CHAPITRE III

Nous allons compléter nos connaissances sur la pesanteur r l'étude du pendule.

4. DÉFINITION. — On appelle pendule tout corps pesant pouant tourner autour d'un axe horizontal.

FlG. iO.

Le fléau d'une balance (flg. 20) est un pendule. Un corps

pesant suspendu au bout d'un fil flexible, fixé à son extrémité

siipérieure 0 (flg. 21), constitue encore un pendule, car il peut

tourner autour de toutes les droites menées par 0 : il a une

infinité d'axes de rotation. C'est même cette dernière forme que

nous allons principalement étudier, pour plus de généralité;

^ûis tout ce que nous établirons s'appliquera évidemment aussi

*^x pendules à un seul axe rigide.

C'est Galilée qui, vers 1583, a fait connaître les principales *^^s ((ui règlent le mouvement d'un pendule. Il n'avait que *^ ans, quand, un jour, se trouvant dans une église de Fisc, ^^ attention fut attirée par une lampe qui se balançait lenle-

ment à l'extrémité d*un long cordon fixé à la voûte de l'édifice. La lenteur du mouvement le frappa; il Tattribua à la grande hauteur du cordon, et vit qu'il devait exister une relation entre la durée d'une oscillation d'un corps suspendu et la longueur du fil qui le soutenait. Ce fut là l'origine de ses recherches sur le pendule.

2. OSCILLATION DU PENDULE. — Quand le centre de gravité d'un pendule se trouve sur la verticale menée par le point O de suspension (fig. 21), l'équilibre est possible, car alors le poids du pendule est détruit par la résistance de ce point de suspension.

Mais, si l'on écarte le pendule de sa position d'équilibre G, en l'amenant en G' par exemple, et qu'on l'abandonne à lui-même, l'équilibre n'est pas possible, car le poids appliqué en G' est une force verticale G'P' dont la direction ne passe plus par 0 ; elle ne peut donc être détruite par la résistance appliquée en ce point.

Remplaçons le poids G'P du pendule par deux composantes, l'une G'P située suivant le prolongement de OG', l'autre G'F perpendiculaire à la précédente; il suffit pour cela de construire le rectangle ayant ses deux côtés suivant ces deux directions et dont G'P' est la diagonale. La force G'F' a pour efi'et de tendre le fil OG'; d'où il résulte que le centre de gravité, dans le mouvement du pendule, est forcé do rester à la surface d'un sphère ayant 0 pour centre. Or, quelle que soit la position de ce point, la force G'F' étant dirigée suivant le rayon de cette sphère, est normale à l'élément do trajectoire décrit par G, et, par conséquent, ne peut exercer aucune influence sur la vitesse du pendule. La force G'F, au contraire, doit modifier celle-ci, et si l'on ne considère que la variation de vitesse, on peut supposer qu'elle agit seule (*).

(1) 11 ne faut pas croire que la Torcc normale G'F' soit constammeot détruite par la résistance du point de suspension, ou, si l'on veut, par la tension du fll. Ceci n'est exact qu'aux extrémités de la course du pan- (lule, quand la vitesse est nulle. Dans tout autre point du parcours , par

Si l'on abandonne sans vitesse le pendule dans la position OG', la force tangentielle G'F le ramène vers sa position d'équilibre, et, comme cette force reste toujours dans le plan vertical GOG', la trajectoire du centre de gravité est Tare de cercle G'G|G compris dans ce plan. Soit G| la position du centre de gravité à un moment quelconque du parcours; désignons par 6 l'angle G^OG que fait alors le pendule avec sa position d'équilibre. Dans le triangle G1P4F1, dont le côté G,F| représente la valeur de la force accélératrice tangente à l'arc

de trajectoire, l'angle GiP|Fi est égal à 6 comme ayant ses cotés parallèles à ceux de l'angle G|OG ; on a donc :

GjFi = GiPi sine

ou, en désignant par p et par f les valeurs du poids du pendule et de la force tangentielle :

/' = /} sinô

exemple en G| où le pendule a une certaine vitesse, la tension da fil est plus grande que la composante GiF/ et la résultanjfe de ces deux forces, dirigée de Gi vers 0, est ce qu'on appelle la force centripète; elle a pour effot de rendre le mouvement curviligne. Si le pendule est constitué par un petit corps de masse m, suspendu par un fil de longueur /, et de masse négligeable, au moment où la vitesse du corps est v, la valeur de la force

centripète est —- .

Cette force f diminue avec Tangle 6 ; mais, comme elle est toujours dans le sens du mouvement tant que le centre de gravité n*a pas atteint la position d'équilibre G, la vitesse, nulle en G', va en augmentant jusqu'en G. Arrivé en ce point, /"devient nulle ; mais en vertu de la vitesse acquise le pendule dépasse la position d'équilibre, et le centre de gravité se relève en parcourant le prolongement GG^G" de l'arc de cercle G'G|G. Dès que le pendule a dépassé la position d'équilibre, la construction de la force tangentielle G^F^ montre que celle-ci est dirigée en sens inverse du mouvement, et que sa valeur absolue va en croissant avec l'angle G^OG. Cette force diminue la vitesse de plus en plus, et celle-ci devient nulle quand le pendule fait de l'autre côté de la verticale un angle G"OG égal à GOG', si toutefois les frottements dus à l'air et à l'axe de rotation sont insensibles: c'est ce que l'expérience constate, et c'est ce que les lois de la mécanique établissent, comme nous le montrerons tout à l'heure. Arrivé dans cette position le pendule ne peut y rester; pour les raisons que nous venons d'indiquer, il se rapproche de sa position d'équilibre, la dépasse, en vertu de la vitesse acquise, revient à son point de départ pour recommencer à descendre, et ainsi de suite : il exécute de part et d'autre de la position d'équilibre une série d'oscillations. Pourtant, à cause des frottements et de la résistance de l'air, à chaque oscillation, le pendule s'écarte un peu moins de la position d'équilibre, sa vitesse diminue de plus en plus, et il finit, au bout d'un temps, qui peut être très long, par devenir immobile. (Voir Chap. !•% 8 8 p. 87, note 1.)

U oscillation est, à proprement parler, le passage d'une position extrême du pendule à l'autre position extrême.

La durée d'oscillation est le temps nécessaire pour effectuer ce trajet.

Uamplilude de l'oscillation est l'angle G'OG" que forment entre elles les deux, positions extrêmes OG' et OG" de la perpendiculaire à l'axe de rotation menée par le centre de gravité (ou de toute autre droite comi)risc dans le plan d'oscillation) .

8. PENDULE SIMPLE. — Pour étudier le phénomène des oscillations d'abord dans le cas le moins compliqué, on a imagine un

pendule idéal, le pendule simple : il consisterait en un point pesant, suspendu à Textrémité d'un fil sans poids, inextensible et parfaitement flexible.

Tout pendule qui n'est pas simple est appelé pendule composé.

Il est clair que nous ne pouvons réaliser que des pendules composés. Mais faisons un pendule avec un fil flexible de lin ou de soie, auquel nous fixons un corps de très petite dimension par rapport à la longueur du fil, et d'un poids très grand au contraire par rapport au poids de celui-ci, tel qu'une boule de cuivre ou de plomb : un pareil pendule se rapproche beaucoup d'un pendule simple. Celui-ci constitue donc un état limite vers lequel peut tendre la forme d'un pendule composé, et les résultats que l'analyse mathématique fournit pour le pendule simple s'appliquent d'autant mieux aux pendules composés qu'ils se rapprochent davantage de cette forme idéale.

On appelle longueur du pendule simple la longueur du fil.