LOIS EXPÉRIMENTALES DE LA DURÉE D OSCILLATION. ~ Les

lois que nous allons indiquer ne sont vraies, en toute rigueur, que si le pendule oscille dans le vide, et n'éprouve aucun frottement résultant de son mode de suspension ; en un mot, que s'il n'est soumis qu'aux seules actions de la pesanteur et de la résistance de l'axe. Mais, si le pendule est un peu pesant, si dans son mouvement il ne frappe pas l'air par une trop grande surface, si les oscillations sont de petite amplitude, à cause de la faible vitesse du mobile, la résistance de l'air est une fraction minime du poids du pendule et le mouvement s'exécute au milieu de ce fiuide à très peu près comme il le ferait dans le vide.

Les trois premières lois que nous allons exposer s'appliquent à toute espèce de pendule; la dernière est une loi limite, qui se vérifie d'autant mieux que le pendule se rapproche plus de la forme simple.

!'• LOI. — La durée des oscillations d'un même pendule, oscillant en un même lieu, est indépendante de la valeur de f amplitude, pourvu que celle-ci soit très petite.

Des oscillations d'amplitudes de 2'', de i*", de O^'SO', etc., s^effectuent dans le même temps. C'est ce qu'on exprime en-

core on disant que les petites oscillations du pendule sont isochrones.

Pour vérifier cette loi, on fait osciller un pendule quelconque, un fléau de balance, ou un pendule se rapprochant de la forme simple, en Técartant légèrement de sa position d*équilibre. A Faide d'un chronomètre on compte la durée de cent oscillations ; puis on attend que Tamplitude ait diminué, par suite de la résistance de Tair, et Ton compte de nouveau la durée de cent oscillations : on trouve toujours que cette durée est la môme que celle des cent oscillations précédentes. Ainsi, quoic|ue ces dernières aient toutes des amplitudes plus faibles que les premières, le temps employé pour les effectuer est le même.

Cette propriété permet d'obtenir très exactement la durée des petites oscillations d'un pendule. Pour faire une mesure, on met en mouvement Taiguille d'un chronomètre au moment où le pendule occupe l'une des positions extrêmes. On compte un certain nombre n d'oscillations, et Ton arrête l'aiguille à la fin de la dernière. Si l'aiguille s'est avancée de T secondes, et s'il n'y a pas d'erreur dans la mesure du temps, la durée de chaque oscilla-

T tien est — . Mais on peut se tromper d'une petite quantité 6 (un

dixième de seconde, par exemple) sur le moment exact du départ et d'une autre petite quantité ^ sur celui de l'arrivée ; ce qui fait que la durée des oscillations est en réalité T ±^± ^^ et

T a e' Que celle d'une seule oscillation est — -H — -h — . ^ n n n

On voit par là que plus le nombre des oscillations n sera grand,

plus les erreurs — et — qu'on conmiet sur la durée d'une seule ■^ n n

oscillation seront faibles. Si l'on compte iOOO oscillations et, si les erreurs absolues 0 et t' sont au plus égales & 77: <io seconde.

Terreur maximum possible sur la durée d'une oscillation est r^^^

de seconde.

!S^ LDI. — Le durée doscilktioa dua même pendule rwrîe avec /t lëiiimk : elle est dëoiéni plus grëoik que le pendaie os-

cille plus près de féquateur. Elle augmente aussi avec ïallitude.

Ces variations dans la durée d'oscillation d'un pendule sont du reste très faibles.

8"* LOI. — Des pendules simples de même longueur, dont les points pesants sont formés de substances différentes ont même durée d'oscillation en un même lieu.

Pour vérifier cette loi, on suspend à des fils d'égale longueur des corps très petits de substances diverses (platine, plomb, fer, bois, ivoire, etc....). Ces corps doivent peser beaucoup plus que le fil. La forme de ces pendules s'approche ainsi extrêmement de celle du pendule simple.

Si, après les avoir écartés de la position d'équilibre, on les lâche en même temps, on constate qu'ils s'accompagnent dans leur mouvement, et, qu'après un nombre quelconque d'oscillations, ils reviennent ensemble à leur position de départ.

Cette loi peut s'étendre aux pendules composés de forme quelconque : des pendules homogènes, géométriquement égaux, et formés de substances différentes, ont même durée dosciU lation en un même lieu.

4"« LOI. — En un même lieu, la durée d'oscillation dun pendule simple est directement proportionnelle à la racine carrée de sa longueur.

On vérifie habituellement cette loi dans les cours en prenant deux pendules se rapprochant de la forme simple, et dont l'un a une longueur quadruple de celle de l'autre. Si, après les avoir écartés, on les abandonne en même temps, on constate qu'après quatre oscillations du petit et deux du grand, ils reviennent ensemble à leur point de départ. Par conséquent, la durée d'oscillation du grand pendule est le double de celle du petit.

Mais la véritable démonstration consiste à mesurer les longueurs I, r, l" de plusieurs pendules se rapprochant autant que possible de la forme simple, puis à mesurer les durées d'oscillation (, (', t" en comptant un grand nombre d'oscillations de chacun d'eux, comme nous l'avons indiqué plus haut; on trouve alors que ces valeurs vérifient la relation :

yJT y/Y \J7

5. FORMULE DU PENDULE SIMPLE. — On déduit des principes fondamentaux de la dynamique la relation suivante, donnant la durée d'oscillation t d*un pendule simple de longueur I exécutant des oscillations d'amplitude infiniment petite (*) :

(1) Voici comment on peut établir cette formule.

Soit a l'angle d'écart du pendule (demi-amplitude) (flg. 22). Si celui-ci est

abandonné à lui-même, il oscille, et, au bout du temps ty il occupe une certaine position A'O. Désignons par 0 l'angle A'OV; c'est une fonction du temps t qui peut être positive, nulle ou négative, suivant la position de A'O par rapport à OV. Désignons par v la vitesse, au temps /, du point mobile M, et par m sa masse: mr* est sa force vive. Evaluons les travaux des forces agissant sur M pour appliquer le théorème des forces vives. La résistance du ûl, étant une force dirigée suivant A'O, constamment normale à la trajectoire AA'V, n'accomplit aucun travail; il n'y a donc, si l'on néglige les flottements, qu'à s'occuper du travail de la pesanteur. Le poids de M est égal h mg; le travail accompli par la pesanteur, pendant que le mobile décrit Tare AA', est égal à la projection a^ de cet arc sur la verticale multipliée par le poids mg (Chap. I, { 1). On a donc, puisque la vitesse initiale est nulle :

FiG. SS.

mv* = 2m g x aa'

„,S = ôi-o-:.,.».-.«-<..-|-..-i)

d'où :

V* = Mg [sin« -| sin* -^ j ou r = 2 \/lg W sin« — — sin« -^

La vitesse v est la dérivée de l'arc AA' par rapport au temps (Voir page 73, note) ; or on a :

ÂÂ' = /> — 0). d'où r = — IV

en représentant par 0' la dérivée de 0 par rapport au temps.

Dans cette formule ic représente le rapport de la circonférence au diamètre, et g désigne Taccélération que prendrait le corps qui forme le point pesant du pendule s'il tombait en chute libre à l'endroit où il oscille.

Remplaçons, il vient :

2 y 8in« -l - sin« A

En égalant les fonctions primitives des deux membres de cette équation, on arriverait à trouver la formule complète (2). Nous nous bornerons ici à faire le calcul dans le cas où les amplitudes sont assez faibles pour qu'on

paisse remplacer sin --- et sin -r- par les arcs --r- et -—- ; il vient alors :

-7^i==\/I ou encore ~ ^~^ = JjL .

La fonction primitive du premier membre étant arc cos — , on a :

arc cos — = \/ -f / -f- C

C fi^

signant la constante arbitraire, ou:

0 = acosfc + W 1- tj

^^mme pour / = 0, on a 0 = a, il faut que la constante G ait une valeur ^^"^rxét par

1 = cosC; C = 2kK {k désignant un nombre entier quelconque)

Si Tamplitude n'est pas infiniment petite la formule devient

OÙ a désigne la demi-amplitude.

Par conséquent, en substituant il vient :

(1) 0 = «cos^^îATt + i/-^ t j = acosTl/y tj

On en tire, pour la vitesse de M :

i; = - /6' = aS/gl sin (1/7- 0

Pour trouver la durée d'oscillation du pendule, il sufQt de discuter les formules (1) et (2).

Pour < = 0, on a r = 0 et 0 = a. Pour i/ -y- ^ = —, c*e8t-à-dire pour

t =. --- 1/ — , la vitesse v passe par un maximum, et l'angle 0 est nul; t \ g

le pendule est dans la position OV. Ainsi la durée de la demi-oscillation

est — 1/ — . Pour 1/ -y- / = Tt, c'est-à-dire pour < = it 1/ — , Is vitesse devient nulle, et l'angle 0 égale — a. Si le temps croît à partir de celle

valeur, 0 diminue en valeur absolue, et, par conséquent, pour t

"Vt"

pendule occupe la position extrême ; il fait alors avec la normale OV un angle qui, en valeur absolue, est égal à Tangle de départ. La durée d'une oscllls-

= -Vt-

lion est donc donnée par < = ic \/ — . On voit du reste que, n désignant

un entier positif, toutes les fois que t «ara la valeur 2iiic W — , le pendait occupera la position de départ; et toutes les fois que t aura la valeur

(2r 4- i) ic W — , le pendule occupera l'autre position extrême : les durées des oscillations sont donc toutes égales à ic \l — .

6. COMPARAISON DE LA FORMULE DU PENDULE SIMPLE AVEC LES LOIS EXPÉRIMENTALES. — 1» On voit que la formule (1), qui n*est applicable que lorsque Tamplitude est très petite, ne contient pas la valeur de cette amplitude : par conséquent la durée de Toscillation est indépendante de Tamplitude, pourvu que celle-ci soit petite. C'est la première loi donnée par l'expérience.

La formule (2) nous montre, qu'en réalité, la durée t dépend de l'amplitude; mais, quand a est faible, le carré et les puissances supérieures de sin — deviennent négligeables, et la série

se réduisant à l'unité, (devient indépendant de a. 2* On tire de la formule (1)