CHAPITRE VII

HYDRODYNAMIQUE.

L'Hydrodynamique est la science du mouvement des fluiile=^- Les problèmes (|ui se posent dans celte étude sont beaucou j-> plus difliciles à résoudi*e que ceux d'hydrostatique ; aussi noii-==^ bornerons-nous ici a Texposé de quelques notions élémentaire» ^

1. PRINCIPE DE TORRIGELLI. — Supposons quun vase contenaii & un liquide, et ouvert à sa partie supérieure, soit percé dans It- ^

bas d'une petite cuver- — ture 0 (flg. 144); le liquide s'écoulera }>ar là»et sortira avec une taine vitesse. Si la paro du vase, où 1 ouvertnn; est percée, est mince, de façon que frottements occasionDé sur le liquide par l bords de 1 orifice soieo N^ très faibles, la riies& du jet est aormêk i paroi et égak à h rj— tesse acquise par tu^ corps qui tomberait depuis la surïace libre du liquide jusfiar Divenu de Porittce.

C'esl-à-diro, qu'en dési^-nant par v cette vitesse, par * 1»

KiG. 144.

HYDRODYNAMIQUE 835

distance verticale entre la surface libre du liquide et Toriflce ; et par g Tintensité de la pesanteur, on a :

(l) V = \/'2gh

Telle est la loi énoncée par Torricelli.

Cette loi n'est qu'une conséquence des principes de la dynamique, comme nous allons le montrer.

Remarquons d'abord que, dans l'état d'équilibre, la force avec laquelle une petite portion de liquide est poussée contre une paroi par le liquide environnant est normale à cette paroi, et que l'équilibre est maintenu par la réaction de celle-ci. Si une petite portion de la paroi vient à manquer, cette réaction n'existant plus, l'équilibre ne peut avoir lieu et le liquide s'échappe par cette ouverture suivant la direction de la force qui agit sur lui, c'est-à-dire normalement à la paroi ; car, si Torifice est petit, les pressions ne peuvent être que peu modifiées parle mouvement du fluide à une certaine distance de Touverlure.

Pour trouver la vitesse du liquide à sa sortie, nous allons appliquer le théorème des forces vives.

Evaluons les travaux de toutes les forces qui agissent sur le liquide en mouvement pendant le temps très court où une P«iile masse m de liquide sort par l'orifice.

1* Il y a les travaux des actions de la pesanteur sur toutes les Particules du liquide. Or nous avons vu (Livre III, Chap. P' § 4, Bote) que la somme de ces travaux est égale au travail accompli ptr le poids mg de la masse m tombant de la hautem* h 1% 145) qui sépare la surface libre du liquide, dont le niveau «abaisse , de l'orifice par où ce liquide s'échappe ; ce travail ttl donc égal à + mgh.

2* La pression que le gaz, qui est au-dessus du liquide, exerce

cor loi accomplit un travail positif. Si P est la force élastique de

C9ga|, et S la section du vase à la partie supérieure, PS es. la

fiteor de la pression ; et, si le liquide s'abaisse de la hauteur e

pmiani le temps considéré, -|- PSe représente ce travail. Or

S^ est le volume u de la masse m de liquide écoulé, ce travail

»st donc égal i + ^^'

3^ La pression du gaz qui entoure l'oriflce accomplit un traTail négatif sur le liquide qui s'en échappe. Si P' est la force

élastique de ce gaz, que, pour plus de généralité, 3 nous ne supposons pas for-

cément égale à P, ce travail a pour valeur — P« i').

La somme des travaux des forces agissant sur le liquide est donc :

car, le liquide étant, pa*" hypothèse , un fluide paï fait, le travail des forc(

FiG. 145.

intérieures est nul puisqu'il n'y a pas changement de volume, la paroi étant très mince, les travaux dus aux frottements qu'el^ exerce sur le liquide à sa sortie peuvent être négligés.

D'autre par tcherchons quel est l'accroissement de force vivcr Soient AB et A'B' les niveaux du liquide au commencement à la fin du temps considéré. Si t\ est la vitesse avec laqucll descend la surface libre du li(iuide, mt\^ est au début la forv* vive de la masse m comprise entre AB et A'B'. Désignoi maintenant par K la force vive, au même moment, du liquid contenu au-dessous de A'B' ; la force vive initiale de toute l masse est ainsi :

mi'i* -|- K

(Il Puisque le temps considéré est aussi petit que nous le Toolont, pouTOQS toujours regarder le jet qui est sorti par roriflce pendant q^ conune sufllsaimnent court pour aroir la forme d'un cylindre. Si alors 3' Taire de la base de ce cylindre droit, S'P' est la pression supportés pv et, si e' est la lonç^ueur du jet pendant le temps considéré, le trtfail S'P*^ = P'* en valeur absolue.

Du reste, on peut aisément voir par le calcul que, quelle que soU !•

HYDRODYNAMIQUE

A la fin du temps considéré, il est sorti par l'orifice une masse

M de liquide avec une vitesse v, dont la force vive est par

conséquent mt^, et il reste dans le vase, au-dessous de A'R'

(nnreau actuel) une masse de liquide ayant la même force vive K

(|Qe précédemment ; la force vive finale est donc :

mv^+ K

On voit par là que l'accroissement de force vive pendant le temps considéré est simplement mv^ — mvi*.

En appliquant le théorème des forces vives, nous obtenons h relation:

m(i)» — »,«) = 2mgh + 2u(P — F)

Ibis, le poids mg de la masse m est égal au produit ud de «in volume u par le poids spécifique absolu d du liquide; d'où :

d in = u —

a remplaçant m par sa valeur, après avoir divisé les deux "«■■bres de l'égalité par cette quantité, il vient :

OfTCl -T- représentent précisément les hauteurs H et H' du

f* mnà on fluide, qui augmente d'un volume u, s'il est soumis à une V*^ uniforme par unité de surface p, le travai) des pressions extérieures ■•-lilVoir L. IV. Cbap. XIII { U).

388 LIVRE m. — CHAPITRE VII

liquide qui foraient respectivement équilibre aux forces élastiques P et P' ; l'égalité (3) peut donc s* écrire :

Telle est la formule la plus générale donnant la relation entre la vitesse v à Toriflce et la vitesse v^ à la surface libre. Mais si Taire de cette surface est grande vis-à-vis de Taire de roriflce, i\ est petit par rapport à Vt et son carré v^^ négligeable deriol r^. Dans ce cas la formule (4) se simplifie et devient :

Enfin, si le gaz qui surmonte la surface libre du liquiiie possèiio la môme force élastique que celui qui environne rorillce. on a H = H' et la formule (5) se réduit à :

Co qui correspond à T énoncé de Torricelli.

La manière dont cette formule a été établie montre bien (ff^ le principe de Torricelli n*est applicable que dans les cooditio^ suivantes: — !• le liquide doit être assez mobile pour poinr^* être oonsidén^ comme un fluide parfait ; — 2« la paroi di^ laquelle Torifioe est percé doit être très mince ; — 8* Faire ^ la surface librt* du liquide doit être grande \is-è-vis de celle ^ roritîoo ; — 4* la force élastique du gaz qui presse le liquide dC^ élr^* la môme à la surface libre et autour de roriÛce.

La formule 5 donne la valeur de la vitesse quand cei dernièrt'^ cv^ndition n*est j^as satisfaite. Remarquons que. cette formule, la quantaé h — H — H représente la hauteurf -^ la colonne liquide qui ferait équilibre à lexcès de la force éli^ tique du hquiJe situe au niveau de rorilice sur la force élastifll du gai exteneur, .</. toriâct c Uut /«one/te, le liquide éiiit t\{utUlr. . (siir v:oiiSc\iueut a xy>\ la hauteur à laquelle le li

HYDRODYNAMIQUE 839

s'élèverait dans un tube ouvert surmontant l'orifice, en vertu des lois de Thydrostatique. En introduisant dans la formule (5) cette quantité a, toujours facile à déterminer, elle devient:

^7i V = s/^ga

On voit que la vitesse d'écoulement est la même que si, le vase étant ouvert à sa partie supérieure, la hauteur du liquide »HlessQ$ de Torifice était égale à a ; résultat ({u*il est facile, du reste, d*établir a priori.

2. COHSËQUENCES ET VÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE DU PRIN- OPE DE TORRIGELLI. — On sait que, grâce à la pesanteur, un corps qui est lancé dans le vide avec une vitesse v et suivant Qoe direction faisant un angle a avec l'horizon décrit, dans un plan vertical passant par la direction de la vitesse initiale, une parabole dont l'équation est :

y = xtanga — x^-r-r^—T-

«prenant pour axe des abscisses {x) l'horizontale et pour axe fa ordonnées (y) la verticale passant par le point de départ.

Par conséquent, au sortir de l'orifice, les particules du liquide ttvenl décrire une parabole : le jet doit être parabolique.

Si dans la formule (1) nous remplaçons v par la valeur donnée par la formule (7) du paragraphe précédent elle devient :

(2) y = xtanga — X*

4acos*a

Cette formule permet de vérifier expérimentalement Texacti- We du principe de Torricelli .

U valeur maximum de y donnée par la formule (2) corrcsjwod i l'abscisse asin2Qc, et est égale à a sin^a.

Si le jet s'élance verticalement, on a « ^= — d'où sin*« = 1,

et, par conséquent, a doit être la hauteur maximum. Ainsi le jet doit s'élever à la hauteur que le liquide atteindrait, en vertu des lois de F hydrostatique, dans un tube ouvert qui sur» monterait F orifice. Dans le cas où le vase est ouvert, on aii=k: et le jet doit s'élever au niveau de la surface libre du liquide dans le vase.

Eh bien l'expérience, même faite avec un orifice percé en trèi mince paroi, montre que le jet s*élève toujours à une hauteur un peu moindre. Mais deux causes, dont nous avons négligé les effets, produisent ce désaccord: — 1* la résistance de Tair, dont ne tiennent pas compte les formules (1) et (2), et qui, rendant li vitesse plus faible, raccourcit la hauteur du jet ; — 2* Teflet des gouttelettes qui, après s'être élevées, retombent sur celles qui montent et diminuent leur vitesse par le choc. Cette dernière cause perturbatrice devient de plus en plus faible quand la direction du jet s'écarte de la verticale, et l'accord entre la formule (2) et rexpérienoe I est bien plus satisfti-'

1 ^ sanl.

^. rTTljE Quand le jet sort ho-

rizontalement (fig. 146) V k il faut dans la formulas

{i) faire « = 0; ilvii alors, dans le cas d* vase ouvert, pour 1 a = k:

C*esi-A-dire que le jei doit venir frapper of pUin horiionlaU meikf à une liisUoce verticale y au-dessous ds 1 oritKt\ À une disianco horixootale x doul le ciiTé égale le qtiadnipîo du produis de y par la hauteur h du liquide dans K» vase CHiv^rt.

HYDRODYNAMIQUE 341

CTest ce que Bossut(*) a vérifié; et les valeurs trouvées pour x

sont à peine inférieures de "TTrpr aux valeurs calculées d'après la

lUU

connaissance de y et de A. Cette légère différence s'explique lùsément par l'effet de la résistance de l'air (*) .

3 fCOULEMENT DES UQUIDES A TRAVERS LES TUBES CAPILLAIRES.

— Pour un liquide qui s'échappe d'un vase à travers un tube ipillaire, on se trouve dans des conditions toutes différentes de rUes où le principe de Torricelli est applicable, car il faut tenir Compte des frottements exercés par le liquide contre les pai'ois dti tube, et aussi des frottements des diverses couches liquides tes unes sur les autres. Ces derniers frottements, qui seraient Unis dans un fluide parfait, pouvaient être négligés dans le cas oti s'applique le principe de TorriceUi à cause de la faible vitesse do liquide dans le vase; mais ils prennent une valeur notable dans un tube étroit où le liquide circule rapidement.

W. Poiseuille a étudié expérimentalement l'écoulement des liquides dans des tubes capillaires horizontaux mouilles par eux ; il a trouvé que le débit Q — 1** est proportionnel à la différence de force élastique H que présente le liquide aux deux extrémités du lube (^); — 2* est proportionnel à la quatrième puissance du dia-

il)Charle5 Bossut, né en 1730 près de Lyon, mort en 1814, fui professeur

^ Quthémaiiques et d'hydrodynamique, et plus tard, examinateur à TÉcole

Polytechnique.

(2) On avait pensé aussi à vérifier le principe de TorriceUi en mesurant le

^t. Si w est la section de l'ouverture et v la vitesse du jet, il semble que

•• doit être le volume du liquide sorti dans l'unité de temps. En faisant Tex-

Pffjence, on a trouvé que le débit observé n'était environ que les 2/3 du débit

^ÎMicaJcuié. Le désaccord 8!explique, quand on examine la forme de la veine

lijiide qui s'échappe du vase. Celio-ci n'est pas un cylindre ayant pour

•etion m; elle va d'abord en se rétrécissant à partir de l'orifice jusqu'à avoir

■e section égale aux 2/3 environ de la section a> ; à partir de là , elle de-

fini cyUndrique ; le débit doit donc être à peu près - cov.

ffj Eo suivant la marche du liquide dans le tube, les forces élastiques

ÉBiiiiiieot, et les variations des forces élastiques sont proportionnelles aux

wiations de longueur. En d'autres termes, la force élastique est une fonction

UBé^lre des longueurs comptéos sur le tube.

Sit LIVRE m. — CHAPITRE VII

iTiùlreDdu tube (supposé à section circulaire) ; — 3* est inversement [)roportionnel à la longueur L du tube ; — 4* dépend do le nature du liquide.

La formule suivante résume ces lois :

Q = K2ii^

Dans cette formule K représente un coefllcient de proportionnallité qui varie avec la nature du li(|uide et aussi avec sa température, augmentant beaucoup quand celle-ci s'élève.

Ajoutons (jui» l'application des lois de la mécani<iue conduit «• la formule de M. Poiseuille, comme Ta montré cet auteur.

Quand \\n licpiide lîltre, a travers du papier ou à travers m^:^ iMMiolie do sable, lo phénomène est le môme que s'il traversai^ une série de tubes capillaires. La filtration est donc d'autant yln^ rapide que la [»ression à la surface du liquide est plus forte, ijiic* r<»paissi»ur du filtre est plus faible, que les pores sont i>1hî* larges ; enfin elle est phis rapide, pour un même liquide, «(uainJ il est ehautl que quand il est froid.

4. VASE DE MARIOTTE. — Cet appareil sert à obtenir un écoule— ment n''gulit*r; il permet aussi de vérilier quelques conséquences' du prineipe de Torrieelli.

Il se eompost* fig. 147» d'un flacon, dont le goulot est feriiit? par un boui*hon travei'St» par un tube LK, qui plonge dans \^ liquide oontenu dans le vase. Celui-ci possède un, ou plusieurs ^Miiii-es (1, b à des hauteurs ditïèrentes, percés en mince parois et j'OiiNaîU être fermés à l'aide de petits bouchons.

S-.ïj-|Hivons .;ue le vase soit à peu près plein de liquide, et qut? ■ '! u-oi >'. L\i^ à une certaine hauteur K dans le tube. Si nou^ \v-.: .:-- .1 lit :■:■ loluT roriiKV inférieur fl, le lit|uide s'écoulï? vivitr.vîïi d ai- rd. à cause île la grande hauteur a laquelle Itr îux.a . K. •i <\^\vTv'e la pression atmosphérique, se trouve «ud^•-^•.;^ ,:v* '. •;,:;, e. Mais le niNoau du liquide baissant rapideîiuî;i .i.ii> '..' m1 L\ i an.phlude du jel diminue jusqu'à ce que le

HYDRODYNAMIQUE

« soil plein d'air. A pai-tir de ce moment, à mesure que le

aide s'écoule, des bulles d'air s'échappent de l'extrémitû' 0 du

M et gagnent la partie supërioure du flacon. L'atmosphère

erçant sa pression en 0, et le

(uide sur le plan horizontal passant

rce point 0 étant à peu près im-

bile, toutes les parties de celte

iche supportent la pression almos-

rïque, c'esl-à-dire la pression

ae qui s'exerce en dehors du

< à l'orifice a; dès lors, si nous

K-nons par A la distance de l'ex-

tité 0 au plan horizontal ad, la

^G» d'écoulement, d'après lo

3ipe de Torriceili est

«lemourc donc constante, puis- A reste invariable, tant gue lu Au HH' du liquide dans le vase ■ put descendu au-dessous de 0.

» lieu do déboucher l'ouverture a, débouchous une ouverture t *i(ie dans un \>\aa horizontiil rencontrant le tube en L r le de s'écoule jusqu'à ce que le niveau se soit abaissé dans le

^ufiqu'cn L. A partir de ce moment tout écoulement ceetie : A équilibre. En effet, è l'intt'rieur du flacon, tout lo plan e«ntal ALfi' supporte la pression atmosphérique, puisqu'elle tsrco en L dans le tube, et comme elle s'exerce aussi à l'ex- **jr, la petite surface lîiiuide, qui se trouve à l'orifice, étant binent pressée des deux côtés reste en équilibre. ©A'enons au premier cas, l'orifice a est ouvert et l'écoulement *^gulier. Puisque la pression atmosphérique s'exerce sur le n horizontal passant par 0, sur un autre plan plus élevé, en AL ' exemple ^l'oriliccAélant liouché), s'exerce une pression moine. Aussi, quand on vient à boucher a et ù déboucher A, l'équiytt ne peut exister, puisque la surface liquide qui se trouve eu

b subirait de la part de l'air extérieur une pression plus gnnde<)a« la pression qu'elle recevrait de l'intérieur. On voit alors des buUat d'air s'introduire par l'oritlce b : te niveau du liquide remonte dtnt lo tube, et l'équilibre se rétablit dès qu'il atteint le plan bLtf.

S. rOHTAIHE IMTERMITTEHTB DE STQRIt (•) (flg. 148) compose d'uo vase A,

- Elle se en partie rempli d'eau, qu'on introduit pir l'ouverture D, fermée ensuite n moyen d'un bouchon à l'émeri. Un, ' ou plusieurs orifices situés dans ie même plan horizontal 00 permettent au liquide de s'écouler dans un bassin B. Celui-ci pr^ sente vers son centre une pelii^ ouverture par laquelle l'eau pnS* tomber dans un second bassin '-^ placé au-dessous du premier. El»" fin un tube vertical K s'ouvre »

sa partie supérieure S dans !'■•-■ du vase A , et se termine i »^ [wrlie inférieure I par ime section oblique, à une petite distance ** '•s- "** fond du bassin B.

Supposons ce bassin B ^^d• '• l'air du flacon A communi.pianl avec l'estérieur par le tubi* K se trouve sou-i la prvssion atmosphérique : l'eau' s'écoule p«* Uw oriH.-i-s iX.). Comme Touverturv du bassin B laisse échapper Miit» quantité d'eau plus [H-tite que celle qui est fijuné* par le \sse A. ce bassin se remplit, et rorifiee I se trouve bieatft* fertMf par l'eau, .\ paHir de iV momenl. la libre communicatki«i enlr^> U («rtie supèrieiuv du vase A et l'atmosphère e^ inl««^ (VMupu,-; jiussi. ro4u iwiliaaani à r."êv-ouler par les orifices 00, •* w^uiHc ,io U mass<> d'air limiiée txiolenue dans la partie suprfri«irt> d',i \as<' A et daas le tube K au^eate. et sa ibrce ii^a

S^ï?« =rf c tfSC' JtBj la pritteipaoU da Ni

HYDRODYNAMIQUE 945

[que diminue. En désignant aloi*s par h la hauteur de l'eau du ^^rMse CD au-dessus des orifices, par H et par H' les hauteurs des ^^^îlonnes d'eau qui font respectivement équilibre à la pression .^ ftmosphérique et à la force élastique de Tair dans Tintérieur du A, on a pour la vitesse d'écoulement v par les orifices :

examine H' diminue de plus en plus, il en est de même de t; : aussi iroit-on le débit des orifices devenir de plus en plus faible. Enfin I* écoulement s'arrête quand on a :

fc-l-H' — H=0 ou H' = H-A

-A ce moment Teau du bassin B pressée par l'atmosphère, s'est Slovée dans le tube à une hauteur H — H' = A.

Au bout d'un certain temps, le bassin B se vidant lentement par l'ouverture centrale, l'orifice I est rendu libre de nouveau, Tair du vase A reprend une force élasti{|ue égale à la pression itniosphérique, et l'écoulement par les orifices recommence, pour s'inlerrompre de nouveau au bout de quehjue temps : la même «érie de phénomènes se reproduisant jusqu'à ce que le vase A se soit complètement vidé.

1. FOÏTAIHE DE HÉRON (>) (fig. 149 et 150) — On peut donner à

«tappareil des formes très diverses. Il se compose d'un réservoir

^cwilenanl de Teau et communiquant par un tubeB avec la partie

wKneure d'un vase clos N renfermant de l'eau et de Tair ; un

■trelube CD met l'atmosphère de ce vase N en communication

•w celle d'un troisième vase P contenant une certaine quantité

ï«u.Ce vase P peut être placé soit plus haut soit plus bas que le

'•cN. Du fond de ce vase part un tube EF (jue nous suppose-

Wtt d'abord d'une hauteur supérieure à AB (1, fig. 149).

(i) Héron rAncien, mécaniciea et physicien d'Alexandrie, vivait vers l'an >*inttt4..c.

Admettons que l'équilibre existe dans ces conditions; désigtioos par h la distance verticale qui sépare les surfaces libres des liquides en A et en N, et par H la hauteur de la colonne d'eau qui ùûl

FiG. 149.

é(|uilibro a la pression atmosphérique. Aloi^s les forces élastique des atmosphères des vases N et P, qui sont les mêmes puis<p'ï y a communication par le tube CD, sont équilibrées par uae colonne d'eau d'une hauteur égale à H -|-A. Pour que réquilibJ* existe, il faut donc que l'eau se soit élevée dans le tubeEFio^

HYDRODYNAMIQUE

3ur, au-dessus du niveau liquide on P, précisément égale ce qui est possible si ce tube est assez long, lis, si le tuyau EF ne s'élève pas à hauteur h au-dessus du fond du P, 1 équilibre est impossible ; Teau »ule alors par Torifice F jusqu'à ce e bassin P soit vide (2, fig. 149).

ît appareil peut donc ser\'ir à éleun liquide d'une façon économi- ; on l'emploierait avec avantage faire monter Teau d'une source, t'échappe à mi-hautem' d'un coteau, l'au sommet de celui-ci. A mesure le vase P se vide, le vase N se )iit; quand P est vide et N plein, areil cesse de fonctionner. Il faut , à l'aide do robinets, interrompre mmunication en B, vider le vase N ir un tuyau (non représenté sur la

0 ainsi que les robinets nécess pour ces opérations) remplir a eau le vase P. On peut ainsi faire er un certain poids d'eau de P en condition de faire descendre d'une tité au moins égale un même poids

1 do A en N.

machine représentée figure 151,

•»ert à l'épuisement de l'eau des s de Schemnitz, est fondée sur le e principe ; le vase P est dans la

au-dessous du vase N, et est >li dès qu'il est vide, par l'eau à ire, qui se déverso ensuite au u du sol par le tube F.

lieu d'un long tuyau de déversement EF, supposons r. 149) que le tuyau soit court, fermé, et ijuil présente un ori- ) percé dans une mince [)aroi horizontale. L'eau s'échappera forme d'un jet vertical.

Fie. 1.10.

D'après ce que nous avons établi (g2),cejete'ë)èveraitjnii|a niveau UU, à une hauteur h au-dessus de la surface libre dn quide dans le vase P, si la résistance de l'air et l'efTet des pw lettes qui retombent ne diminuaient la vitesse de l'eau qui s'éM

La fi^re 150 représente le modèle de la fontaine deHd qui se trouve habituel le me ni dans les cabinets de physique.

7. SlPBOM. — Un siphon csl un lube recourbé ser\-antàti« vascr un liquide par-dessus le bord d'un ^8se. Pour celtl'*

HYDRODYNAMIQUE

te brtniAes plonge dans te le liquide de même lAre ptecé dans un Hcmd vase B (flg. 153), « biea elle débouche àDiriir(flg. 152). Quand le siphon est mmè, c'est-à-dire knqu'il est plein de li-

liquide d'un vase A, el l'autre

ropérienca est disposée

eoiiDe dans la figure 153, que le liquide s'écoule à travers le

tqiboD da vase A où son niveau est le plus élevé vers le vase B

OT la ^tma est le plus bas. L'écoulement s'arrête si li^diDi les deux vases arrivent sur le même plan horizontal. ^ le CM de la âgore 1591' écoulement du hquide sepi-oduit par rarifice 0, tant que cet orifice est au-dessous du niveau MM' et ^renrémité O* plonge dans le liquide. Si l'orifice 0 est plus ™^ fpK O, comme dans le cas de la ligure, l'écoulement s'ar- )Ae ifuBà le niveau MM' s'est abaissé jusqu'au plan horizontal fBiat par 0 ; si au contraire 0 est plus bas que 0', l'écoule- ■M H cesse que quand MM' s'est abaissé jusqu'en 0'. (^ phéDomènes sont indépendants de la hauteur du siphon, ■ndition pourtant que la distance verticale de son point le plus

t'icvé nu-dossus du niveau le plus haut MM' (fig. 152 ou fig. 158) n'excède pas la hauteur H de la colonne du liquide à transvaser, qui ferait équilibre à la force élastique du gaz (habituellement l'almosphère) qui presse la surface libre de ce liquide.

Si la hauteur du siphon dépasse H, celui-ci ne peut pas rester amorcé ; quand après Tavoir rempli on le retourne, pour plonger SCS extrémités dans chacun des vases, on voit la colonne liquide (dg. 154) se séparer au sommet du siphon, et rester soulevée dan» Tune et l'autre branche à une hauteur H au-dessus (le la surface libre du liquide dans le vase correspondant : il se fonne un double baromètre, et le >Tde existe au sommet du siphon. Dans ces conditions, û y a équilibre, et le liquide ne passe pas d*un vase dans l'autre. L'expérience est aisée à réaliser avec le mercure, puisque H n'excédant pas 78 centimètres, il suflit de prendre un siphon de 80 à 100 ceutimètrei tlo longueur.

Cette dernière expérience montre bien que, dans le transport du liquide par un siphon, la pressioD atmosphérique joue un rôle.

Quand le liquide est en mouvement à rintérieor>i«. du siphon, on n'est plus dans les conditions dëqni libre où les théorèmes d'hydrostatique ))euvent è appliqués et, en en faisant usage, on risquerait d ^^ce ixnnmettre de graves erreurs.

Pourtant, les lois de l'hydrostatique permettent i «? voir a priori que dans les conditions où l'expërienci^^ montra* qu'il y a mouvement du liquide, l'équilil''^^ i'st olYeotivement impossible.

Admettons, ^KNir un instant^ que l'équilibre esà^^ dans les conditions de la figure 158. Considërons uae poliî*' surface .rairt» * prise à Tintérieur du siphon en un poi^ quelconque C. situé à une hauteur x au-dessus du niveau di hv[uide dan> le \ase A, et à une hauteur \a -p x) au-dessus du ui\ eau dv. \u\xii !e dans le vaso B, en désignant par a la distaan xeriuaL* entn» les nÎNoaux des deux vases.

Ap{vlvnis p \a pn^ssiea (^«r unité de surface au niveau MM*, dau> le tliude qa eatourv le siphou et les vases A et B (air air

Fie. IM.

HYDRODYNAMIQUE 851

mosphérique dans les circonstances ordinaires). Si nous consi- ' dérons les pressions transmises par le liquide du vase A et par U (portion du siphon qui y plonge, la surface d*aire s doit supporter une pression égale àps — &rD, en désignant par D le poids spécifique absolu du liquide. Mais si nous considérons les pressions comme transmises par le liquide du vase B, la pression sur la même surface C doit être égale k ps -{- sad — s{a -^ x)D, d étant le poids spécifique absolu du fluide qui entoure les vases. La différence entre la première et la deuxième pression que nous venons d'obtenir est égale à

sa(D — d)

Or cette différence doit être nulle, car sur une même sm'face il ne peut y avoir qu'une même pression. Si donc D — d n*est IMS nul il faut que a soit nul pour que l'équilibre soit possible : diDs les deux vases le liquide doit être au même niveau (*).

Si a est diflërent de zéro, la supposition que nous avons faite ^ admettant Tétat d'équilibre du fluide, nous conduisant à une ■possibilité, est inexacte, et, par conséquent, le liquide est en mouvement.

Dans ce cas on ne peut guère douter a priori que le passage <)q fluide le plus dense, se fasse du vase où le niveau est le plus

(i) Sor les deux faces d'une tranche de liquide infiniment mince, il ne 'Mt y sToir, dans Tétat de mouvement comme dans l'état d'équilibre, fi^iAe différence de pression infiniment petite. En effet, désignons par ^ cette ^MiÉnBce de pression, par J l'accélération que produirait cette force sur la

f iMe infiniment petite m de liquide contenu dans la tranche, on a j = —;

^ ^Mc ^ n'était pas infiniment petit, j serait infini et comme les autres* ^■M (poids, ft*ottement ...) qui peuvent agir sur cette tranche infiniment *iMe sont infiniment petites, la vitesse de celle-ci deviendrait infinie, ce fi ttt impossible.

QttDd le siphon présente une branche horizontale, les lois de M. Poiseuille i^^iMiaeDt à cette partie du tube, et, en suivant la marche du liquide, les P^u par unité de surface vont en diminuant, la différence des pressions ''^l^ées par deux tranches étant proportionnelle à leur distance.

S6t LIVRE 1I[. — CHAPITRE VII

élevé vers celui où il est le plus bas ; au surplus, c' montre immédiatemeat la considération des travaux agissant sur le liquide.

En effet, BOil v la variation de volume du liquide d A où le niveau est le plus élevé, pendant un temps tr considérons celte quantité comme positive si ce volum et comme négative dans le cas contraire. La quantit sente en même temps la variation de volume, inverse cédente, que subit le liquide du vase B pendant temps t.

On sait que pondant ce temps 9, le travail de la pet

les parlicules du liquide en mouvement est égal au

poids cD du v(

U somino iW Inv

fiMves agissant sur le systia

rDa — rta — W

l.t> lUnitlf tie oe tra\ai;1 e:^ égal à U varialioa da 1 ConsiilMvs ce qui ^ ^«sso au nMfWfil où le liquida

HYDRODYNAMIQUE

louvoir: les fluides, priniiliveraent immobiles, prennent une 16 vitesse, et augmentent de force vive ; si V représente augmentation pendant le temi)s 0, on a :

V = 2 (vDa — vila — W)

ta(D-d) = W+^

«cond membre de cette égalité étant positif, il en est de

du premier, et si D est plus

que d, comme a est positif, il

le V soit aussi positif: le fluide

; dense doit donc commencer à

1er du vase où le niveau est le

levé vers celui où il est le plus

l ce mouvement doit continuer

3 même sens tant (jue a n'est