ir

Or la troisième loi expérimentale nous apprend que, si des pendules oscillant en un même lieu ont même longueur {, la valeur de t est la même, quelle que soit la nature du corps qui constitue le pendule. Nous en concluons, d'après la foimule ci-dessus, que g est le même pour tous ces corps. Ainsi, en un même lieu, l'accélération g que prend un corps tombant en chute libre est la même, quelle que soit la nature de celui-ci. Nous arrivons ainsi à la même conclusion qu'en partant de l'expérience du tube de Newton.. Mais l'égalité de g pour tous les corps est bien mieux démontrée par l'emploi du pendule que par

celui du tube de Newton : car nous pouvons connaître la durée

I d*une oscillation à yt^tt de seconde près, et dès lors être cer-

tain que pour des pendules de substances différentes la durée

d'oscillation ne diffère pas de cette quantité; tandis que, dans

Texpérience de Newton, c'est à peine si nous pouvons répondre

i ^ de seconde près de l'égalité du temps employé par les

divers corps pour parcourir le tube.

S* La deuxième loi expérimentale nous apprend que la durée

d*oscillation d'un même pendule n*est pas la même dans les difîérents points du globe : nous en concluons que Tintensité de la pesanteur 9, qui varie en raison inverse du carré de la durée d'oscillation t, d'après la formule ci-dessus, est variable avec la latitude et avec l'altitude. La valeur de t diminuant quand on va de l'équateur au pôle , l'intensité de la pesanteur g augmente : un corps pèse un peu plus vers le pôle qu'à l'équateur ; t augmentant quand on s'élève en altitude, g diminue : un corps pèse un peu moins sur le sommet d'une haute montagne qu*au niveau de la mer. Ces variations de poids d'un même corps sont si faibles qu'elles n'auraient guère pu être décelées avec les dynamomètres à ressorts.

4"* Enfin la formule (1) montre immédiatement que les durées d'oscillation de pendules simples de longueurs différentes sont proportionnelles aux racines carrées des longueurs.

Ainsi, des quatre lois expérimentales trouvées pour le pendule, deux, la première et la dernière, peuvent être déduites des principes fondamentaux de la dynamique. La deuxième et la troisième, au contraire, ne peuvent pas être prévues par ces principes ; mais, en nous aidant de la formule du pendule, elles nous font connaître avec une grande précision comment la pesanteur varie avec la nature du corps et avec le point du globe où le pendule oscille.

7. PENDULE COMPOSÉ. - PENDULE SYNCHRONE. — Les lois de là mécanique donnent la formule suivante, pour la durée d'oscillation t d'un pendule composé,

quand les amplitudes sont infiniment petites. Si elles sont finies, il faut multi[)lier le second membre par la même série que dans le cas du pendule simple, et l'on a pour la formule la plus générale :

'=V?.['-(T)'-i+(;-:iy-f+(ëi)'-f+-

ou, pour abréger, en désignant par (1 -\- Â) la valeur de la série entre crochets :

Dans ces formules P représente le poids total du pendule, a la distance de son centre de gravité à l'axe de suspension, enfin I est ce qu'on appelle le moment dinertie. Voici comment cette dernière quantité est définie : divisons le pendule en une infinité de petites parties, et faisons le produit de la masse m de chacune d'elles par le carré de sa distance r à Taxe de suspension; c'est la somme de tous ces produits qui constitue le moment d'inertie ; on a donc l'égalité de définition :

mr^ (')

(1) La formule du pendule composé est aisée à obtenir quand on a résolu le problème du pendule simple. Nous pouvons considérer le pendule comme on système composé de différentes masses m à des distances inégales de Taxe. Appliquons à ce système le théorème des forces vives. Désignons comme ci>dessus par ot raogle d'écart et par 0 Tangle que fait à un moment quelconque / la perpendiculaire abaissée de U petite masse considérée M (Ûg. 23) sur l'axe 0 avec la position OE de cette droite quand le pendule est en équilibre. On a pour l'arc BB' décrit pendant le temps t :

BB' = r (o — 0)

a et 6 ayant la même valeur pour tous les points du pendule (« = VOA et e = VOA', OA, OA' étant la position extrôme et la position au temps / de la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur l'axe 0, et OV étant la verticale).

Par conséquent, la vitesse du point M au temps t •st — r^\ en représentant toujours par 0' la dérivée de 0 par rapport au temps; sa force vive est

•rH", et la force vive totale de tout le système est 2^»jr*6'* = h'*Admr* = e M poisque 0'* est an facteur commun à tous les ermes de cette somme.

FiG. S3.

Si M représente la masse totale do pendule, on a P = M9; en

M ^1 de,i... \/^.

remplaçant, la quantité \/ —^ devient \/ — - — . On voit

par là qu*un pendule simple qui aurait une longueur égale à rr-

D*aatre part, la somme des travaux des forces intérieures qui agisseDt entre les divers points du système est nulle, puisque le système ne se déforme pas dans son mouvement (voir Livre I , Chap. I, | 6) ; le travail de la résistance de Taxe est nul aussi , puisque le point d'application de cette force étant sur Taxe ne se déplace pas ; il ne reste à évaluer que les travaux de la pesanteur. La somme de ceux-ci est égale au travail de la résultante des actions de la pesanteur sur tout le corps, c'est-à-dire au travail du poids P du pendule, appliqué au centre de gravité, qui décrit l'arc AA' pendant le temps /. Si a désigne la longueur OA, on a pour ce travail :

Pii(co8 6 — cos a) = 2Pfl ( sin* — — sin* — j La force vive initiale étant nulle, le théorème des forces vives donne

6'«I = 4Pfl( sin*Y — 8in«|-)

d'où •

2 1/ sin*— - — sin*-- V 2 2

équation qui ne diffère de celle relative au pendule simple qu'en ce qn^

g Pu

la constante -r- est remplacée par la constante --. En faisant le mêtac

changement dans la formule du | 5, qui donne la durée d'oscillation du pendule simple, on obtient évidemment la formule donnant b durée d'oscillation du pendule composé.

Celle-ci est donc :

aurait partout la môme durée d'oscillation que le pendule composé. On appelle ce pendule simple, le pendule synchrone du pendule composé.

Quand le pendule est homogène et a une forme géométrique

simple, le calcul de la longueur -r- du pendule synchrone est une

question de géométrie.

Ce calcul est facilité du reste par le théorème suivant : Le moment d inertie I d'un pendule par rapport à un axe est égal à son moment (f inertie J par rapport à un axe parallèle au précédent et passant par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse du pendule M par le carré c^ de la distance des deux axes (*).

I = J + Ma2

(1) Soient (ûg. 24) m la masse d'un point A du pendule, r sa distance AO au premier axe 0, R sa distance AU au second axe parallèle passant par le centre de gravité G, a la distance OU, et, enfin, h la distance AH de A à un plan K passant par G perpendiculairement à la plus courte distance OU des deux axes. On a dans le triangle AOU :

r« = R* -H a« — 2fl*

d*oii, en multipliant par m les deux membres :

mr* = mB* -H «w* — ^amh

et en faisant la somme pour tous les points du pendule :

FiG. 2i

2]i}ir' = 2]mR* + a*2dm — 2aJd

Posons J = MK* (la quantité K ainsi définie se nomme le rayon de giration (*)) ; Téqualion précédente devient :

I = M (K* + a*) et la longueur l du pendule synchrone est donnée par

Le calcul de la longueur du pendule synchrone est ainsi ramené à celui du rayon de giration K. La formule du pendule composé devient alors :

En désignant par g Tintensiié de la pesanteur, g^mh ou iàMgh représente la somme des moments des actions de la pesanteur par rapport an plan K; or cette somme est égale au moment de la résultante (poids da corps) par rapport à ce plan. Mais le centre de gravité étant situé dans le

plan, ce moment est nul ; on a donc giàtnh = 0, d*oii iimh = 0. L'équation ci-dessus se réduit ainsi à :

I a J 4- Ma*

(1) Si une masse M était répandue en couche mince sur une surface cylindrique de rayon R, on aurait pour le moment d'inertie J de cette masse par rapport à l'axe du cylindre :