J = MR

et comme J = MK% on aurait K = R.

Ainsi, dans ce cas, le rayon de giration K serait le rayon même da cylindre.

d*ailleurs la longueur du pendule synchrone /' est donnée par

^t comme / = a H — , on a :

8. AXE D*OSCILLATION. — On désigne ainsi un axe parallèle à Taxe de suspension, passant par un point 0' (fig. 25) situé sur la [)erpeudiculaire GO abaissée du centre de gravité G sur l'axe de si^spension 0, et à une distance de cet axe égale à la longueur / du pendule synchrone.

* Les axes d'oscillation et de suspension jouissent de la propriété remarquable d'ôtre réciproques l'un de l'autre; c'est-à-dire que, si Ton suspend maintenant le pendule par l'axe d'oscillation, l'ancien axe de suspension devient le nouvel axe d'oscillation. En d'autres termes, la longueur du pendule synchrone reste la même, et, par conséquent, le pendule dans cette nouvelle position a même durée d'oscillation que dans Tancienne.

En effet, soit /' la- longueur du nouveau pendule synchrone après le retournement; si nous désignons par a et a' les distances OG et O'G, nous avons :

cl'où :

Ut KiG. !io.

aO-a)

«8 LIVRE II. — CHAPITIIP: 111

Remarquons (jue les axes symétriques Oi et O'j de Taxe de suspension et de Taxe d*oscillation par rapport au centre de graviti^ G, ('tant situos à des distances a et a' de cet axe, donnent encore la nirmo longueur pour le pendule synchrone. Il y a donc, en glanerai, dans tout plan passant par le centre de gravité, quatre axes parallèles autour desquels le corps peut osciller dans le même temps.

Si K et K' (losignent deux points pris sur une perpendiculaire à ces axes passant par G, et à des distances de ce point égales au rayon de girati«>n, les quatre axes autour desquels le pendule u mémo durée d*oscillation sont compris le premier entre Tinfini et K, le second entre K et G, le troisième entre G etK', le quatrième entre K' et Tintîni (puisqu'on a K*=/ia'). Si Tundes axes passe par Tun des |)oints K ou K', le système des quatre axes se i*éduit à deux axes passant par K et K', et la durée de Toscillaiion est la plus petite possible ; car la longueur du pendule synchrone

« -| prend une valeur minimum pour a = K.

t. MCSURE DE LINTEIISITÉ DE LA PESANTEÏÏB. — La mesure de la durée d* oscillation d'un [>endule dont la longueur du l^endide synchrone a été déterminée, fait connaître Tintensité de la (H>santeur g au point où Ton opère ; car dans la formule

=vy

lout est connu sauf y.

Les iUnix mithoiles qui ont été les plus employiez pour me- $urt«r rmtensité de U (>os)inteur aux divers points du globe sont dues aux deux navigateurs Borda {^\ et Kater v^. Nous allons les •xposer.

vt J^^ia-CbarlM lH>r\ia. a« à I>ax «n 17:33, mort à P^ris ea 1790. i Kjter. <Mt-iuin« «A^rUis. S<s <Ap«htfacx*4 sur W pcadoU oal été

10. PESDtTLS DE BORDA- — Le pendule de Bordn so composait d'une sphère pleine S (flg. 26 el 27), de faible diamètre, suspendue à un fll BU moyen d'une petite calotte r, dans lm|M.:-lle la sphère se fixait à l'aide g Ê»

d'un peu de suif. De cette façon, Borda ^^

pouvait aisément remplacer \mù sphère par tfaulrcs do substances différente;*, et il SCSI asâiiii; ^ue la nature de la substance n'exerçait aucune influence sur la valeur de g. Dans les expériences définitives la sphère était en platine.

Le fil élait fixé par sa partie supérieure à une pièce portant un prisme CC semblable au couteau d'une balance, et dont l'arête reposait, par ses oxtrémilés sur une plaque d'acier- i'i-lli'-i;i (.■Uni soutenue par des supports scellés dans un mur massif, de façon à avoir une g^rande stabilité. Cette pièce possédait, comme le fléau d'une b;dd[ii:i' du précision, un bouton B, dont le déplacement, le ionj de la vis qui le portait, permettait de faire varier la distance du centre de gravité à l'axe de suspension.

En réglant convenablement cette distance, on arrivait à faire osciller le cou- h ^^^ teau seul, dans le même temps que le ,^^tFI pendule tout entier, formé du couteau, ^S^t du fll et de la sphère. ■" ^'

On était alors assuré que, si l'on avait '"^- **■

pu t»Jri^ osL'ilIor la sphère suspendue par

le Al autour du même axe de suspension, mais sans l'intermédiaire du couteau, la durée d'osi-illation eût été encore la même. En efîet, si cette durée d'oscillation eiît été différente de celle du couteau oscillant seul, il est clair que le système du couteau et du reste du pendule aurait eu aussi une autre durée d'oscillation, intermédiaire entre les précédentes.

Par cet artince, on se dispensait de calculer ta longueur du

pendule synchrone de tout le système oscillant, ce qui aurait été fort compliqué, à cause de la forme du couteau. Il suffisait de faire ce calcul pour le pendule composé du fil et de la sphère seulement, puisque ce pendule plus simple aurait eu même durée d'oscillalion que le pendule composé.

Le fil ayant un poids négUgeable par rapport à celui de la sphère, le centre de gravité de ce système était le centre même de cello-ci. Or, le rayon de giration d'une sphère pleine homogène se calcule aisément. Le carré K de cette quantité est égal

à -^ 1-*, en désignant par r le rayon de la sphère. Si donc a

représente la distance du centre de la sphère à Taréte du couteau ^axe de suspension), on a pour la longueur du pendule synchrone :

l = ai-^

oa

Ia> rayon de la sphère s*obtenait par la mesure de son volume, déduit de la poussée exercée par Teau, en se fondant sur le principe d'Archimède. Pour avoir a, on mesurait la distance entre Faréte du couteau et la partie inférieure de la sphère, et Ton en retranchait le rayon de celle-ci. Cotte mesure s'effectuerait ai^ourd*hui à Taide d*un cathétomètre. Du temps de Borda cet instrument n'était pas imaginé, et il a eu recours à remploi d'une règle graJuée ^* .

Quelques corrections étaient nécessitées par la présence de Tair au milieu duquel le pendule oscillait.

Il L« pendule éUnt daus sa po<Uion d'cquilibre, on plaçait ao-d«ss<Hit oiie |.><>ttte plate-forme horii^miale M ti^. â6). p<.>urant s'élever à l'aide d'une ris. Oq la «oalevjLtt jusqu'à ce qu'elle \înt aiHt^urer à U partie inférieura de la »ph«re. Ou tub3»ttluait alors au pendule uq< rt^le graduée portant un couteau, qui p«.-ruietlait de li suspendre comme le pendule lui m^me. et dont rarvte corr«f «pondait au zéro de U ^ra-iuaii- a Une r.'^ette mobile à coulisse, pcriaut un vcroier. pourait proloo^r U rv^Io. Ou t4rait cellenri, jusqu'à ce que sv/u extrémité viut aHleurvr a U pUte-f-.'rme. «t l on tiisait U lecture.

PENDULE îOi

Dans la fonnule du pendule composé

P représente, exactement, la force qui tend à faire tomber le pendule. Or, cette force est égale à son poids «dans le vide p diminué de la poussée exercée par Fair. Si d est le poids spécifique absolu de la substance qui forme la sphère, ~- est son volume ; et, si t est le poids spécifique absolu de Tair, la poussée

est Y 5 ; d'où ? = /) — /)— = /) fl -j. Comme on le

voit, la correction à faire revient à multiplier le poids par la quantité trôs voisine de Tunité ( ^ •— -7 )(*)• La formule qui donne la durée d'oscillation dans Tair est donc :

g représentant l'intensité de la pesanteur dans le vide.

Les amplitudes étant environ de 4°, la série (1 -f- A) pou-

Ci; Si la sphère est en platine, on a :

vait se réduire, sans erreur sensible, à ses deux premiers ternies :

Il nous reste maintenant à faire connaître l'élégante méthode due à de Mairan (*) et employée par Borda pour mesurer la durëe d*oscillalion.

il. MÉTHODE DES COÏNCIDENCES. — A Tintérieur d*une cage en verre (fig. 27), destinée à protéger les appareils contre les agitatiou'îde l'air, se trouvaient le pendule et, derrière lui, une horloge réglée par des observations astronomiques, de façon que le balancier battît exactement la seconde. Celui-ci portait sur une plaque un trait L vertical dans la ])Osition d'équilibre, et, par conséquent, parallèle au fd du pendule au repos. On plaçait en dehors de la cage, et à une certaine distance, une lunette qui permettait de voir à la fois le fil du pendule et le trait du balancier; on disposait celle-ci de manière que Timage du premier couvrît celle du second, les deux pendules étant au repos. On mettait alors en uiouveuient Thorloge et le pendule; or, la longueur de celui-ci était prise telle que sa durée d'oscillation fût très voisine do celle du balancier, c'est-à-dire très voisine d'une seconde. Four lixer les idées, supposons-la un peu plus petite.

A un certain moment on voyait, en regardant dans la lunette, le fil du pendule passer dans la verticale en même temps que le trait du balancier, en s'accouipagnant de façon que le premier paraissait, couvrir le second; il y rwslH coincideace. A l'oscillation suivante, le pendule, marchant un peu plus vite que le balancier, avait pris une légère avance, et le fil se trouvait un peu en avant du trait. Cet écart augmentait à chaque oscillation, et il arnvait un moment où, le désaccord étant complet.

(1) Jean-Jarques Dorlous de Mair«in, physicien, mathémaUcien et Ititérateur né à Bézier» en 1G78, mort en 1771.

l'KNDULE lOS

le fil et le trait plissaient ensemble dans la verticale, mais ea

sens contraire. A ce moment le pendule avait fait juste une oscillation de plus que le balancier. Le pendule continuant à marcher plus vite que celui-ci , leurs vitesses redevenaient de même sens et, à un certain moment, on notait une nouvelle coïncidence, le fil et le trait passant ensemble dans la verticale en s* accompagnant. Ainsi, le pendule avait fait juste deux oscillations de plus que le balancier dans l'intervalle des deux coïncidences; si, entre celles-ci, n était le nombre des oscillations de ce dernier, n + 2 était, par conséquent, celui des oscillations du pendule ; et, comme les n oscillations du balancier s'étaient effectuées juste en n secondes, chaque oscillation

n du pendule avait pour durée — . Le nombre n des secon-

des qui s'écoulaient entre deux coïncidences était donné par riiorloge, en notant Theure lors de la première et lors de la deuxième coïncidence.

Lorsque la durée d'oscillation du pendule était, au contraire, un peu plus grande que celle du balancier, entre deux coïncidences le nombre des oscillations du pendule était n — 2, et la durée de

chacune d'elles tt»

Ce qui rend cette méthode élégante, c'est que l'observateur est dispensé de compter le nombre des oscillations du pendule. Si la durée d*oscillation de celui-ci est très voisine d'une seconde, n est très grand. Dans ce cas l'opérateur note l'époque exacte d'une première coïncidence ; comme par la connaissance approchée de la durée d oscillation du pendule, il sait à peu près à quel moment aura lieu la coïncidence suivante, il peut s'absenter, et ne revenir qu'un peu avant l'époque présumée de celle-ci. Mettant alors l'œil à la lunette, il saisit le moment exact où cette coïncidence a lieu.

Ce qui rend la méthode précise, c'est que, quand n est très grand, si Ton se trompe d'une oscillation sur le moment où a lieu exactement la coïncidence, il n'en résulte qu'une erreur très faible dans la durée de Toscillation. Ou peut s'en assurer en faisant, dans la formule ci-dessus, n successivement égal à 1000 et à 1001; on trouve pour la durée d'oscillation 0,998 014 et 0,998016.

12. PENDULE DE KATER. — U est tout différent de celui de Borda. C'est un pendule composé dont on détermine la longueur du pendule synchrone par la mesure de la distance entre Taxe de suspension et Taxe d'oscillation.

Pour cela, il est formé d'une règle plate métallique portant deux couteaux dont les arêtes parallèles sont placées en regard Tune do l'autre dans un plan K passant par le centre do gravité. L'un des couteaux étant à une distance de celui-ci notablement différente du rayon de giration, l'autre couteau a son arête placée dans la position qu'un calcul approché assigne à l'axe d'oscillation, l'arête du premier couteau étant prise comme axe de suspension.

Un curseur pesant, dont le centre de gravité peut se mouvoir dans le plan K, permet de faire un peu varier la position du centre de gravité de tout le pendule.

En plaçant convenablement ce curseur, on arrive à rendre parfaitement égales les durées d'oscillation du pendule autour de Tune ou de l'autre des arcHes des deux couteaux.

Quand ce résultat est obtenu, une des arêtes étant prise pour axe de suspension, l'autre occupe exactement la position de Taxe d'oscillation, et il suffit de mesurer la distance qui existe entre ces deux arêtes pour avoir la longueur I du pendule synchrone. La durée de l'oscillation t et l'amplitude étant aussi connues, on possède toutes les données nécessaires au calcul de g.

Les observations se font par la méthode des coïncidences.

13. YARIAnON DE L'INTENSITÉ DE LA PESANTEUR. — 1<> avec la uiTiTUDE. — Les mesures faites aux divers points du globe peuvent être résumées par la formula empirique suivante :

g = 980,605 6 (1 — 0,002 552 3 cos 2 X)

dans laquelle g représente, au niveau de la mer et à la latitude X, l'intensité de la pesanteur mesurée en prenant comme unité de longueur le centimètre et comme unité de temps la seconde (unités C.G.S.)

Pour X = 45*, on a cos 2 X = 0 ; ce qui montre que le facteur

lOO

i.ivHE H. — ciiAiTraE m

qui multiplie la parenthèse n*est autre que Tintensité de la pesanteur à la latitude de 45^.

On tire de cette formule :

Valeur de rinteosilé de la posontcur à l'cquateur (X = 0) 978,103 — —au pôle (X = 90o) 983,108

La valeur trouvée pour Paris est 980,9G

Il y a deux causes qui contribuent à rendre la pesanteur un peu plus grande quand on s'élève on latitude. La première est l'aplatissement du globe terrestre aux pôles. Un corps est moins distant du centre de la terre au pôle qu'à l'équateur et, conformément aux lois de l'attraction universelle, il doit être plus fortement attiré. En second lieu, la terre tournant autour de son axe, la force centrifuge (*) notable à l'équateur, diminue

quand la latitude augmente, et devient nulle au pôle. Or, à l'équateur, la force centrifuge est directement opposée à l'attraction terrestre, et le poids, résultante de ces deux forces, est égal à leur différence. A une autre latitude (flg. 28) la force centrifuge M/", toujours normale à l'axe de rotation, fait un certain angle /MO avec l'attraction terrestre MF; le poids MP, résultante de ces deux forces, n'est pas exactement dirigé vers le centre de la terre, mais sa valeur est plus grande que la dilTorence entre l'attrac-

FiG. iH.

(1) Quand un corps fait partie d'un système animé d'un moavement de

rotation autour d'un axe, l'équilibre relatif de ce corps par rapport aux

autres points du système en mouvement nécessite les mcnies relations entre

les forces qui agissent sur lui que si le système était en repos, à condition

m F* d'ajouter à celles-ci une force fictive égale à [m désignant la masse

lion MF et la force centrifuge, et d'autant plus voisine de MF que la latitude est plus élevée.

2** AVKC l'altitude. — Les expériences faites avec le pendule à diverses altitudes ne sont pas assez nombreuses pour permettre de trouver la loi suivant laquelle varie l'intensité de la pesanteur. Mais, ridentité de l'attraction universelle et de l'attraction terrestre nous fait voir que l'intensité de la pesanteur, qui est la force avec laquelle l'unité de masse est attirée vers le centre de la terre (si l'on néglige la force centrifuge très faible par rapport à l'attraction terrestre), doit varier en raison inverse du carré de la distance à ce centre. On a donc, en désignant par R le rayon terrestre par g^ et gf^ les intensités de la pesanteur à

Taltitude a et au niveau de la mer :

(la R-

?o iR

ou, en négligeant devant l'unité le carré de — :

9a = S'o (l - if ) = 9o (^ - 0»

(a étant exprimé en centimètres).

Il faut tenir compte de cette formule dans les observations faites pour déterminer la valeur de g aux diverses latitudes, et rAluire la valeur trouvée g^ à ce qu'elle serait g^ au niveau de la mer.

En réduisant en ime seule les deux formules qui donnent les variations avec l'altitude et avec la latitude, on a, en supprimant

do corps, t' sa vitesse, r sa distance à l'axe de rotation) dirigée normalement à l'axe de rotatioa et dans le sens qui écarterait le corps de cet axe. C'est à cette force fictive qu'on doone le nom de force centrifuge.

le produit tout à fait négligeable

0,000 000003 1 a X 0,002 552 3 cos 2 X

g = 980,6056 (1 — 0,002 552 3 cos 2 X — 31 X ^0 "" «)

ou encore :

g = 980,6056 — 2,5028 cos 2 X — 3 X 10 " * a.