FIG
^^i^fr| dont doit diminuer la masse considérée ; si P est le poids [de ce
^yUadre, et A| sa distance à HH', cette partie de la somme est égale à PA| ;
^ <iae partie correspondant au reste, c'est-à-dire aux particules renfermées
^^^^ le volume biaieka\A!a'deab, et que nous désignerons simplement par M ;
^ ''^^n qu'on ait identiquement :
2]pst = PAi -f M
^%iiioQ8 de même pour ^.>*i. et partageons celte somme endeuc parties
volume ne change pas dans la déformation que nous lui faisons subir, le travail w est nul ; Téquation se réduit à :
(7) psi COS {(p + a) — p's'i'cos((p' + a') + vdh = 0
remplaçons si et s'I' par leurs valeurs et r, tirées
^ ^ cos<p COS<p
de l'égalité (5), on a:
C0S((p + a) , cos(9'4-a') , .. ^
(8) pv ■^-^ pv — -^ h vdh = 0
C0S(p COS(p
Supprimant le facteur commun v qui n'est pas nul, développant cos((p -|- >) ^l cos(<p' -^ a'), enfin effectuant les divisions indiquées, il vient :
(9) p COS a — p tangçp sin « — p'cos a' + p'tangç' sin «' -f" W=0.
1* une partie correspondant aux particules renfermées dans le volume b^a^eka'^A'a'dcab dont il vient d'être question; cette partie a déjà été désignée par M ; 2* une partie correspondant aux particules enfermées dans le cylindre très petit a'a'^b'b\ dont a augmenté la masse considérée ; ce cylindre a aussi pour poids P et si A, est sa distance à HH', la partie de la somae qui le concerne a pour valeur PA^. On a donc identiquement :
(8) Spz, = M + PA,
En retranchant membre à membre (8) de (â) il vient
Jjp^t — 2pr, = P(Ai — h^
d*où, en vertu de (1) :
W = P(A, - AJ C. Q. F. D.
Cette égalité doit subsister quelles que soient les valeurs de tang^ et de tangcp'; puisque, les déplacements des éléments A et A', pouvant être faits suivant des directions quelconques, 7 et 9 sont arbitraires. Or, pour qu'il en soit ainsi, il faut que les facteurs psina et p'sina' de tangcp et de tang^' soient nuls ; cooune ni p ni p' ne sont nuls, il faut avoir :
sina = 0 sina'= 0 d'où : a = 0 a'= 0
Les pressions exercées par un fluide en équilibre sont normales aux surfaces pressées.
En faisant dans l'équation (5) a = 0 a = 0, elle se réduit à :
ou
C'est la relation fondamentale de l'hydrostatique. Elle montre
que la pression par unité de surface, dans un fluide pesant, croit
avec la profondeur, puisque p' est plus grand que p, et, en outre,
'|ue Ja différence (p' — p) des pressions par unité de surface
^o deux points d'un fluide^ en équilibre^ est égale au poids dun
cylindre droit du fluide ayant pour base l'unité de surface et
Pour^ hauteur la distance verticale h des deux points considérés ;
^^ effet h étant numériquement égal au volume d'un pareil
cylindre, hd est son poids {*).
(1) Cette démonstration ne suppose pas Texistence de liaisons cotre les f^^^îcules du fluide ; eUe s'appuie directement sur la déflnition d*un fluide ^'•'^^l, et montre, par là, que, plus le corps 8*écarte de cet état, moins le ^^^rème précédent lui est applicable ; il n*e8t nullement applicable, en par- ^ulîer, aux corps solides.
^ admettant que les pressions sont normales aux surfaces pressées, on ^ui démontrer d'une façon fort simple la relation qui existe entre les
Si nous multiplions par l'aire s d'un élément de surface, les deux membres de la relation (10), elle devient ;
(11) p's—ps= shd
Or ps et })'s représentent les pressions totales sur des éléments
pnssioDS par classique.
Soient A et
liiô de surface. Voici celle dimonstralio
qui est devenne
A' (flg. t3| deux points d'un Huids eu iquilibra ; faisons pasMr deux plans de direelion quelconque p.ir ce» poiols. SoienI p et p' 1m pressions par unil6 de surface eo A el en A' relatives à la direction de ces plans (pour ne pas supposer * priori que ces valeurs sont iadépenil.inies de la direction de la surikce presscHJ. DécrivoDs autour de A, el sur le plnu passant par ce point, na i'Iémenl de surface MN d'aire t, «t circonscrivons s cet élément un c}lindre ayant ses pénéralrices paralii'ius à AA' ; il découpe sur le pbn passant par A' un élément M'N', d'aire a', qui sera la seconde tMse df ce cylindre. Si le Duide est en équililjre, nous pouvons écrire que la somme algébrique des proj celions sur un exe quelconque de loui»s 1e« Turcea qui agissent sur les différante* parties de ce cylindre est nulle. Fai> de Taxe AA' du cyliadre. La* força* QQ'Q', etc., sur la surfiice latérale perpcndiculairrt i cet axe (e'eti
soDS cboix, comme axe de pn
agissantes soni : — 1° les |
du cylindre qui, i-lanl normales à cetl« surUlci
l'axe AA', el. par conséquent, ont une projet
>s fait chuix Jo l'Jie W Je préfén; — i* les pn'ssions sur les bases du cylindre ; la pression sur la base A e^t pi : soit I l'angle que tiJI sa direction AN" avec A.^'~ sa pr^rclion sur fet axe est picosi ; la pression sur la base A' est p'i' : soit i' l'angle qoe fait sa diri-ciloQ A'V" avec la direction AA' ; sa proj^clian est p't'cost' (i' étant olilu s, cette projection est négative); — 3" les actions de la pesanteur, dont la somme des projections sur l'aie est égale à la projeclioa di poids 1' du cylindre leur résultante; si » est l'angle que fait la verticale
de même aire s placés Tun en A Tautre en A', et shd représente le poids d'un cylindre droit ayant s pour base et h pour hauteur ; la relation (11) s'énonce ainsi :
La différence des pressions supportées par deux éléments
avec AA'y cette projection est Pcos (■> ; — 4* les forces intérieures agissant entre les différentes parties comprises dans le cylindre ; mais ces forces sont deux à deux ëgaJes et directement opposées « or, la projection sur un axe quelconque de deux forcée égales et directement opposées (flg. 44), sont égales, en valeur absolue, et de signes contraires ; la somme algébrique des projections de toutes les forces intérieures est donc nulle.
Par conséquent, en égalant à zéro la somme algébrique des projections de toutes les forces agissant sur le cylindre on a :
Fie. li.
pi C08 a + pVcosa' + Pcosw = 0
Or, en désignant par / la longueur A' et par a la section droite du cylindre, son volume est 9/ ; et, si d est le poids spécifique absolu du fluide, on a :
P = 9ld
D'autre pari, a étant Tanglc aigu que forme la normale à la base A avec Taxe du cylindre AA' (normale au plau de la section droite), on a :
ICOSQC = 7
et, a! étant Tangle obtus que forme la normale à la base A' avec Taxe AA , on a :
«'cos a' = — 9
d'où, en remplaçant «coss, «'cosa' et P par leurs valeurs dans l'équation (1), cl!e devient:
fo)
p9 — j>*a -{- aldcoBtû ^ 0
et, eo divisant les deux membres par 9, qui n'est pas nul:
P — P* + dlcoBtû = 0
df surface égaux entre eux, placés dans un même fluide en vifuilibi'e, est èijale au poids d'un cylindre droit du fluide ayant pour base Taire commune aux deux éléments et pour tiautear la dislance verticale qui les sépare.
Nous niions déduire des conséquences importaDtes de celte roi Ht ion fondamentale.
S. l" COHSfiQVEHCE. — La valeur de la pression supportée par an élément de surface est indépendante de sa direction.
Si l'élémeat placé en A' tourne autour de l'ua de ses pointe. In dîreclion de la pression qu'il supporte, étant toujours nc»-mnlo i\ la surface d(? l'élément, change avec la direction de Ct'Iui-ci ; mais, si l'élément ne varie pas de grandeur, la pression ooii«'r\e la même valeur; car cette valeur p'ï est, d'après rt-ilualiou (II), donnée par la relation
p's ^= ps + shd
et lo sixN>nd membre de cette égalité est indépendant de la direction do l'élément A'.
i. t* COMSfiQDBllCB. — Deax éléments de surface égaux entre rat. fdar^s sur an méate plan boriionttl dans ua même ûaide ft> é'fuilihre, supportent la même pression.
Kn efTou la disiamv verticale k de ces élémenls étant nulle, Iji û>nuult> (ll> devient :
fs. — (B=ù ou rJ = F« 'P=P'
AH = AA .-.w»
Ceci est vrai, du reste, même quand Télément n*est pas horizon- Ul (fig. 45).
FiG. 45.
La pression par unité de surface ayant la même valeur p dans toute l'étendue d'un plan horizontal situé dans un fluide en équilibre, la pression y est uniforme. Si donc on appelle P, P, P" les pressions totales supportées par des aires quelconques S, S', S" placées sur ce plan, on a :
Les pressions sont proportionnelles aux aires des surfaces pressées.
7. 3« CONSÉQUENCE. — Deux éléments de surface égaux entre eux qui supportent exactement la même pression dans un fluide pesant en équilibre sont placés sur un même plan horizontal.
Car, ayant :
p's = ps
l'équation (11) donne sAd=0 ; et comme ni s ni d ne sont nuls, il faut avoir A = 0.
8. 4* CONSÉQUENCE. - PRINCIPE DE PASCAL. -Pascal, dans son traité de /équilibre des liqueurs , a posé le principe suivant, qui a longtemps servi de base à toute l'hydrostatique.
c Si un vaisseau plein d'eau, clos de toutes parts, a deux Ouvertures dont l'une soit centuple de l'autre, en mettant à chacune un piston qui lui soit juste, un homme, poussant le petit piston, égalera la force de cent hommes qui pousseront celui qui
est cent fois plus large, et en surmontera quatre-vingt-dix-neuf. Quelque proportion qu'aient ces ouvertures, et quelque direction qu'aient les pistons, si les forces qu'on met sur ces pistons sont comme les ouvertures, elles seront en équilibre. »
Ce principe serait parfaitement exact si le fluide n'était pas soumis à l'action de la pesanteur.
En effet, dans ce cas, le poids de l'unité de volume d étant nul, la formule fondamentale (10] se réduirait à
p*— p=0 ou ?=?*
La pression étant uniforme dans le fluide, on*aurait, en appelant F, F', F"... les pressions exercées sur des aires planes quelconques S, S', S"
Les pressions seraieni proportionnelles aux surfaces pressées. En réalité, un fluide est toujours pesant, et le principe de Pascal n'est jamais applicable en toute rigueur, si ce n'est pour des aires planes placées sur le même plan horizontal, comme nous l'avons vu g 6. Des surfaces de même étendue placées sur des plans horizontaux différents supportent des pressions inégales, dont la différence est égale au poids d'un cylindre droit du fluide ayant pour base l'aire commune aux deux surfaces et pour hauteur la différence des niveaux (§ 4). Mais, si cette difTérence de pression est très faible par rapport aux pressions totales supportées par les surfaces, on peut la négliger, et appliquer sans grande erreur le principe de Pascal. C'est ce qui a lieu pour les gaz, à cause de leur faible densité ; c'est aussi ce qui a lieu dans une presse hydraulique en fonction, à cause des énormes pressions qui y sont développées.
9. PRESSE HYDRAULIQUE. — Conçu par Pascal, cet appareil est une application directe du principe qui porte son nom, et
PRESSIONS I fonetionnemeot en esl la démonstralion exiiérinieii
D se compose de deux corps de pompe, de diamètres très différeDls, fermés par des pistons, l'un large, l'autre de pelile surface. Les deux corps de pompe communiquent entre eux par un caoal, et tout l'appareil est plein d'eau.
Supposons que le large pislon ait une surface 1000 Fois plus grande que celle du petit. Si nous poussons celui-ci avec une force de I kilogramme, cette pression se transmettra dans tout le liquide, et, quand l'équilibre aura lieu, l'eau pressant avec une foroe de 1 kilogramme le petit piston, pressera le large piston ■vpc une force de 1000 kilogrammes, en vertu du principe de Pascal, n aura donc fallu pousser ceiui-ci avec une force de 1000 kilogrammes pour produire l'équilibre ; et, si la force qui leod à enfoncer le large piston est moindre, il obéira à la pression de l'eau et s'élèvera.
Ainsi, la presse hydraulique donne le moyen de vaincre une force considérable, avec une force faible. Pendant longtemps cet appareil, qui aujourd'hui rend tant de ^-services â l'industrie, esl resté à Tétat de conception théorique. ^MJd obt^tacle s'opposait à sa réalisation pratique : sous les fortes ^KressiOQS l'eau fuyait entre la paroi du corps de pompe et celle ^Bn pislon; si, pour éviter ces fuites, on faisait ce piston très ^^hete, le fi'oLtemont considérable qui en résultait empêchait ^Kkppareil de fonctionner. Pur un artifice, que nous allons indiquer ^ Bramali {') est parvenu à remé<iier complètement à cet inconvénient. Voici la description de la presse hydraulique, toile qu'elle est construite aujourd'hui [ùg. 46).
Dans le large corps de pompe se trouve un pistou plongeur P (pji ne touche pas les parois de celui-ci. Il porte à sa partie supérieure une plate-forme A, vis-à-vis de laquelle se trouve un plateau B lixé au socle de l'appareil par quatre fortes colonnes it fer ce. C'est entre ces deux plateaux qu'est placé l'objet à comprimer.
La partie supérieure du corps de pompe présente une rigole
ilj Joteph Bramab, mécBnici
circulaire dans laquelle est logé un cuir embouti EE' rormaot , donl la section (flg. Al) esl un U renversé. Ce
cuir souple et bien graisse appuie d'une part contre le piston, de l'autre contre la partie latérale et la partie supi^rleure de la rigole.
Quand la pression de l'eau devient forte, ce cuir est écrasé par elle, et, «'appliquant rortemenl contre le piston et contre les parois de la rigole, il ferme la partie supérieure du corps de pompe, d'autant plus complètement que la pression est plus forte, et, par conséquent, que l'eau a plus de tendance à fuir. Pourtant, grâce à sa souplesse, ce cuir n'apporte aucun obstacle au mouvement du piston.
Le petit corps de pompe conlient aussi un piston plongeur p; celui-oi étant de petit diamètre, et les fuites ayant moins d'im-
portance dans ce corps de pompe, l'artifice du cuii' embouti est inutile; ce piston traverse simplement une boîte à cuir, qui clôt d*une façon suffisante le petit corps de pompe à sa partie supérieure.
L*eflbrt exercé par la main de l'opérateur est transmis à la tête du petit piston par Tintermédiaire d'un levier LO dont Taxe de rotation 0 est très près de la tête de ce piston. Il en résulte que cet effort est déjà multiplié par le rapport du grand bras de levier au petit.
Quand le petit piston s'abaisse, il refoule un certain volume d*eau dans le grand corps de pompe, et le gros piston se soulève de façon à faire place à l'eau introduite. D'après cela, la quantité dont s'élève le gros piston est à celle dont s'est abaissé le petit, en raison inverse des sections des deux pistons*. Comme le gros piston ne s'élève ainsi que d'une quantité très faible, il fimt pouvoir injecter une nouvelle quantité d'eau dans le grand corps de pompe. Pour cela, il est nécessaire qu'une soupape S ae trouve sur le canal de communication, permettant le passage de l'eau dans le grand coi*ps de pompe, mais ne permettant pas le retour de cette eau quand on soulève le petit piston. Une seconde soupape, placée à la base du petit corps de pompe, y laisse pénétrer l'eau d'un réservoir quand on relève le petit piston, mais empêche le retour de l'eau dans le réservoir quand on abaisse ce piston. Gomme on le voit, cette partie de Tappareil est une pompe foulante.
Enfin, à l'aide d'un robinet à vis R on peut donner une issue â Teau comprimée dans le grand corps de pompe, ce qui permet de faire cesser la pression, quand on veut retirer les objets placés entre les plateaux.
La presse hydraulique est employée toutes les fois qu^n a besoin de faire agir une grande force, à condition que le point d'application de cette force ait peu à se déplacer.
En effet, le travail fourni par la pression de l'eau sur le gros piston n'est pas plus grand que celui qui est fourni par la main de l'opérateur ; il est même moindre à cause des frottements. Soient S et S' les sections du gros et du petit piston, soit H la hauteur dont le premier s*élève quand le second s'abaisse de H';
si V est le volume de Teau qui passe alors d'un corps de pompe dans Tautre, on a :
r = SH = S'H'
Soit j> la pression par unité de surface dans Tappareil; pS est la pression totale sur la base du gros piston, et j>SH le travail qu'elle accomplit ; on a donc :
W = pSH = pv
le travail négatif W accompli par la pression pS' de Teau sur la base du petit piston qui s*abaisse est — pS'H'; d'où:
on a donc :
Or, la main de l'opérateur doit accomplir ce travail W, et, en outre, le travail dû aux frottements.
On ne gagne donc rien en travail en se servant comme intermédiaire de la presse hydraulique : il en est de cet appareil comme de toutes les autres machines.
10. 5* CONSÉQUENCE. — La surface de séparation dun liquide et d*'UD autre fluide (liquide ou gaz) est un plan horizontal dans fétat déquilibre.
(1) Faisons remarquer que le petit calcul que nous venons de faire n'est qu*une vérification ; puisque, pour établir la relation fondamentale entre les pressions, nous nous sommes précisément appuyés sur ce que la somme algébrique des travaux des forces dans un petit déplacement des particules d'un fluide en équilibre cAt nulle, ce qui donne immédiatement, puisqu'on néglige ici les actions de la pesanteur, W 4- W = 0, d'où : W = — W.
FiG. 48.
Soit EE (flg. 48) la surface de séparation ; menons dans le bquide inférieur un plan horizontal XY, et dans le fluide supérieur un autre plan horizontal UV ; appelons h la distance de ces deux plans. Considérons sur XY un élément de sur- £ice Â, et, dans la verticale passant par Â, un élément B, sur la surface de séparation EE\ et un élément C sur UV. Considérons en un second point quelconque de XY un autre élément de surface Aj, et, dans la verticale passant par A^ un élément B, sur la surface de séparation EE', et un élément C^ sur UV. Prenons ces six éléments A, B, C, A|, B|, C|, de même aire s. Les éléments égaux C et C|, placés sur un même plan horizontal dans un même fluide, supportent une même pression P. L'élément B, placé à une distance verticale z au-dessous, supporte une pression qui est égale à P -{- S2d, en appelant d le poids spécifique absolu du fluide supérieur ; l'élément A, placé à une distance verticale {h — z) au-dessous de B, supporte une pression égale à la précédente augmentée de s{h—z)d'f en appelant d' le poids spéciflque absolu du liquide inférieur; c'est-à-dire:
P-\-szd + s{h—z)d'
Pour les mêmes raisons, en désignant par z^ la distance verticale CiB|, rélément A| supporte la pression
P +szid + s(h — zi)d'
Comme les éléments A et A| sont placés sur un même plan HonzoQtal dans un même liquide en équilibre, ils supportent la même pression ; d'où Tégalité :
p ^ 53d + s(/i - z)d' =F + szid + 8{h — zi)d '
qui après réduction devient :
z{d — d')= Zi{d—d')
Si les densités des deux fluides sont différentes, (d — d) n'est pas nul, et, en supprimant ce facteur commun, il vient :
Tous les points de la surface de séparation EE' sont placés à une même distance verticale au-dessous du plan horizontal UV; par conséquent, la surface de séparation EE' est un plan horizontal (*).
La surface libre d*un liquide est la surface de séparation entre ce liquide et Tair (ou un autre gaz). La surface libre (Tua liquide est un plan horizontal dans r état d'équilibre.
Au point de vue expérimental, le fait est facile à vérifier. La surface d'un Hquide réfléchit la lumière en donnant des images virtuelles symétriques des objets : c'est donc un plan. Si Tondispose un fil à plomb au-dessus du liquide (fig. 49) on voit l'image du fil exactement dans le prolongement du fil lui-même ; la direction du fil à plomb, c'est-à-dire la verticale est donc perpendiculaire à la surface plane réfléchissante : celle-ci est hchrizontale.
(1) Si Ton n d — d' = 0, c'est-à-dire si les poids spéciflques absolus et, par conséquent, les densités sont les mêmes, régalité ci-dessus peut être satisfaite sans avoir z = 2|. Les phénomènes hydrostatiques laissent alors la surface indéterminée. Mais les liquides sont soumis à des forces intérieures qui, à la surface de séparation de deux fluides, produisent les phénomènes dits de capillarité. Ces forces capillaires sont très faibles, et leur effet est généralement négligeable vis-à-vis des pressions. Pourtant, si Ton a d = <f , les pressions hydrostatiques s'équilibrant, quelle que soit la surface de séparation, les forces capillaires règlent la forme de cette surface. Dans le cas, par exemple, d'une goutte d'un liquide en suspension au milieu d'un autre liquide qui ne le dissout pas et qui a même densité que lui, la forme de la goutte est une sphère. On peut réaliser l'expérience avec une goutte d'huile dans un mélange en proportion convenable d'eau et d'alcool.
d, dans un flacon, on met des liquides, sans actions chiou dissolvantes les uns sur les autres, tels que du
3, de l'eau et de l'huile,
uides se superposent par le densité, le plus dense Il fond, et l'on peut consae les surfaces de séparant bien des plans hori-
liveau à bulle d'air est iplication de l'horizontala surface libre d'un . Cet instrument sert à un plan horizontal, un axe , ou, encore, à mesurer lies variations de l'anglo lit une direction avec >n. Il se compose d'un lube !« très k'gèrement courbé iO ), fermé à ses deux contenant un liquide très (alcool ou éther) et uue 'air. Celle-ci occupe, dans 'équilibre, la partie supé- " ^i^^^^=« -- '
lu tube, et, la surface du f,c. 49,
étant un plan horizontal,
e qui joint les deux extrémités de la bulle est horîzonelle que soit la position de l'instrument.
ibe est placé dans une monture on laiton {ùg. 51), ie convexe tournée en haut('); cette mouture repose
coorbore du tub« est EénéralcmaDt trop laibla poor qa'on puUse
elle-même sur le support de l'instrument par une charnière horizontale, située à Tune des extrémités, et par une vis placée à
FlG. 5t.
Tautre extrémité ; cette disposition permet de faire varier un peu rinclinaison du tube par rapport au support, ce qui est utile pour le réglage.
Supposons que la bulle occupe dans le tube une position ak (flg. 52) ; la droite ab est horizontale. Inclinons maintenant le
FiG. 5i.
tube d*un angle a dans un plan vertical ; ab tournant du même angle fera cet angle a avec toute horizontale, et, par conséquent, avec la nouvelle position a'b' que prendra la bulle. Si la courbure de Tare aa'bb' est sensiblement uniforme, en appelant R le rayon du cercle dont aba'b' fait partie, on a :
lR =
arcfla' -\- ar.'6'>'
voir quel est le côlé convexe ou quel est le côte coocaTe. Mais, si le côté convexe est tourné en haut, la bulle pourra rester eu équilibre stable ~ao milieu du tube, ce qui est impossible si ce côlé est tourné en bas. Cette propriété permet de distinguer aisément la partie convexe de la partie concave.
et comme arcoa' = arcM\ puisque les cordes ab et a'b' sont é^c^les, on a :
aR = arcoa' = arc 66'.
'n voit que les longueurs dont §e déplaceront les extrémités d» la bulle pour de faibles inclinaisons, seront d'autant plus grsijndes que le rayon de courbure R sera plus considérable : les oi^^aux sensibles doivent avoir une courbure inappréciable à l'œil, uand on veut se servir de cet instrument pour mesurer de les variations de Tangle d*une direction avec Thorizon, il faut ipi.*' ml soit gradué. Si la courbure était parfaitement circulaire, il sofiBrait de tracer sur le tube des traits équidistants qui comprenent entre eux des arcs de cercle égaux : Tinclinaison serait i proportionnelle au nombre de divisions dont s'avancerait la iDulle. Mais il est difficile de trouver des tubes parfaitement circulaires; pour avoir un instrument précis, il convient alors de le graduer empiriquement. On se sert dans ce but d'une pla^ctchette mobile autour d'une charnière horizontale placée à Vune de ses extrémités, et dont Tautre extrémité peut être BOixlcvée de quantités très petites et connues à l'aide d'une vis lûicx-ométrique : la planchette 8*incline d'un angle proportionnel é la fraction de tour dont on tourne la tète de la vis. On plaocle niveau sur cette planchette perpendiculairement à la charlû&i'e; après avoir amené la bulle à peu près au milieu du tube, OD marque un trait à chacune de ses extrémités : ce seront les <^etix zéros. Puis, en agissant sur la vis de la planchette, on fait varier l'inchnaison du niveau de quantités égales, et Ton marque ^<iue fois par un trait le point où s'arrête l'extrémité de la bulle T^î 8e trouve du côté du déplacement. On obtient ainsi une graduation à partir de l'un des deux zéros. En retournant le niveau ^ut pour bout, et en répétant les mêmes opérations, on obtient ^^^ seconde graduation partant de Tautre zéro 0.
(1) Qoind on Tent se servir du niTOtu à bulle d'air pour rendre un plan ^^^^ntal, le nlToau doit être supporté par une petite planchette métallique ^^'^ttattani de U poser sur le plan (flg. M).
il. 6— CONSÉQUENCE. — La pression supportée par le fond plan et horizontal d'un vase est égale à la pression supportée
On doit commencer par régler rinBtrumeni de façon que la ligne de^ zéros AB (fig. 5S) soit parallèle au plan de base de la planchette XY. Poo^
Fie. 53.
cela, on place le niveau sur un plan à peu près horizontal; la bulle prend une certaine position CD, et, gônéralement, n'est pas entre les deox zéros: elle s*est avancée de n divisions du côté le plus élevé. Désignons par a l'angle que forme la base XY de la planchette avec l'horizon HH' ou li ligne CD, et par p l'angle que forme la ligne AB des deux zéros trec la base XY. Dans le cas de la figure &S, oii les deux angles sont comptes dans le même sens, on a, pour l'angle w que forme la ligne horizontale CD avec AB :
Cet angle m est mesuré par le nombre n de divisions dont s'est avancée la bulle.
Retournons le niveau bout pour bout. Dans ce cas l'inclinaison sur Tborizon HH' de la base^XY de la planchette conserve la mémo valeur absolue a, mais l'angle p (flg. 54) que fait AB avec XY, est compté en sens ia-
Fic. M.
verse, ce qui fait que Tangle m' que forme maintenant la nouTslle potitio» CD' de la buUe ave^ la ligne BA des zéros est donnée par
(m* étant du signe de (a — Ji) est negatii dans !• cas dt la figfun 5ii
1*HESSI0NS 168
par une surface de même étendue S que le fond^ placée sur la surface libre, augmentée du poids d'un cylindre droit du liquide, ayant pour base le fond du vase, et pour hauteur la distance verticale h du fond à la surface libre. C'est une conséquence immédiate de ce qui a été établi gg 4 et 6.
Si la pression est nulle à la surface libre, la pression sur le fond se réduit au poids Shd de ce cylindre. C'est la pression due au liquide. On voit qu'elle est indépendante de la quantité absolue
Si a est plus grand que p, et il est toujours facile de se mettre dans ce cas, la bulle s'est avancée du môme côte par rapport à Tobservateur, mais d'un nombre n' de divisions qui, mesurant l'angle u>', est moindre que précédemment ; on tire des deux égalités ci-dessus :
Cl) — Cl)'
L'angle ^ dont la ligne AU des zéros est inclinée sur la base XY de la
planchette est ainsi mesuré par — - — divisions. Pour réduire cet angle
à xéro, il suffit alors de tourner la vis, qui se trouve à Tune des extrémités do niveau, et qui permet de faire varier un peu l'inclinaison de AD par rap-
port k XY, de façon à faire avancer la bulle de — - — divisions; la ligne
des zéros AH est ainsi rendue parallèle à XY. On s'assurera que ce réglage a été bien fait, en effectuant un nouveau retournement: la bulle doit s'avancir du même nombre de divisions par rapport à l'observateur.
Une fois que le niveau est réglé, pour rendre un plan horizontal, on dispete ce niveau parallèlement à la ligne RS qui joint deux des trois vis calantes R, S, T, qui servent à régler la direction du plan. On agit sur les vis S et R de faron à amener la bulle entre les deux zéros : la ligne RS qui joint les écrous des deux vis est alors horizontale. On tourne ensuite le niveau de 90* , de fayon à le rendre perpendiculaire à la direction précédente Bsè, et l'on agit sur la troisième vis T de manière à amener la bulle entre lem deux zéros. La ligne du plan TP perpendiculaire à la précédente RS est aittsi rendue horizontale; et, si la direction de RS n'a pas varié, le plan est i^rvena horizontal. Mais en agissant sur T, on peut avoir un peu modiflé la position de RS; on recommence alors la première opération, et l'on ramène B l>ulle entre les ddux zéros en tournant en sens inverse, et de quantités la t.ânt que po^Hible égales, les vis R et S ; on revient de nouveau à la deuxième o^ilioD, et ainsi, après quelques tâtonnements réguliers, on arrive à rendre ^9» droites RS et TP horizontales à la fois : le plan est alors horizontal.
lei
de liquide contenue dans le vase, et, par conséquent, du poids total de celui-ci.
Les deux vases A et A', de fonnes différentes (fig. 55), ont
fie 5S.
même surface de fond, et, si Ton y verse le même liquide à la même hauteur, les pressions dues a ce liquide sont les mêmes
sur les deux fonds, étant représentées par les poids des cylindres égaux EIFGH et ErPG'H'.
Cette loi peut se vérifia expérimentalement à Taide d*un appareil dû à Pascal et qui a été modifié par Mas^on }). Sur un anneaa en laiton B «fig. 56», dont le bord inférieur est dans un même plan horizontal, peuvent se visser des vases >ans fond, de formes différentes M, M\ M". Un ob.
turateur C, formé d'une plaque de verre soutenue en son milieu par un fil qu'on attache au-dessous du plateau D d'une balance hydrostatique, cooslitue on fond mobile au vase vissé sur Tanneau En mettant un certain poids, SOO grammes par
r%âtib«i )UMoe^ mé ta t^^
Bi»t «a IStt^fte
exemple, dans l'autre plateau, cet obturateur est appliqué avec force contre la base de Tanneau. Ceci fait, on verse de Teau dans le vase jusqu'à ce que la pression exercée par ce liquide fasse détacher Tobturateur, ce dont on s'aperçoit aux gouttes qui commencent à s'échapper. On marque alors le niveau de l'eau dans le vase à Taide d'un index A, fixé au socle de l'appareil. La même expérience est recommencée après avoir vissé sur l'anneau B un vase de forme différente (M" par exemple), et l'on voit que pour faire détacher l'obturateur, il faut verser de Teau jusqu'à l'index A. Dans les deux cas, les vases avaient le même fond, et en versant le liquide à la même hauteur, on a obtenu la même pression, quoique le poids total du liquide contenu dans les vases fût très différent.
Un autre appareil dû à de Haldat (i) permet de vérifier plus
FiG. 57.
aisément la même loi. Il se compose d'un tube de verre deux fois recourbé (fig. 57) présentant deux branches verticales ouvertes. Sur Tune d'elles peuvent se visser des vases sans fond, de forme très différentes M, M', M". Ce tube contient du mercure dont la surface forme, dans la branche G, un fond mobile au vase
(1; De Haldat du Lis, physiciea français, né en 1769, mort à Nancy en
vissé sur Tanneau. On verse de Teau dans le vase : le mercure, pressé en C, s*élève dans l'autre branche d'autant plus haut que la pression est plus forte ; on marque à l'aide d'une bague D, glissant le long de cette branche , le niveau où il s'arrête, quand l'eau affleure à un index A. La même expérience est répétée après avoir vissé sur l'anneau un autre vase (M" par exemple), et, quand on a versé de l'eau jusqu'à l'index A, on constate que le mercure est remonté jusqu'à la bague D. La pression de l'eau sur le même fond, constitué par la surface du mercure en C, est donc la même dans les deux cas.
12. 7— COHSËQUElfCE. — Aa résultante des pressions exercées par un liquide sur les parois du vase qui le renferme est une force unique verticale dirigce de haut en bas et égale au poids du liquide.
Puisque nous ne considérons que les pressions exercées par le liquide, nous devons supposer nulle la pression à la surface libre. Dans ce cas, en un point situé à une distance verticale h au-dessous de cette surface, la pression par unité de surface est hd.
Prenons trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, ce dernier axe étant vertical (flg. 58;, et cherchons la somme des projections sur chacun de ces trois axes de toutes les pressions exercées sur les divers éléments de la paroi interne du vase. Comme on le sait, ces sommes sont respectivement égales aux projections X, Y, Z sur les mêmes axes de la résultante des pressions.
Autour d'un point quelconque A de la paroi décrivons un élément de surface d'aire s. Appelons p la pression par unit/; de surface en A ; la pression sur Télément A est ps. Soient «, p^ 7 les angles que fait la direction de cette pression (normale à la surface et dirigée vers l'extérieur du vase) avec les parties posi- Uves des trois axes des coordonnées; les projections do la pression sur ces axes sont respectivement f»cosa, ps cosp et pscosy. Par conséquent, X égalant la somme des projections des pressions sur l'axe OX, on a :
et de même :
pscosp
pscosy.
Il est aisé de voir que X = Y = 0. Décomposons , en effet, le volume du liquide en une infinité de cylindres à génératrices parallèles à l'axe OX, tels que A| A,. Chacun d'eux découpe deux éléments de surface A| et A, sur les parois opposées du vase.
Dans la somme ^pscosa, groupons les termes deux à deux,
en associant ceux qui correspondent aux deux bases d'un même cylindre. Soient S| et«j pour l'un quelconque d'entre eux A^A^ les aires des deux bases, et p la pression par unité de surface, qui est la même pour les deux bases du cylindre, puisqu'elles sont placées sur un même plan horizontal ; les pressions supportées par celles-ci sont alors pSi et ps^. Appelons a, et 04 les
PiG. 58.
ies que forment les directions de ces pressions avec OX, si ^* ^st aigu, «2 est nécessau*ement obtus; on a pour la somme * 8*^ brique a de ces deux projections :
a = p«|C08a| -|- ps^cosaj
Du reste :
Or, en désignant par a l'aire de la section droite du cylindre, on a :
a = 8^ cos «1 = — ^^coso)
et, par conséquent :
a = ptT — pa = 0
d'où :
Pour les mêmes raisons Y = 0.
Les projections X et Y de la résultante sur les axes horizontaux OX et OY étant nulles, la résultante est verticale, et, se projetant en vraie grandeur sur Taxe OZ, sa valeur est donnée par :
Z =^pscosY
Pour évaluer cette somme, décomposons la masse liquide par une infinité de cylindres à génératrices parallèles à OZ. Chacun d'eux découpera deux éléments de surface l'un sur la paroi du vase, l'autre sur cette paroi ou sur la surface, libre du liquide.
Groupons les termes de ^pscosy en associant ceux qui correspondent aux deux bases d'un même cylindre, quand celui-ci rencontre deux fois la paroi (comme en A1A3), et laissons isolés
les termes qui coirespoDdeDt à la base inférieure d'un cylindre rencontrant la surface libre du liquide. Soit un cylindre quelconque du premier cas ; appelons 5| et s^ les aires de ses deux bases, pi et ps les pressions par unité de surface ; p|5| et p^s^ sont les pressions supportées par les bases. Soient y et y les angles que font ces pressions avec la partie positive de OZ ; si y^ est aigu Y3 6st obtus. La somme algébrique c des projections de ces deux pressions sur OZ est :
c =P|«|COSY^ + PzS^COSy^
Or, si Ton appelle 9 la section droite de ce cylindre on a :
ft = 8i cosy- = — 53COSY
d'où :
= Pi^ - Pa^ = ^ (Pi - Pz)
Mais, si h est la hauteur du cylindre et d le poids spécifique absolu du liquide, on a :
p^-p^=hd
ffoù :
c=^fshd
c est égal au poids du liquide renfermé dans ce cylindre.
Quant aux cylindres rencontrant la surface libre du liquide, 00 a pour la projection sur OZ de la pression exercée sur leur base:
ps cos y
no LIVRE III. — CHAPITRE PREMIER
et comme :
^cosy = 9
et que :
p = hd
h étant la distance de la base inférieure du cylindre à la surface libre du liquide, on a :
pscosY = ffAd
ce qui est encore égal au poids du liquide renfermé dans le
cylindre. Ainsi ^pscosYi représentant la somme des poids da
liquide renfermé dans chaque cylindre, est égal au poids total P du liquide contenu dans le vase.
Faisons remarquer encore que les composantes horizontalee des pressions, se détruisant deux à deux, il n'y a pas de couple résultant à composantes horizontales, tendant à faire tourner le vase autour d'un axe vertical. En outre, dans chacun des cylindres verticaux considérés plus haut, la différence des composantes verticales des pressions sur les deux bases est une force verticale dirigée de haut en bas ; ces forces se composent en une résultante unique : il n'y a pas non plus de couple résul-* tant à composantes verticales, tendant à faire tourner le vase autour d'un axe horizontal.
La résultante de toutes les pressions est donc une force uniqoB^ verticaley dirigée de haut en bas et égale au poids du liquide contenu dans le vase.
Cette analyse nous fait comprendre pourquoi une balance, qui obéit à la résultante des pressions exercées par le liquide sur les parois du vase, et transmise par elles au plateau, n*ao> cuse que le poids du liquide et non la pression sur le fond de vase, qui en diffère toutes les fois que celui-ci n'est pas un cylindre vertical.
PRESSIONS m
COSSÉQtrEHCE. -PRIRCIPE D'lRCBIHÊDE(i). Les pressions « par an fluide sur an corps gai y est immergé ont une ite aaiqae, appelée ponssée. La poussée est verticah,
de bas en haut, égale na poids du fluide déplacé par le t ^ph'qaée aa centre de gravité du volume de celui-ci.
les éléments de la surface d'un corps immergé sont
à des pressions normales à ces élémeots (flg. 59). Un entent, calqué sur celui que 'ons fait au paragraphe précéloor trouver la résultante des 08 exercées sur les parois d'un lODtre que toutes ces pressions i résultante unique, verticale,
de bas en haut et égale au u volume de fluide déplacé par i. liais voici un autre raisonncraucoup plus simple (^). Conslune certaine masse d'un fluide ilibre, et supposons que ses i particules ne puissent plus ^"'- ^■
les unes par rapport aux autres;
areilles liaisons existaient réellement, elles ne sauraient ' l'équilibre. Cette masse est soumise alors à deux genres es : i' aux actions de la pesanteur, qui peuvent être -■éea par une force unique Je poids ; 2." aux pressions 8 par le fluide qui l'entoure sur les divei's éléments urface. Puisqu'il y a équilibre, il faut que ces pressions ne résultante égale et directement opposée au poids.
Unède, né à Syracuse ta S87 avant J.-C., fut tué lors ds la prise Tille «o 812. Cb fut en cherchant à diicclcr k Traudc d'un ortèvrc, ionpçoDné d'avoir ajouté beaucoup d'argent à l'or qu'on lu! avait nr Ikbriqucr une couronne, qu'Archimède découvrit que ta porte tde poids que lubit un corps immergé dans l'eau est égale au poids déplacée. Celle loi lui fournit un moyen de trouver la densité des de eoDSlatcr Is fraude.
« démonslralion théorique est due a Simon Slévin, mathématicien leo flamand, mort en ICXi. Il a établi ex périme nialement la plupart d« l'hydrostatique.
Cette résultante doit donc être une force verticale, dirigée de bas en tiaut, égale au poids du volume du fluide considéré et appliqué au centre de gravité de celui-ci. Si, maintenant, nous supposons la masse de fluide précédente remplacée par un corps de nature quelconque, mais ayant exactement même forme et même position, les pressions exercées sur sa paroi, ne dépendant que de la position et de l'étendue des surfaces, resteront les mêmes, et, par conséquent, auront même résultante.
La mémo démonstration s'applique au cas où le corps est plongé en partie dans un liquide et en partie dans un autre fluide qui lui est superposé (flg. 60). Prolongeons à l'intérieur du corps,
suivant AB, le plan horizontal XY ni qui forme la surface libre du liquide.
^ E Le plan AB sépare le volume du
/^.'[. Ajj^ corps en deux parties ACB et ADB.
^H V ^8 La poussée totale est la somme des
I^^V ^>^H poussées exercées séparément, par le
^^^^^^Sï^^S liquide sur ACB, et par le second ^^^te3f2^-^3 fluide sur ADB. Si V et r sont les ^^^^^^2t:i±3 volumes des parties ACB et ADB, ^^^^^r^T^^^-'^S^k et si D et (i sont les poids spécifiques ^^^^^Eiir^^£^^ absolus dcs deux fluides, la poussée ^I^ÊÊÊÊmB^mmmm est égale à VD + »d.
FiG. 60. La démonstration expérimentale do
principe d'Archimède se fait généralement dans les cours de la manière suivante. On suspend i la partie inférieure du plateau d'une balance hydrostatique (fig. 61) un vase cylindrique de laiton A, et, au-dessous, un cylindre plein B ayant un volume exactement égal à la capacité intérieure du cylindre A (on le fait voir, en montrant que B peut entrer dans A, et le remplit complètement). Ayant équilibré le système par une tare convenable placée dans l'autre plateau» on plonge le cylindre B dans un liquide. L'équilibre est rompu, et le fléau se relève du côté des cylindres ; ce qui montre l'existence de la poussée. Mais on peut rétablir l'équilibre an remplissant complètement le vase A avec le Uquide dans lequel est plongé le cylindre B; ce qui montre que la poussée
a la même valeur que le poids d'un volume de ce liquide égal au volume du cylindre immergé.
Voici uoe autre démoostratioa, qui a l'avantage d'être plus gë« nérale, s'appliquant à un corps de forme quelconque. Le corpa B (Bg. 02} est fixé par Uh Al au plateau P d'une balance hydrostatique, qui porte un vase K vide. Le tout est équilibré par une tare placée dans l'autre plateau. On immerge alors le corps dans un vase V rempli de liquide jusqu'à un trop-plein; le corps, en entrant, fait sortir du vase un volume de liquide égal au sien, et ce liquide s'écoule dans un vase K', de même poids que le vase K; en même temps l'équilibre est rompu. Or, pour le rétablir, il suffît
de remplacer le vase K par le vase K' contenait le liquide c^v s'est écoulé; ce qui montre bien que la poussée égale le poids «3 fluide déplacé (').
On démontre l'existenou de la poussée produite par tes gai I l'aide d'un appareil appel" baroscopc. Il se compose d'un lléiu de balance, que nous tiupposerons à bra^; d'égales longueurs, im extrémités duquel sont suspendues doux spbcres de diamètres très inégaux A et B lli^;. 63);.maiÀli ]iclilo sphère B est pleine, la grosse sphère A est creuse, ut leurs poids sont tris que dans l'air le fléau est horizcMilaL Si l'on place le baroscope sousla cloche (l'une mactiine pneumatique, et que l'on fiisse le vide autour, ou voit le flémi s'incliner du c<3t<'- de la t,Tosse sphère. Ainsi, en réalité, la grosse sphère pèse plus que la petite; si, dans l'air, elles produisent le int-ine effort aux eztrémi- Fi-. G3. tés du fléau, c'est que la grosse sphère,
déplaçant un volume d'air plus considérable que II) petite, est soumise à uue poussée plus graade.
Examinons, mnintenaut, quelques conséquouces du principe d'Archimèd-'.
(I] CeUu ùlégjulc di m 9ns Irai ion est duo a M. Koudrâaui.
Quand le corps immergé est homogène, son centre de gravité ooïn^de avec le centre de gravité de son volume, d'après la déflnilîcwft même de ce dernier point. Le poids et la poussée sont toujours dir-^MStement opposés, et la résultante de ces deux forces est égVL\e à leur difTérenceC). Soient d le poids spécifique absolu du OuicJe, D celui du corps, et v son volume; le poids de celui-ci ^a nt égal à rD, el la poussée à vd, la résultante est tf (D — d).
Si D est plus grand que d, le corps abandonné à lui même au ^câo du fluide se dirige en bas. C'est le cas d'une pierre ou d'un "*c»r-ceau de fer placé* dans l'eau ; c'est le cas de la plupart des <ïorp6 placés dans l'air.
Si D égale d, la résultante des forces étant nulle, le corps peut *^ster immobile dans le fluide ,
Si D est plus petit que d, la poussée l'emporte sur le poids, et ^e corps abandonné à lui-même monte verticalement. C'est le cas du bois ou du liège placé dans l'eau, du fer placé dans Un bain de mercure, ou encore des gaz chauds qui s' échappent d'une cheminée et qui s'élèvent dans l'atmosphère.
Quand le corps est hétérogène (flg. 64), le centre de graviti^ g p«ut ne pas coïncider avec le centre de gravité du volume G, c'est-à-dire avec lu point d'application de la poussL'e. Si G et 9 ne sont pas sur la même verticale, réquilibre n'est pas possible, quand même la poussée serait égale au poids, puisque les deux forces ne sont pas directement opposées. Dans ce cas, le corps oscillera, et, à cause des frottements. Unira par rester immobile, dans la position où les deux centres di: gravité sont sur la même verticale. Si le poids et la poussée ne sont pas égaux, ''"'' *^
le corps, tout en oscillant, descendra ou montera dans lo fluide.
Faisons remarquer que le principe d'Archimède n'est par-
di C'en ce qui a rail (
1 l« principe d'Archimâde Mue la
faitemeni exact que si le corps et le fluide sont immobiles. Quand l'un ou l'autre sont en mouvement, il cesse d'être applicable en toute rigueur; mais, si les mouvements sont lents, l'erreur cornmise en en faisant usa^ est peu considérable.
14. ACTIOll EXERCÉE PAR UH CORPS SUR LE FLUIDE QUI LXI- TOURE. — En vertu du principe c Faction égale la réaction », uo con)s presse le fluide qui l'entoure avec des forces respectivement égales aux pressions exercées par le fluide sur le c(»ps. Cea contre^pressions, ne différant des pressions que par le sens, col ime résultante qui ne diffère aussi de la poussée que par le sens. Par conséquent c'est une force verticale, dirigée de baui en bas^ égale au poiils du fluide déplacé et appliquée au centre de gravité
du volume du corps (supposé relié invariablement au reste du fluide).
C'est ce que montre Texpérience suivante. Sur le plaleao d'une balance de Roberval (flg. 65), on place le vase V de Texpérience qui a servi i vérifier le principe d'Archimède ; on le remplit de liquide jusqu'au trop-plein, et, audessous du bec, ou met sur le même plateau le vase K' vide.
Après avoir établi l'équilibre, OQ immerge dans le vase V on corps quelconque, suspendu par un fil.
Aussitôl réquilibre est pu« et lo plateau qui porte le vase s'abaisse ; ce qui montre V
R>raie MÎTaBW : • Tj cvr^ p^*ye Juls «j iiuie perd
U pcfU
teDce de la contr&poussëe. Or, un volume de liquide égal au Tolume du corps immergé a passé du vase V dans le vase K'. Si Ton enlève du plateau de la balance cette quantité de liquide, le fléau redevient horizontal; on voit ainsi que la contre-poussée égale le poids du fluide déplacé.
15. G0RP8 FLOTTANTS. — Quand le poids d'un corps immergé eit moindre que celui du liquide déplacé, le corps abandonné ihii-méme remonte vers la surface ; il sort en partie du liquide, ou nème totalement, mais, &*il est plus lourd que le volume d'air dé(rfacë, il retombe à la surface du liquide. Ne pouvant rester en équilibre, ni quand il est complètement entouré d'air, ni quand fl est complètement immergé dans le liquide, il reste à la surtâce^ en partie plongé dans celui-ci, et en partie en dehors : il fbtte. Pour qu'un corps flotte en équilibre il faut que son poids P soit égal à la poussée exercée par les fluides ; si V est le folome de la partie immergée AGB (flg. 60), et t; celui de la partie ABD située en dehors du liquide, si D est le poids spécifique ibsolu de celui-ci, et d celui de Tair, on a alors l'égalité :
P = \D + vd = \D(l+^
Comme le poids spécifique de Tair est très petit par rapport la poids spécifique des liquides, on néglige généralement le
rapport --, et la formule devient P = VD.
il. t- CONSÉQUENCE. - VASES COMMUNIQUANTS. — !<> Cas OU
U UQUmE KST LE MÊME DANS LES DEUX VASES. — DoUX OU plusieurs vases conununiquants, remplis d'un même liquide, forment QD seul vase au point de vue du théorème fondamental (g 4), qui est évidemment applicable quelle que soit la forme du vase. Toutes les conséquences que nous en avons tirées s'appliquent iDoore au cas actuel, et, en particulier, tous les éléments de la surface libre du liquide sont dans un même plan horizontal ; par
na LIVRE m. — chapitre premier
conséquent, le liquide doit s'élever au même tàren dans toi» le vases communiquants.
On peut le montrer a périmentaleaneel 1 raid de l'apparail représenté fi pire 66.
Le téreaa d'eno eat ne application à» ce prind]^ Il cmniste en deox ëpnc vettM en verra A et (Rg. AT), reliées entra dl< par un t«be métallique. < tube renlenae de l'eau, q s'élève i une certaine bM teur dan» chacone dt éproavettes. Qnalle tp '—"• goit l'iaclinaison du tidk
le plan pawant par b surTnet^â libres en A et en B est un plan borizootal. Si doi un ilispose l'trit de façon à faire coïncider optiquement les soi faces libres en A el en B, on a une ligne de visée hariaonta \tig. 68).
S" — Ca5 01* LXS KTX TASIS
U> liquide le plus dcn^ ocinipe alors le canal de coom entre les doux v.i<«s, et s'tilève seul dans !*■■ dent.
v0se contient, au fond le liquide le plus- dense, et au-dessus le liquide le plus léger, conformément au principe d'Arohimède. Il
FlG. 68.
peut 86 faire, pourtant, si le canal de communication est capillaire, que la séparation entre les deux liquides ait lieu dans l'intérieur de celui-ci : chaque vase contient alors un liquide différent. Soient (fig. 69) h et h' les hauteurs BF et CG de la surface libre
FiG. 09.
^ chacun des liquides au-dessus du* plan^ horizontal de sépa- ^Won EFGH , et soient d et d' les poids sp^^cifiques absolus de ^ liquides. Admettons: que la pression par unité de sorface ^^ la même en AB et. en CD, ce qui sera à trôs peoiprès exact ^ c'est Taimosphère qui exerce cette pression, et désignons- ^ par P. L'unité de surface en EP supporte alors une près- ^ égale i P -H M; ranité de surfaœ ' plaoée en GH: supporte
la pression P -{- h'd' ; et, comme ces deux surfaces égales sont placées sur un même plan horizontal dans un même liquide (le plus dense) elles supportent la même pression, puisqu'il y a équilibre; d'où :
F + M = P + ft'rf
et, par conséquent :
A — 1' A"" rf
Si S et S' représentent les densités de ces liquides, on a -j = —,
d'où.
Jl ^ L
Les hauteurs des deux liquides au-chssus du plan horizontal de séparation sont en raison inverse de leurs densités,
La connaissance des densités des liquides peimet de vérifier expérimentalement la justesse de cette loi.
