blanche. Ces images n'auront pas la même position : l'image violette sera la plus près de l'arête du prisme, l'image rouge la plus éloignée. S'il existe une partie commune à l'image rouge et à l'image violette, cette partie sera commune aussi à toutes les autres couleurs du spectre, et l'œil verra du blanc en cet endroit ; mais, plus près de l'arête du prisme, le rouge et les couleurs les moins réfrangibles manquant, l'œil verra une bande colorée passant du bleu au violet à mesure qu'on s'écartera de la partie blanche; inversement du côté de la base du prisme, le violet et les couleurs les plus réfrangibles manquant, l'œil verra une bande colorée dont la teinte variera du jaune au rouge à mesure qu'on s'éloignera de la partie blanche.

La distance focale d'une lentille infiniment mince étant donnée

par la formule 7 = (n — 1) f — — —J (Chap. III g 21), on voit

que pour chaque couleur il y a une distanco focale spéciale, puisque l'indice de réfraction n dépend de la couleur. Par

conséquent, en vertu des formules fondamentales — j — ; = 7

i w' et — — —, on voit que la distance p' à laquelle se forme l'image

nette d'un objet et la grandeur de cette image dépendent de la couleur. Si l'objet est blanc, il y a une série d'images dans chaque couleur, inégalement distantes de la lentille et, par conséquent, de grandeurs différentes : l'image d'un objet blanc sera donc bordée d'une bande colorée.

Ces irisations sont un défaut pour la netteté des images (aberration de réfrangibilité). Nous allons voir qu'en combinant convenablement deux prismes, ou deux lentilles, formés de verres inégalement dispersifs, on parvient à obtenir la réfraction de la lumière sans irisation appréciable des images. On désigne de pareils systèmes sous le nom de prismes ou lentilles achromatiques.

Newton ne croyait pas à la possibilité de l'achromatisme. Les idées de Newton ayant paru inexactes à Euler ('), d'après ce fait que l'œil est achromatique, ce savant mathématicien démontra théoriquement la possibilité de l'achromatisme et donna des règles pour le réaliser, vers 1753. Mais c'est l'opticien anglais Dollond (*) qui, en voulant réfuter les idées d'Euler par l'expérience, se convainquit de leur justesse et réalisa les premiers prismes et les premières lentilles achromatiques.

Nous commencerons par étudier l'achromatisme des prismes.

12. ACHROMATISME DES PRISMES. — L'achromatisme parfait est irréalisable ; mais on peut obtenir, en combinant deux prismes formés de substances n'ayant pas le même pouvoir dispersif, une même déviation pour deux rayons de couleurs différentes

(I) Léonard Eulcr est né à Dalo en 1707 et est mort à Saint-Pétersbourg en 1783.

(:!} John Dollond est né ù Spitalfields ec 1706 et est mort en 1761.

ACHROMATISME

déterminées. Ainsi Ton peut faire, par exemple, que l'image jaune et l'image bleue d'un objet blanc soient confondues ; l'objet parait alors à peu près sans irisation, quoique les images dans les autres couleurs ne soient pas exactement superposées. #

En combinant trois prismes de trois substances différentes, on pourrait obtenir la superposition exacte do trois couleurs, et ainsi de suite. Mais, en général, on se borne à réunir deux couleurs, l'achromatisme est assez parfait pour qu'il soit inutile de compliquer davantage le système.

Nous allons nous occuper de l'achromatisme dans le cas seulement de prismes à angle très faible ; ce cas est plus facile à traiter que le cas général, et c'est le seul qui soit intéressant en pratique.

Si Ton fait tomber un faisceau de lumière blanche sur le système de deux prismes dont les arêtes parallèles sont tournées d'un même côté, il est clair que, les déviations produites par chacun des prismes Rajoutant, il en sera de même des différences entre les déviations des rayons rouges et des rayons violets : la dispersion produite par le système dos deux prismes sera plus grande que celle produite par un seul prisme.

Mais, si le second prisme, tout en ayant son arêle parallèle à celle du premier, est renversé par rapport à lui (fig. 98), les déviations produites par chacun des prismes se retranchent,* et il en est de même des différences

entre les déviations de deux rayons de couleurs différentes. Il peut se faire alors que ces déviations deviennent les mêmes sans être nulles; c'est ce que nous allons montrer.

Soient a et a' les valeurs des angles de ces prismes ; comme nous l'avons dit, nous supposons ces angles très petits. Supposons, en outre, que le faisceau de lumière blanche tombe sur la face d'entrée du premier prisme sous une incidence voisine de la normale ; il en sera alors de même pour les incidences des

Fie. 98.

rayons sur les trois autres faces réfringentes du système, si, comme nous le supposons aussi, les faces voisines des deux prismes sont parallèles . Dans ce cas, nous avons vu (Chap. III § 7), que les déviations d et rf' données par les prismes sont indépendantes de l'angle d'incidence, étant fournies par les relations :

(i) rf = (n 1)a d' = (ri — i)a'

dans lequelles n et ri représentent les indices des deux prismes pour la couleur considérée.

La déviation 8 du rayon à travers le système des deux prismes est donc donnée par :

(2) 8 = d — d' = (n — 1) a — (ri — 1) a'

D'après cette relation si 8 est positif d est plus grand que £ : le rayon est rejeté du côté de la base du premier prisme ; si 8 est négatif d est >plus petit que d' : le rayon est rejeté du coté de la base du second prisme.

Soient maintenant 8lf ni et n\ la déviation et les indices correspondants à une couleur déterminée, le jaune, par exemple, et 8â, ii3 et n'2 la déviation et les indices pour une autre couleur déterminée, le bleu, par exemple. On a :

/3x 8| = (fi| — i)a — (n'i — l)a'

^ ; lÈ = (n%—i)a — (rià — qat

Si Ton veut que les rayons de ces deux couleurs différentes, confondus dans la lumière incidente, sortent parallèlement, il faut avoir : 8â — 8t = 0 ; c'est-à-dire :

(4) (iif - n,) a - (n'a — n',) a' = 0

d'où:

■ ± tjrz*

' a! ttg — nfl

ACHROMATISME 419

Telle est la condition d'achromatisme: il faut choisir les angles a et a' de façon à satisfaire à la relation (5).

Si nous voulons, en outre, que le système achromatique donne une petite déviation S déterminée, il faut que a et a! satisfassent à Tune des deux relations (3), qui sont identiques Tune à l'autre si a et a' satisfont à la condition d'achromatisme (5).

Eliminons a' entre les relations (5) et Tune de relations (3) ; il vient, en supprimant l'indice de S :

, Jnt — l n'f — li

uit — W| n± — n i J

Supposons que l'indice 2 se rapporte au bleu et l'indice i au jaune; alors n% — nt est une quantité positive. D'ailleurs si nt et n* se rapportent au crown glass et n'â et n\ au flinl glas s, comme ce verre à base de plomb est plus dispersif que le premier, on a :

La quantité entre crochets dans la relation (6) étant positive, on voit que $ est positif, c'est-à-dire que le rayon est dévié par le système achromatique vers la base de celui des deux prismes qui est formé du verre le moins dispersif.

La relation (5) montre, du reste, que c'est le prisme le moins dispersif qui doit avoir le plus grand angle (').

Nous verrons plus loin (Chap. V11I § 2) comment on mesure les indices de réfraction des diverses couleurs, qu'il est nécessaire de connaître pour obtenir un prisme achromatique donnant une déviation déterminée. Nous verrons aussi comment le diasporamètre (Chap. VIII § 12) permet d'obtenir directement

(1) Newton croyait que pour toutes les substances l'expression » f '

»i — 1 avait la même valeur. S'il en était ainsi, d'après la relation (G), la déviation serait nulle : on ne pourrait achromaliser un prisme qu'en annulant la déviation qu'il produit. C'est pour celte raison que Newton ne croyait pas à la possibilité de l'achromatisme.

le rapport— - - , c'est-à-dire le rapport des angles des deux

prismes.

13. ACHROMATISME DES LENTILLES. — Considérons un système formé de deux lentilles infiniment minces, placées au contact Tune de l'autre, de façon que leurs axes principaux soient confondus, et baignées par l'air sur leurs deux faces. Soient p la distance d'un point lumineux A à la première lentille, ct la distance à cette lentille de l'image A' qu'elle donne du point A, et f sa distance focale. On a :

L'image A' de A va fonctionner comme objet par rapport à la seconde lentille; soit ut la distance de A' à cette lentille. On a pour la distance p' de la nouvelle image A" donnée par la seconde lentille :

CTi J) f

en désignant par f la distance focale de la seconde lentille. Or, les deux lentilles étant infiniment minces et infiniment voisines, cr et u{ ont la même valeur absolue. Seulement si A' est une image virtuelle, ct est négatif, et, comme A' fonctionne alors comme objet réel, CTt est positif : on a donc 1^ = — ct; si A est une image réelle, u est positif, mais cette image fonctionne alors comme objet virtuel par rapport à la seconde lentille, zsi est négatif, et Ton a encore usi = — ct. La formule (2) peut donc s'écrire :

ajoutons membre à membre les relations (1) et (3) ; il vient :

ACHROMATISME 421

Pour la distance à laquelle se forme l'image, on voit que le système des deux lentilles 6e comporte comme une lentille unique dont la distance focale F serait donnée par

Il en est de même aussi pour la grandeur de l'image. En effet, un rayon qui se dirige vers le centre optique de la première lentille passe aussi par le centre optique de la seconde qui en est infiniment voisin et, par conséquent, sort du système sans déviation : c'est un axe secondaire. Par conséquent, le rapport entre la grandeur de l'image et la grandeur de l'objet est égal au rapport des distances de l'image et de l'objet au système.

La démonstration que nous venons de faire s'étend d'ellemême au cas de trois, de quatre, d'un nombre quelconque de lentilles infiniment minces et infiniment voisines :

Un système de plusieurs lentilles centrées inûniment minces et infiniment voisines est équivalent (pour la distance et la grandeur des images) à une lentille unique dont la convergence

— serait égale à la somme algébrique des convergences des lenr

tilles qui composent ce système : h, t;» t,»» ~ etc.. . J

Faisons remarquer que, quand la lentille est convergente sa

convergence — est positive; quand une lentille est divergente,

f étant négatif,sa convergence- est négative.

Si, en juxtaposant deux lentille^, on peut obtenir un système dont la distance focale F soit la même pour le jaune et pour le bleu, en vertu de la relation

i+p'-F ce système fournira d'un objet quelconque une image jaune qui

coïncidera en position et en grandeur avec l'image bleue : il y aura achromatisme parfait pour ces deux couleurs et, par conséquent, achromatisme suffisant pour toutes les autres.

Or, il est possible, comme nous allons le montrer, de trouver deux lentilles formant un système achromatique en les taillant dans des verres inégalement dispersîfs.

Désignons par R4 et Râ les rayons de courbure des faces de la première de ces lentilles, et par nt son indice de réfraction pour le jaune ; la distance focale fi pour les rayons de cette couleur est donnée par

De même, en désignant par R'j et R'â les rayons de courbure des faces de la deuxième lentille et par n\ son indice de réfraction pour le jaune, sa distance focale fi pour cette couleur est donnée par

ni

tt <*■-'>&-*:)

Le système formé par la superposition des deux lentilles aura pour les rayons jaunes une distance focale Ff donnée par:

£=!+£= ""-" (jç-i) +'"''-'<r,-ff;)

De même, pour les rayons bleus, il aura une distance focale Fs donnée par :

en désignant par n* et n'â les indices des lentilles pour cette couleur.

Pour que le système soit achromatique, il faut avoir :

(10) hk

ACHROMATISME 423

d'où, en retranchant membre à membre (8) de (9) :

(iD <»,-«,) (£-i) +(«',-»',) [wrm)=°

Comme n* — nt et n'â — n't sont des quantités, positives on voit que ( — -rr- j et l— — ) doivent être de signes

contraires :

L'une des lentilles du système achromatique doit être convergente et l'autre divergente,

La condition d'achromatisme (6) peut se mettre sous la forme

,.*v ^ Rt nV-n'i (f)

K -; J 1 — wi-n1

Le diasporamètre (Ghap. VIII g 12) permet de déterminer le second membre de cette relation.

Comme on désire que le système achromatique possède une convergence -=r déterminée, il faut que les rayons de courbures

des faces des lentilles satisfassent, en outre, à l'une des deux relations (8) ou (9), qui sont identiques quand les rayons de courbure satisfont à la condition d'achromatisme (11).

(1) En désignant par n et »' les indices de réfraction moyens pour les deux verres, on peut écrire cette relation :