LIVRE III

HYDROSTATIQUE — PNEUMATIQUE HYDRODYNAMIQUE

CHAPITRï; PREMIER

1. TROIS ÉTATS PHYSIQUES DE LA MATIÈRE. — Si un corps conserve de lui-même sa forme, malgré les actions de la pesanteur qui tendent à la modifier, si sa déformation ne peut être produite que par un effort notable, le corps est dit solide. Si les diverses particules d*un corps peuvent glisser les unes ^ur les autres avec la plus grande facilité, de façon à obéir aux moindres forces qui tendent a produire ce glissement, si, par ^^» le corps n'a pas de forme propre, mais prend celle du vase Vu le renferme, le corps est dit fluide.

Un liquide est un fluide très peu compressible^ possédant ^6 densité comparable à celle des solides ; quand un liquide ^^ placé en petite quantité dans un vase, il occupe le fond de ^hii-ci, et se termine par une surface libre.

Un gaz est un fluide léger, très compressible, doué dexpan-

^^ilité^ c'est-à-dire tendant toiyours à occuper un volume plus

P^od que celui qu'il occupe; si petite que soit la quantité

^ ^ gaz introduite dans un vase clos, il remplit tout l'espace

^ lui est offert, et ne présente pas de surface libre.

f^ourvu qu'on ne change pas le volume d'un fluide, on peut le

déformer sans effort sensible ; il n'en n'est pas de même d'un corps solide. En d'autres termes, dans une déformation, les forces intérieures d'un solide accomplissent un certain travail; au contraire, dans une déformation sans changement de ▼clame, les forces intérieures d'un Ouide n'accomplissent qtfan travail extrêmement faible.

Nous appellerons ûuide parfait un fluide dans lequel ce travail serait nul. C'est un état idéal, mais dont les liquides mobiles oomme l'eau, l'alcool, l'éther et tous les gaz, se reprochent assez pour que les théorèmes que nous étabUrons pour un fluide parfait leur soient applicables.

Les liquides visqueux, les corps pâteux s'éloignent plus de cet état, et forment la transition entre les liquides et les soUdes.

V hydrostatique est l'élude des conditions d'équilibre des fluides.

2. PRESSION. — Quand on comprime un fluide, il diminue de volume ; si la compression cesse, il reprend son volume primitif : les fluides sont parfaitement élastiques.

Si une compression est exercée sur une partie d'une masse fluide, celle-ci non seulement fait effort pour repousser le corps qui exerce la compression, mais encore, en se détendant, comprime les parties voisines du fluide, qui compriment ^ à leur tour les suivantes, et la compression se trans-

\ met ain^ dans toute f étendue du âuide.

Le fluide comprimé, et en état d'équilibre, exerce des efforts contre les parois du vase qui le renferme et sur la surface des corpe qui y sont plongés, len- ^ limt à repousser cellesniri |>our augmenter de volume. ' Ces forces exercées par les fluides sur les surfaces

qu'ils baiguent s'appellent des pressions. Nous ^>ouvotts aussi concevoir l'existence de prea- M siens à riutérîeur même du fluide comprime. Sup-

posons qu*une surface idéale MN soit menée à Tin* térieur de celui-ci. et le divise en deux parties A el B vfig. 3T), la ^¥>riion A exerce une pressiom sur la snr> face MN de la ^¥>rtioa B« et, r^nproquement , la portiott ft exerce une /iir0i&$i.»ii sur la surface MN de la portion A.

C'est A Pascal (<) qu'est dû le priacipe de la transmission des pressions dans un fluide. Ce principe, qui sert de base à toute l'hydrostatique, sera surabondamment démontré par toutes les expériences rapportées dans ce chapitre.

Dans les circonstances ordinaires, un fluide exerce toujours des pressions, ne fût-ce que parce que las couches supérieures, pesant sur les couches iarérieures, les comprimeni. Les gaz, du reste, même si on pouvait les soustraire à l'action de la pesanteur, exerceraient encore des pressions, en vertu de leur expansibilité.

L'expérience suivante met en évidence l'existence des pressions exercées par les liquides :

Un tube T (flg. S8 et 39), i parois épaisses, se termine à sa partie inférieure par une section parfaitement plane.

Un disque plan 0, d'un diamètre un peu supérieur à celui du *"t>e, permet de fermer son orifice inférieur. Cet obturateur C P«m être maintenu contre l'orifice par un fil fixé en son milieu, et

11) BUiie Paacal, né à aermom-Ferrand le 19 juin 10!9, mort k ?»t\» ^ 19 MOt leas.

140 LIVRE m. — CHAPITRE PREMIER

qui traverse le tube. Si, Tappareil étant dans Tair, on lâche ce fil, l'obturateur, également pressé sur ses deux faces, tombe en vertu de son poids. Mais, si après Tavoir appliqué contre l'orifice du tube, de façon à fermer celui-ci, on plonge Tappareil dans un liquide, on peut lâcher le fil, et l'obturateur C ne tombera pas : une force le maintiendra appliqué contre l'orifice du tube ; celte force, c'est la pressioD exercée par le liquide sur la face inférieure de l'obturateur.

Quelques expériences, rapportées au commencement du chapitre consacré a l'étude spéciale des gaz, mettront en évidence les pressions exercées par ceux-ci.

3. PRESSION PAR ïïNIT£ DE SURFACE. — Une pression est une force ; elle se mesure donc avec Tunité de force adoptée (avec la dyne dans le système C.G.S.). Sa valeur augmente ou diminue suivant que Taire de la surface pressée augmente ou diminue, et elle se réduit à zéro, si cette aire devient nulle.

On dit qu'une surface plane est uaiformémeat pressée quand toutes ses parties d'aires égales supportent des pressions égales en grandeur et en direction ^nous allons démontrer, du reste, que, dans Tétat d'équilibre ces pressions sont normales à la surface presst^, et, par conséquent, toujours de même direction pour un plan ; mais nous ne le supposons pas a priori}.

Dans ce cas, si p est la pression par unité de surface, une portion de plan qui renferme S unités ic*est-è-dire d'aire S) supporte une pression totale P égale à pS :

nous lirons do la :

Ainsi, il existe un rapport oonsUnt eotre la pression et l'aire tîo la <urfac** pro^^^, quand mémo. Taire de la surface tendant

vers zëro, les deux termes du rapport seraient inflniment petits, et ce rapport constant p est la pression par unité de surface. Quand une surface n'est pas uniformément pressée, le rapport

— de la pression totale exercée sur une partie de la surface à

Faire S de cette partie ne reste pas constant, en gpénéral, lorsque

P S varie ; dans ce cas nous appellerons le rapport — la pression

moyenne par unité de surface.

Considérons un point A (flg. 40), sur une surface plane ou courbe, et décrivons autour de A, sur cette surface, un contour fermé contenant le point A. On démontre que si Taire de la surface ainsi limitée et son périmètre (^] tendent vers zéro en contenant toujours le point A, la

pression moyenne ~ de cette

surface infiniment petite tend vers une valeur limite, partûtement déterminée, dépendant de la position du point A; mais nullement de la forme du périmètre, ou de la manière dont il tend vers zéro.

Cette valeur limite de la pression moyenne par unité de sur-

p face — , s'appelle la pression par unité de surface au point A.

Si nous désignons par p sa valeur on a :

FiG. 40

P = lim- -g

(1) Qoaod U pression par unité de surface n*e8t pas une fonction linéaire

p dei longueurs prises sur les droites menées dans le fluide, la limite de —

quand S et P tendent vers zéro dépend de la valeur limité du périmètre,

Si l'aire S de la surface décrite autour de A est très petite, et si F représente la très petite pression totale supportée par elle,

F le rapport — diffère très peu de la limite p, et en écrivant

ou

(4) P = pS

on ne commet qu'un erreur relative très faible, qui deviendra tout à fait nulle, si Ton fait tendre la surface S vers zéro à It fin du problème; une pareille surface est appelée ud élément de surlace.

4. THÉORÈME FONDAMEHTAL. ^ En nous appuyant sur la définition d'un fluide, nous allons démontrer que, dans l'état d'équilibre, les pressions sont normales aux surfaces pressées, et, en outre, nous allons trouver une relation fondamentale entre les pressions par unité de surface en deux points du fluide.

Pour cela, dans une masse fluide en équilibre, limitons un certain volume (ilg. 41). Les diverses particules de cette portion ainsi limitée sont soumises à des forces, les unes intérieures, les autres extérieures. Ces dernières se divisent en deux groupes: — 1* les actions de la pesanteur; — 2? les pressions que le fluide ambiant exerce sur la surface de la portion de fluide considérée.

Prenons deux points A et A', sur cette surface ; et décrivons autour do chacun d'eux un élément de surface ; soient s et /

mj^me ni A rf9tf toujours le centre do gravité de Ttlre inflDiment pelitt. (Vest pour cela que dans uue dèflnitioii précise de la preasioD par unité de aur^H'e en un point, il faut dire que non seulement l'aire, mais encore le l>érimètre de la «urf^ce tendent vers zéro.

les aires de ces éléments, et p et p' les pressions 4)ar unité de •Qiiace en A et en A'. La pression totale A F exercée par le fluide ambiant sur Télément A a pour valeur psy et la pression A' F' exercée sur l'élément A' a pour valeur p^sf; soient a et «' les angles que font ces deux forces avec les normales AN et A'N' aux éléments. Enfonçons maintenant, d'une très petite quantité et parallèlement à lui même, l'élément A dans une direction AB, comprise dans le plan FAN, et faisant avec

la normale AN un angle arbitraire cp. Pour ne pas changer le volume du fluide, retirons en même temps, parallèlement à lui même, l'élément A' dans une direction A'B' située dans le plan F'A'N', et faisant avec le prolongement A'N'j de la normale un angle arbitraire cp', de façon que le volume v du cylindre A'B' dont augmente la portion de fluide considérée, soit égal au volume du cylindre AB dont elle diminue. Si I et ( sont les longueurs AB et A'B' des axes de ces cylindres, on a la relation géométrique :

FiG. 41.

V = sJcos<p = s'J'coscp'.

Comme le fluide est en équilibre sous l'action des forces qui agissent sur lui, la somme algébrique des travaux de toutes ces forces^ pendant cette déformation, est nulle {*]. C'est ce

i\) Quand un système de points est en équilibre sous l'action de toutes les forces qui les sollicitent à se mouvoir, la résultante des forces agissant sur chaque point en particulier est nulle. Par conséquent la somme algébrique des travaux de ces forces, qui est égale au travail de la résultante LîTre I, Chap. 1, { 8), est nulle aussi: la somme algébrique des travaux de toutes les forces qui agissent sur le système est donc nulle.

théorème dç mécanique qui va nous permettre de trouver une relation entre les pressions.

Evaluons les travaux des diverses forces auxquelles le fluide est soumis.

i"" Les pressions agissant sur les surfaces élémentaires A et A' sont les seules qui accomplissent un travail, puisque ce sont les seules dont les points d*application se déplacent. Sur Télément A la pression a pour valeur ps ; son point d'application parcourant une longueur l dans une direction AB faisant un angle (cp -j- «) ^^^^ celle de la force, le travail est égal à -|"P*'^s(<p + «)• Sur l'élément A', la pression a pour valeur pV ; elle fait l'angle ['c— (^'+«')1 avec la direction A'B' du déplacement, le travail est égal à

pYf cos[ic — ((p' + «')] = — pVr COS(cp' -f a')

2^ Les actions de la pesanteur sur les diverses particules do fluide qui se déplacent accomplissent un travail. On démontre que la somme algébrique des travaux des actions de la pesanteur est égale au travail effectué par le poids du volume r du fluide primitivement contenu dans AB, tombant du niveau A au niveau A' ; par conséquent, si h est la distance verticale de A à A', et d le poids spécifique absolu du fluide (poids do l'unité de volume), le travail de la pesanteur sur tout le fluide en mouvement est égal à vdh (*) .

(1; Pour démontrer ce théorème, évaluons le IraTail accompli pendant la déformation, par le poids d'une petite masse M (flg. 42) de la portion de fluide considérée.

Soit 3| la distance initiale de cette masse à un certain plan hortiootal HH', soit ;, sa dislance au même plan à la fin de la déformation ; si p est le poids de cette petite masse, le travail accompli par ce poids est p (zg — sj, et le travail W des actions de la pesanteur sur tout le système peut Are exprimé par :

(I) \V = Sp(5. - i,> = Sp«, - l]pr.

2àP9i représente la somme des produits des poids des dÎTerses

S"" Enfin, appelons w le travail des forces intérieures du fluide augmenté du travail des frottements dus au glissement des parties latérales des cylindres AB et A'B' ; on a Téquation :

(6) psIC0S(<p + a) — pVf COS(<p' + a') + wfA + w = 0

Mais, si nous avons affaire à un ûaide parfait, puisque son

|Mir leur distance à HH' afant la déformation ; et iàpz^ représente la quantité analogue après la déformation. Or, faisons deux parties de iipzi : 1* une partie correspondant aux particules enfermées dans le cylindre très petit