LIVRE PREMIER

i . DËFINITIOH DU TRAVAIL MÉCANIQUE. — Une des notions les plus heureusement introduites dans les sciences physiques, et dont Tusage s*impose de plus en plus, est celle du travail mécanique.

Pour plus de clarté, nous commencerons par déânir le travail dans deux cas particuliers simples , avant de passer à sa définition générale.

Quand une force constante en grandeur et en direction agit sur un corps, et que le point d'application de cette force se déplace en ligne droite dans la direction de celle-ci, le travail mécanique est égal, par définition, au produit de la force par le déplacement de son point d application.

Ainsi : en représentant par W le travail, par F la valeur de la force et par e le chemin parcouru par son point d'application, on a:

La valeur du travail est donc proportionnelle: l*à la force, 8^ au

déplacement de son point d'application. Quand Tunité de force et r unité de longueur sont fixées, Tunité de travail est fixée aussi : c'est le travail accompli par I unité de force déplaçant son point d'application ie tunké de loDfomr.

Habituellement, considérant le kilogramme comme unité de force, et le mètre comme unité de longueur, Tunité de travail employée est le kilogrammètre. Le kilogrammvlre est le travail accompli par une force d'un kilogramme, dont le point d'application se déplace d'un mètre dans la direction de la force. C*est avec cette unité que le travail est le plus généralement exprimé en mécanique.

Ainsi supposons «a poids de 5 UlogramineB tombant de 1 mètre de hauteur, le travail vaut 5 kilogrammètres. Si un poids de 1 kilogramme tombe de 5 mètres, le travail vaut encore 5 kilogrammètres ; si un poids de 5 kilogrammes tombe de 5 mètres de hauteur, le travail vaut 5 X ^ ou 25 kilogrammètres.

Le point d'application, en se déplaçant dans la direction de la force, peut le faire, soit dans le sens de celle-ci, soit en sens inverse.

Si le déplacement se fait suivant le sens de la force, le travail est dit moteaTj et on le considère comme une quantité positive (W = -fFéî).

Si le déplacement du point d'application se fait en sens inverse de la force, le travail est dit résistant, et il est considéré comme une quantité négative (W = — F e).

Ainsi un poids de 10 kilogrammes qui descend yerûcHlemeiti de 8 mètres accomplit uo travail moteur (W = -f~ ^^ kilogrammètres)t tandis que le même poids de 10 kilogrammes qui remonte Terticalement de 8 mètres accomplit un travail résis^ tant (W = — 80 kilogrammètres).

Passoos maintenant à un second cas plus général.

Buppoftona qu'une force F, constante en grandeur et en diree* tion, ait un point d*application qui se déplace en ligne droita suivant une direction différente X'X de celle de la force

(fier. 1).

Dans ce cas, la définition du travail est le produit de la projeetioa f de la force F tur la direction du moaremeat par

TRAVAIL MBCiNIQUE — ENERGIE 11

teBpaœ AB frsanebi pttr h poùd {fapplicëtiaa M ; le sens poai • tif de l*axe X' X de projectioa étant le sens du mourement de M sur cet axe.

JL ^ZZ

Jl

FlG. 1.

C*est donc le travail d'une force /égale à la projection de F sur la direction du mouvement, ou, pour abréger le langage, le travail de la projection de F sur la direction du mouvement.

Désignons par a Tangle que fait la force F avec la direction XX, cet angle étant compté à partir du sens MX du mouvement. On a /'=Fcosa; d'où, en désignant par e la longueur du chemin AB parcouru par le point d'application, la définition du travail W donne la relation

(2) W = F e ces «

Bi «rrO, OB â Ws=:+^^> ^ M^î ^^ oOafonM à la fiTMiièM déMtkm. Tactt une à ttsM ha angle aigu, son cosinus étant positif, le traTail «si poêitif ou moteur (la projection f de F est firigée danslesona 4d flÉouremeiDt). Si a est droit, cosa=0 : iè trëvail W est mil {M pfojeelioil f est nulle). Ainsi, une force perpenéieniÊtre àa dépkéëmetiî ée £on point d application n'ac^ tomplit ÊûcuB travail. Bi « cfèt un angle obtus, cos a étant négatif, le trflTftil W est négatif ou résistant (la projection f de F est dirigée en sens ioTerse Ai ffiouvement). Enfin si a devient égalèdéfi* drottsOB a : oo6a=:— 1 d'où W= — F e, ce qui est eônforiM S lé première âéAfiHion donnée.

Soit AB (flg. 2) le chemin de lobgttoar e paroottni ptf le fMut d*«ptAi6âtmi de li ftrfee F. Menoné une droite P P pâtallMë è F. La prqèetiOli «ft 4tl èhéftiin ÂB sur PP^ qui ftut riiiglè 4l

avec X' X, a une longueur é égale à f cos« ; on a donc d'après la formule (2) :

C'est-à-dire que le travail dune force constante en grandeur et en direction peut s'obtenir en faisant le produit de la force pai la projection du chemin parcouru sur sa direction.

FlO. t.

Arrivons à la définition la plus générale du travail. Une force F, qui peut varier soit en grandeur soit en direction, a un point d'application qui décrit une tngectoire quelconque

rectiligne ou curviligne. Décompo* sons la portion de trcgectoire AB (flg. S), parcourue dans le temps où Ton considère le travail, en un grand nombre d'éléments tels que CD, assez petits, pour que chacun d*eux puisse se considérer comme une ligne droite, et que la force reste sensiblement constante en grandeur et en direction pendant le temps très court où il est franchi.

Dans ces conditions, le travail pour chacun de ces éléments est donné par la définition précédente : c*est le produit de la

TRAVAIL MÉGANIQUE - ÉNERGIE 13

longueur t de Télément par la projection de la force F sur sa direction; ce travail est appelé travail élémentaire. Si w est sa valeur, F la valeur numérique de la force et a l'angle que fait celle-ci avec la direction de l'élément, c'est-à-dire avec la tangente M K menée au point où se trouve le mobile M, et dans le sens du mouvement, on a la relation :

(4) u; = F t cos a ou ti; = F t'

t' étant la projection de l'élément t sur la direction de la force. Le travail élémentaire étant ainsi défini, on prend pour définition du. travail total entre A et B la somme algébrique des travaux élémentaires ii;|, w^, 11^3. •. tUn dans les n éléments qui constituent AB (*). D'après cette définition la valeur W de ce travail est donnée par

(5) W = Wi -f- w, + Ws + ... w» = 2

(1) En toule rigueur, la valeur du travail W est là limite vers laquelle teadent les valeurs de U somme des travaux élémentaires, quand, le nombre des éléments croissant indéûniment, la longueur de chacun d'eux tend rers séro. On a constamment, dans l'analyse mathématique, à faire une opération de ce genre. On démontre que la valeur limite d'une pareille somme ne change pas, si l'on en remplace les termes par d'autres dont les rapports aux précédents tendent vers l'unité, quand ces termes tondent vers zéro. Ainsi, dans le cas actuel, nous pouvons chercher la valeur limite de la somme, en considérant, dans tout l'élément, la force comme gardant la grandeur F, et It direction a qu'elle ne possède réellement qu'au commencement de cet élément; ou bien, chercher cette limite, en considérant, dans tout l'élément, la force comme ayant la grandeur F', et la direction a! qu'elle n*a réellement qu'à la fin de l'élément. Dans le premier cas, le travail élémentaire est

F' Ê. ctm fJ

Ficosa; dans le second, F'ccos a'. Le rapport de ces deux termes ,,

r c ces a

F' cos a' ou tend vers l'unité quand e tend vers zéro, puisque F' devient

F cos a

égal à F, et a' à a: les limites des deux sommes ont la même valeur. On

peut encore évidemment considérer, dans tout l'élément, la force comme

ayant une grandeur ou une direction intermédiaire entre les grandeurs et les

directions initiales et Anales; la limite de la somme ne change pas. Ainsi

cette limite est parfaitement déterminée, quel que soit le mode de calcul

employé.

UVRS PREMIER. -^ CHAPITRE PREUf 1ER

(le 8igno ^ représentant U|ie somaiQ algébrique de termes semblables) ; ou bien

W = 2f* CCS a = 2f«'

Pour faire bien comprendre cette définitiony indiquons la valeur du travail dans quelques cas particuliers.

Supposons d'abord qu'une force soit constamment perpendiculaire à rélément de trajectoire décrit par son point d'application: chaque travail élémentaire étant nul, le iravail êoiatesiauL Ainsi, quand on fait tourner en oercle un corps tenu par une corde dont l'extrémité est fixée en un point (centre du cercle), k fbrce qui agit sur le corps, et rend le mouvement circulaire, est la tension de la corde. Cette force, étant dirigée suivant le rayon du cercle, est constamment perpendiculaire à la tangente au point où se trouve le corps : le travail de la tension de la corde est nul. Il existe encore d'autres forces do résistance qui sont toujours perpendiculaires aux éléments de trajectoire parcourus par le mobile. Par exemple, la résistance d'une surflaice solide sur laquelle le corps est astreint à rouler est une force normale à la surface : cette résistance n'accomplit aucun iravail.

Autre exemple. — Une (broe F constante en grandeur et en

direction (flg. 4) a son point d'application qui se déplace suivant une courbe AB quelconque.

Quel est le travail accompli pendant le trajet AB ?

Pour le trouver, considérons un élément CD de la trajectoire ; soit t sa longueur. Projetons cet élément sur une droite PP' parallèle à la direction constante de la force F ; soient cd cette projection et t' sa longueur. La

Fi6. 4.

travail élémentaire de l'élémeot CD est égal à ¥%\ Si nous désignoDs par t\ t'^ §'3 ... t\ la projection sur PP des n éléments suivant lesquels on a décomposé AB, on a pour le travail total W :

W = Fe\ + Fe', + Fe'3 + ... + Fe'»

ou, en mettant F en facteur commun :

or, la parenthèse représente précisément la longuem' ^ de la projection de l'arc AB sur la droite PP ; d'où :

Le travail dune force constante en grandeur et en direction est égal au produit de cette force par la projection sur sâ direction du chemin parcouru, que ce chemin soit une ligne droite ou une ligne courbe. C'est la généralisation de la proposition que nous avons démontrée plus haut quand la trajectoire est une ligne droite.

Ainsi, soit qu'un corps tombe en ligne droite suivant la verticale, soit qu'il tombe en ligne courbe, comme cela arrive quand il est lancé obliquement, ou qu'il glisse sur une surface rouribe, le travail accompli par le poids, force constante en grandeur et en direction, s^obtiendra toujours en multipliant ce poids par la hauteur de chute (projection du chemin parcouru sur la verticale). Si le corps descend, ce travail est positif; s'il remonte, le travail est négatif. Si le corps, après avoir descendu, remonte à la même hauteur, le travail total est nul; car le travail positif de la descente égale exactement le travail négatif de la montée en valeur absolue.

Voici un dernier exemple, dont le résultat nous servira quand Dous traiterons de l'Electricité.

Une force F est toujours de même direction, mais non de

môme grandeur, sa valeur numérique étant donnée par la relation

dans laquelle q représente une quantité constante, et r la distance variable de son point d'application M (fig. 5) a un point

FlG. 5.

fixe O pris sur sa direction. Supposons, en outre, que le déplacement du point d'application M de cette force se fasse en ligne droite suivant la direction OMX de la force. Calculons le travail accompli dans une portion AB du trajet; pour cela, nous allons chercher la valeur du travail élémentaire dans un élément CD du parcours. Soient r la distance OC et r' la distance OD ;

la force au commencement C de l'élément a pour valeur ^ ;

à la fin D, sa valeur est p^. Comme nous Tavons vu (note de

la page 13), nous pouvons, dans le calcul du travail total, reganler la force comme constante dans toute retendue de l'élément, cette valeur constante étant, soit la valeur initiale -^ ,

soit la valeur finale ■^., soit toute autre valeur inteimédiaire

entre ces deux-là, puisque toutes ces valeurs deviendrorit égales <|uand la longueur de Félément tendra vers zéro à la fin du calcul. Pour faciliter celui-ci, choisissons pour valeur constante

la moyenne gc'omélriquc ( \/ rj X "/t = "7^ ) ^^^^^ 1" valeur

finale et la valeur initiale de la force. Le travail élémentaire w aura pour expression :

= ^(^-r) = -^ir^-r) = ±--^

Si tt^i, ic^,, ic^3 • . . Wn représentent les travaux élémentaires dans les n éléments en lesquels on a décomposé AB, si ''ot^if ^2 9 fa . . .fn-i expriment les distances au point 0 du commencement de chacun des éléments, et, par conséquent^ ^«^it^3) • • • fn- 1, fn celles de la fin de chacun d'eux, on a diaprés la formule ci-dessus :

Wi =

A A tt •

rs

rn-^

d'où pour le travail total W :

W = w^+w^+w^ + .... + Wn = '^—z:

(les termes - - ,...,2. disparaissant dans la somme). Or, r© et fn sont les distances des extrémités A et B du parcours au point 0. Cette expression ï — ? gardant la môme valeur, quelque petite que soit la longueur des éléments considérés,

représente en toute rigueur le travail total de la force entre A et B.

2. TRAVAIL D'UNE FORGE CENTRALE. — On appelle force centrale une force dirigée toujours vers un même point [centre)^ quelle que soit la position du mobile sur lequel elle agit, et dont la valeur ne dépend que de la distance de son point d'application au centre.

La nature nous fournit beaucoup d'exemples de forces centrales; ainsi, Tattraction qu*exerce le soleil sur la terre est une force toiyours dirigée vers le centre du soleil, et variant en raison inverse du carré de la distance de la terre à celui-ci : c'est une force centrale.

Voici un théorème très important sur le travail d'une pareille force.

Le travail dune force centrale, dont le point d application se

déplace dune façon quelconque, ne dépend que de la distance

initiale et de la distance finale de ce point dapplication au

centre.

Ainsi soit 0 le centre (fig. 6), A la position initiale, et B la

position finale du point d'application, qui parcourt l'arc ACB; le travail accompli sera le même que si le mobile part de A' et va en B' en décrivant l'arc A'C'B', pourvu que A et A' se trouvent à la même distance de 0 ainsi que ' .. B et B' («).

En particulier, le travail est le même quand le point d'application va du point A au point B quel que soit le chemin parcouru.

Si le travail accompli est positif quand le point d'application s'éloigne du centre 0 (ce qui aura lieu si la force émanant de 0

Fie 6.

(1) Pour démontrer ce théorème, menons un certain nombre de sphères ayant 0 pour centre (flg. 6), dont It première passe par A et A' et la der-

TRAVAIL MÉGANIQUE — ÉNERGIE 19

est répulsive) t le travail sera négatif quand le point d'application se rapprochera de 0. Si, au contraire, pendant Téloignement le travail accompli est négatif (ce qui aura lieu si la force émanant de 0 est attractive), pendant le rapprochement il sera positif.

Par conséquent, si le point d'application, après avoir voyagé, revient à la même distance du point 0, le travail total est

nul.

En particulier, quand le point d'application revient à son point de départ après avoir parcouru un chemin quelconque, le travail total est nul.

3. TRAVAIL DE LA RÉSULTANTE. — {o Le travail de la résul^ tante de deux ou de plusieurs forces appliquées en un même point est égal à la somme algébrique des travaux des composantes.

Ce théorème se démontre immédiatement en remarquant que la projection r de la résultante R sur la direction X'MX

nière par B et B'; ces surfaces sphérîques, que nous prendrons nombreuses ei de rayons voisins', découpent les arcs ACB et A'C'B' en un certain nombre d'éléments. Or, le travail élémentaire accompli par la force centrale en décrivant deux éléments tels que CD et CD', compris entre deux mêmes surfaces sphériquee (éléments correspondants), a la même valeur. Pour le voir, remarquons d*abord que la force en CD et en CD', ayant son point d'application à la même distance de 0, a la même valeur numérique F. Menons maintenant les rayons OCd et OC'cT, et traçons les arcs de grand cercle Dd et D'cT {d et (f étant les points où les rayons OCd et OC'd' percent la sphère, passant par D et D'); Cd et C'(/' sont les directions de la force pour les éléments CD et CD'. Or, les côtés Dd et CD du triangle curviligne CDd étant très petits , peuvent se considérer comme rectilignes, et Dd se confondant avec la tangente à l'arc de cercle est perpendiculaire au rayon OCd; ce triangle est donc rectangle en (/, et Cd est la projection sur la direction de la force de Télément CD. On a ainsi pour la valeur du travail élémentaire : «r = F X C</. De même pour Télément CD' on a : a^ = F X G'd'. Mais Cd = Cd'f puisque ce sont des portions de rayons contenus entre deux mimas sphères concentriques; d'où w = uf. Les deux arcs ACB et A'C'R eontanant un même nombre d'éléments correspondants, pour lesquels le travail élémentaire a la même valeur, les travaux de la força suivant les deux parcourt sont égaux entre eux.

(fig. 7) de l'élément parcouru est égale à la somme algébrique des projections a, b^ c ... k des composantes A, B, C .. K,

r = a + b + c + + jfc

en multipliant par e (longueur de Télément) les deux membres de cette égalité, on a :

r« = rt€-ffr« + ce-f- + '«

ce qui indique que le travail élémentaire r e de la résultante égale la somme algébrique des travaux élémentaires a c, ft c, ce,... fc c des diverses composantes. Il en est donc de même du travail total.

FlO. T.

En particulier, quand plusieurs forces appliquées en un même point se font équilibre, la somme algébrique des travaux do ces diverses forces est nulle puisque, leur résultante étant nulle, son travail est nul.

TKAVAIL MÉCANIQUE — ÉNERGIE Si

Si les forces qui se font équilibre se réduisent à deux, elles sont égales, de même direction et de sens contraires : si Tune accomplit un certain travail positif, Tautre accomplit un travail négatif égal au précédent en valeur absolue.

Ainsi, quand on soulève un poids de 1 kilogramme à un mètre de hauteur avec une force à peine supérieure à 1 kilogramme, cette dernière force accomplit un travail positif à peine supérieur à un kilogrammètre, tandis que le poids accomplit un travail négatif d*un kilogrammètre.

2* Le travail de la résultante de plusieurs forces parallèles appliquées à un corps de forme invariable est égal à la somme algébrique des travaux des composantes.

Il sufQt de faire la démonstration de ce théorème pour un déplacement infiniment petit des points du système, car, s'il est vrai pour les travaux élémentaires, il sera vrai évidemment pour le travail total.

Considérons d*abord le cas de deux forces f et f (fig. 8), parallèles et de même sens, appliquées en A et en B. On sait que la résultante sera égale à leur somme (f -f- /), et appliquée en un point G de la droite AB donnée par la relation :

CA f CB"~ f

Supposons qu'il se produise un déplacement élémentaire des points A,B,C, que ceux-ci viennent en A', B', C, et que ces déplacements soient assez petits pour que les forces restent les même en grandeur et en direction.

Projetons les points A,B,C et A',B',C' sur une droite XY parallèle aux forces, soient a,fr,c et a!^b\(f ces projections; on a :

^^ cb~CB~f ^G'iy~db'

D'ailleurs les travaux élémentaires des forces f et f sont respectivement aa! X f eibb' X f\ et leur somme est égale à :

ad X f + bb' X r = («' + c'a' —ca) f+{ccf + cb—(fb') f = {c'a! X f— fV X n - (ca xf~cbX f) + C(f {f+ f)

Fie. 6.

Or, en vertu des relations (1) on a :

(fa'Xf—cfb' xr=0, caxf-cbxf = 0.

Il resto donc cd (/*+r)f ^^ 4^^ représente bien le travail de la résultante.

Dans le cas où les deux forces sont parallèles et do sens contraires, une démonstration analogue conduit au même ré* sultat.

Il est évident, d'après cela, que le théorème s'étend à un nombre quelconque de forces parallèles, car, pour avoir la résultante Qnale, on commence par composer deux des forces, puis

on compose leur résultante avec une troisième force, et ainsi de suite.

Enfin, on sait que des forces en nombre quelconque agissant sur un corps solide peuvent être remplacées par le système d'une force résultante et d'un couple résultant. On déduit des théorèmes précédents que la somme des travaux des forces est égale à la somme des travaux de la résultante et du couple résultant. En définitive, on peut remplacer un système de force par un autre équivalent au point de vue mécanique, sans changer la somme des travaux des forces, dans un déplacement quelconque du corps.

4. FORGE VIVE. — Quand un corps a tous ses points animés de la même vitesse v, on appelle force vive de ce corps le produit mt^ de sa masse m par le carré v^ de sa vitesse.

Si la vitesse du corps croît, la force vive croît ; si elle diminue, la force vive diminue. Pour une même vitesse, la force vive est d'autant plus considérable que la masse est plus grande.

Quand un corps est composé de parties ayant des vitesses différentes, on décompose le corps en parties assez petites pour avoir la même vitesse dans toute leur étendue ; chacune de ces petites masses a une force vive définie comme ci-dessus, et la force vive totale du corps est la somme de la force vive de cbst^ eune de ses parties.

Même définition pour un système de plusieurs corps, dont la force vive totale est la somme des forces vives de chacun des corps.

La force vive est une quantité toujours positive^ car elle est la somme de termes qui sont le produit d'une masse, quantité toi^ours positive, par le carré d'une vitesse, qui est toiyours positif, que la vitesse soit positive ou négative.

La force vive n'est pas une force^ suivant le sens précis qu'on attache à ce mot. C'est une grandeur qui est une des formes de V énergie que nous définirons plus loin. Elle exige donc une unité particulière pour être mesurée.

Quand Tunité de masse et l'unité de vitesse sont fixées, l'unité de force vive est aussi déterminée : f unité de force vive est la force vive de f unité de masse animée de f unité de vitesse.

6. THÉORÈME DES FORGES VIVES. — Une relation des plus importantes existe entre le travail mécanique et la force vive.

En voici l'énoncé, dans le cas d*un point matériel soumis à l'action d'une seule force.

La variation (augmentation ou diminution) de force vive dun point matériel est égale au double du travail produit par la force qui agit sur ce point pendant le temps considéré.

Si Vo est la vitesse initiale du point matériel, t; sa vitesse finale et m sa masse, sa force vive initiale est mvo^, sa force vive finale est mv*; si W est le travail accompli pendant ce temps par la force qui agit sur le point, le théorème s'exprime par la relation :

mffl — mV = 2W (0

(1) Voici la démonstration de ce théorème. Soit M un point mobile de masse décrivant une trajectoire quelconque sous rinfluence d'une seule force,

quelconque du reste.

Soit un élément CD (flg.9)de la trajectoire assez petit pour pouvoir considérer la force comme constante, en grandeur, et en direction, dana son parcours; soit F la valeur de cette force CL et a l'angle qu'elle fait avec la tangente CT à la courbe en C.

Appelons 6 le temps employé par M pour fïranchir CD.

Si la force F agissait sur le mobile M partant sans vitesse du point C, le mouvement serait uniformément •eoéliré dans la direction CL de la force, et en désignant par J Taccéléra-

F tion, la vitesse acquise an bout du temps 0 serait >0; et comme i = -- en

m appelant a la valeur de cette vitesse, on aurait :

Fio. 9.

Mais comme, en réaUU, le mobUe M possède en C une vitesse s dans la

Quand le travail est moteur, W est positif, et ronamv'>m»o* ou v^Vo en valeur absolue; le point matériel a augmenté de

direction de la tangenle CT, en vertu du principe que Veffet d'une forée est indépendant du mouvement antérieurement acquis, la vitesse v' du mobUe en D s'obtiendra en prenant la résultante GJ des deux vitesses CH(^^ et GK(^a) suivant la règle du parallélogramme. Or, l'angle THJ, égal à TCK, a pour valeur a; on a donc dans le triangle CJH la relation :

C J = CH + H J + 2CH X H J cosot oa

F*6* Fe (2) v'*=sv* + a*'\-2avcosaL = v*-\- — r+2 — vcoaoL

en multipliant les deux membres par la masse m du mobile, pour introduire la fbrce vive, on a :

P) mtf*—mv*= h^FOvcosa

D'autre part, en appelant c la longueur de l'élément CD, on a pour le travail élémentaire w:

(4) w = Fecosoc

Divisons membre à membre (8) et (4), il vient :

. mr'*— mw» F6« , -»e 2»/ Fe \

(o) ^ 1- 2 — =? rr I 1 4- — ^-^ I

te; mccosoc c /t\\ ^2t;mcosa

Si maintenant nous faisons tendre vers zéro la longueur c de l'élément, • tendra vers zéro, et - tendra vers la vitesse v du mobile en C, par définition; en outre la parenthèse se réduit à son premier terme; on a donc:

(D) Jim. = 2.

Soit maintenant un arc de trajectoire AB, décomposons le en n arcs ^» 2>5»4,..,ii; soient ifQ, fiifitr,,..., »„__! les vitesses du mobile au commence, ment de chacun des arcs, et Vn la vitesse à la fin du dernier, c'est-à-dire

vitesse. Quand, au contraire, le travail est résistant, W est négatif, et Tona rnv*<mvo*, ou t;<t;oen valeur absolue : le point matéiiel a diminué de vitesse.

Dans le cas où plusieurs forces agissent sur le point matériel, comme elles ont même point d'application, on peut remplacer toutes ces forces par leur résultante. Or, la variation de force vive est égaie au double du travail de cette résultante ; mais comme celui-ci est égal à la somme des travaux des composantes, le théorème montre que : la variation de force vive dun point matériel est égale au double de la somme algébrique des travaux des forces qui agissent sur ce point pendant le

temps considéré (mv* — mt;o*=2^W).

Avant d'aller plus loin, montrons l'utilité de ce théorème eo en faisant une application.

in B. Soient W|, tr'^, tc^^, • . . ,tf^,| les travaux élémentaires pendant chacun de ces ares. Les fractions

m»,* — mvQ* mv^ — m»i* mvn * — mv*n-\

tendent vers la valeur 2 quand, n croissant indéfiniment, chacun des arcs leod vers zéro : nous pouvons, par conséquent, prendre ces arcs assez petits pour que les fractions soient toutes positives. Formons alors la ftraction

mvn* — mr.*

ayant pour numérateur la somme des numérateurs des fractions précédentes, et pour dénominateur la somme des dénominateurs. On sait que sa valeur est comprise entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite des ftrmetloBs précédentes. Elle tend donc aussi vers 2, quand, le nombre des ares augmentant indéfiniment, leur longueur tend vers zéro. Or, par définition, (tCi + K's + tt;, -f- . . . + i^n ) devient alors le travail total W pendant le parcours de A à B; on a donc:

Mrn'~«ro' a W

OQ

(7; m»„t ai„^t =:tW C.Q.F.D

TRAVAIL MÉGANIQUE — ÉNERGIE

Supposons un point matériel soumis à son poids et tombant suivant une courbe AB (flg. 10). Quelle est la vitesse v acquise en B si Vq est sa vitesse en A.

Le travail W de la pesanteur est donné, comme nous l'avons vu (p. 15), par

W = pe

p étant le poids du mobile, et e la hauteur Ab de la chute. Il est positif si B est au-dessous de A, négatif dans le cas contraire On a donc :

FiG. 10.

mtfl — mvo* = àz2pe

Or, p:=mg, si g désigne Taccélération du mouvement uniformément accéléré que prend le corps lorsqu'il tombe en chute libre ; on a donc :

rrnfl — mV = rt imge

ou

ffl = Vo^± 2ge

Le signe -{- convenant si B est au-dessous de A ; le signe — dans le cas contraire. Si Vq est nul, et par conséquent B audessous de A, on a:

On trouve ainsi pour v la même valeur que dans le cas d'une chute rectiligne.

Ce résultat subsiste encore si le corps roule ou glisse sans frottement sur une surface courbe. En effet, outre la pesanteur, il y a bien à considérer la résistance de la surface ; mais, conmie cette dernière force est toigours normale à la trajectoire, elle n^iccomplit aucun travail, et les formules ci-dessus sont appli-

cables. Ainsi, quelle que soit la courbe décrite par le mobile, la vitesse qu'acquiert dans sa chute un corps qui part du repos est toujours la même pour une même hauteur de chute.

Enfin, abordons le cas le plus général du théorème des forces vives, celui où un corps, ou un système de corps, est soumis à des forces quelconques. Un pareil système peut toigours être considéré comme un ensemble de points matériels à chacun desquels s'applique la relation fondamentale indiquée plus haut. On a donc, en appelant t^oSt^o'^tt^o'''***' ^^^ vitesses initiales; 1^,1^',

»"'..., les vitesses finales de ces points ; J^ W, ^ W ,

lu

les sommes des travaux des forces agissant sur chacun des points; et enfin m', m", m'"..., leur masse:

mV» — m'vo'* = 22 W

m"'if"* — m"'t»o"'» = 22 W

et, en «joutant membre à membre :

I Il ni

De là cet énoncé le plus général du théorème des forces vives :

La variation de force vive dun système de corps est égale au double de la somme des travaux de toutes les forces agissant sur les divers points du système.

Si la somme des travaux des forces est positive, on a Vj> V| : la force vive du système augmente. Si la somme des travaux des forces est négative, on a V^ < V| : la force vive du système diminue. Si enfin la somme des travaux des forces est nulle, Vj = V| : la force vive conserve la même valeur.

Pour montrer, dès à présent, l'importance de ce remarquable théorème, le plus fécond de la mécanique en conséquences immédiatement utiles, faisons en une application au choc de deux corps.

Un boulet de canon possède une masse m et une vitesse v; sa force vive est mv^. Si aucune force ne vient à agir sur lui, il conservera indéfiniment sa vitesse, sa force vive. Pour Tarrèter, il faut diminuer celle-ci jusqu'à zéro, et, par conséquent, faire agir des forces dont la somme des travaux soit négative, des forces résistantes. Par exemple, s*il choque un mur, il rencontre immédiatement une force en sens inverse du mouvement : la résistance du mur. Mais, pour que cette force puisse produire un travail, et un travail négatif, il faut que son point d'application, c'est-àdire le boulet, se déplace en sens inverse de la force ; car, quelque grande que soit celle-ci, son travail serait nul si le boulet s'arrêtait court dès qu'il y est soumis. Il doit donc pénétrer dans le mur, en le disloquant (*), jusqu'à ce que la somme des travaux des forces résistantes soit devenue égale à la moitié de sa force vive initiale ; celle-ci étant alors complètement dé-

(1) Si le corpt qui frappe le mar ne possède qu'une faible force vive, It déformation, qui se produit nécessairement au moment du choc, peut, dans certains cas, ne pas dépasser la Umite d'élasticité et n'être que temporaire. Alors, quand la force vive du mobile est détruite par le travail négatif des forces élastiques mises en jeu dans le choc, celles-ci, en faisant reprendre aux deux corps leur forme primitive, accomplissent un travail positif, et l'ensemble des deux corps prend une certaine force vive. Si le corps choqué reste immobile, le corps choquant possède toute la force vive; il prend une vitesse de sens contraire à sa vitesse primitive : il rebondit.

truite, le boulet devient immobile. On voit, parla, que l'efTet destructeur d*un boulet, mesuré par le travail mécanique nécessaire pour Tarrèter, est proportionnel à sa force vive ; c'està-dire : 1® à sa masse 122; 2® au carré v* de sa vitesse. Un boulet animé d'une vitesse double d'un autre, produit un effet destructeur quadruple, s'il possède la même masse.

Si, en outre, le boulet est animé d'un mouvement de rotation sur lui-même, sa force vive est augmentée de la force vive de rotation et, à égalité de vitesse de translation, il produit un effet destructeur plus grand.

Pour les mêmes raisons, les dégâts causés par un train de chemin de fer, qui rencontre un obstacle sur la voie, sont d'autant plus considérables que sa force vive est plus grande : le danger d'un train en marche croit comme le carré de sa vitesse. Si deux trains se rencontrent, l'importance des dégâts dépend de la somme de leurs forces vives totales.

Pour bien montrer que l'effet de la force vive ne saurait être remplacé par l'effet d'une force, considérons l'action de Tune et de l'autre pour enfoncer un pieu.

En chargeant d'un certain poids la tête du pieu, on peut l'enfoncer en terre; mais celui-ci cesse de pénétrer dans le sol, dès que la force de résistance devient égale au poids mis sur la tête du pieu augmenté du propre poids de celui-ci. On peut, à ce moment, ôter le poids, puis le remettre sans choc, on n'enfoncera pas le pieu davantage.

Au lieu de faire agir une force sur le pieu, soumettons-le a l'action d'un corps possédant une certaine force vive; frapponsle avec un marteau ou un mouton : le pieu s'enfoncera de nouveau, et il en sera toigours ainsi à chaque coup.

6. TRAVAUX DES FORCES INTÉRIEURES. — Un corps, ou un ensemble de corps peut se considérer comme un système de points matériels soumis : 1"* à des forces s'exerçant entre les points du système pris deux à deux ; en vertu du principe que V action égale la réaction, celles-ci sont égales, de sens contraires, dirigées suivant la droite joignant les deux points, et no dépendent en grandeur que de la distance de ces points; nous les appellerons forces intérieures \ 2* à des forces provenant de l'action de

TRAVAIL MÉGANIQUE — ÉNERGIE 81

corps étrangers au système ; nous les appellerons forces exiérieur es.

Ainsi, supposons qu'un corps pesant soit suspendu par une corde ; les différents points de ce corps, qui sera le système considéré, sont soumis à leur poids force extérieure, puisqu'elle émane de la terre, qui ne fait pas partie du système ; ils sont soumis, en outre, à des actions moléculaires empêchant les différentes parties du corps de se disjoindre sous Teffet de leur poids, qui tend à détacher les particules inférieures des particules supérieures; ces forces moléculaires sont des forces intérieures.

Généralement la grandeur, la direction, le sens même de ces forces intérieures nous sont inconnus, et, par conséquent, le travail de chacune de ces forces en particulier, quand leurs points d'application sont en mouvement, nous est également inconnu .

Pourtant, dans le théorème des forces vives, les travaux de ces forces intérieures doivent entrer en ligne de compte aussi bien que les travaux des forces extérieures. Heureusement le calcul de la somme algébrique des travaux des forces intérieures, qui est précisément ce qu'il importe de connaître, est souvent facilité par un théorème dont voici l'énoncé.

La somme algébrique des travaux des forces intérieures dun système ne dépend que des positions relatives des divers points matériels du système au commencement et à la un du mouvement considéré (^). Elle ne dépend nullement des positions intermé-

(1) Pour démontrer ce théorème, il suffit évidemment de faire voir que la somme algébrique des travaux de deux forces dues aux actions mutuelles de deux points l'un sur l'autre ne dépend que de leur distance initiale et de leur distance finale; car alors les travaux des forces agissant entre les divers points du système ne dépendront que des distances initiales et finales de ces points.

Pour cela, remarquons d*abord que, lorsque le point d'application A (fig. H) d'une force F subit un déplacement A A' assez petit pour que la force

8t UVRE PREMIER. — CHAPITRE PREMIER

diaires. Si, dans deux transformations différentes du système, les positions initiales et les positions finales des divers points,

paisse se considérer comme coastante en 'grandeur et en direction dans tout rintervaUe, le travail élémentaire a la même valeur, quel que soit le petit chemin parcouru par le point d'application pouraller de A en A*. Car ce travaU s'obtient en multipliant la valeur constante de la force par la projection do chemin parcouru sur sa direction, constante aussi ; or, tous les chemins qu commencent et finissent en deux mêmes points A et A' ont même projection sur une droite quelconque. Puisque, dans le calcul des travaux élémentaires des forces F et F' appliquées en A et B, peu importe le chemin parcouru par ces points d'application pour aller des positions initiales A et B aux finales A' et B', supposons que d'abord B aille en B' par la ligne droite BB' et que A décrive, en même temps, une droite AA'i égale et parallèlô à BB' de façon que la figure ABB'A'i soit un parallélogramme. Dans ce premier déplacement le travail de F' sera + f \Bb ei \e travail de F sera — ^ X Aa {f étant la valeur commune des deux forces F et F', Aa et B^ étant les projections de AA'i et de BB' sur AD) ces deux travaux étant évidemment de signes contraires. Leur somme algébrique est :

f (B6 — Aa) or on a B6 = Aa, car les deux triangles rectangles AA'iS et BB'6 sont égaux, comme ayant leurs angles respectivement égaux, et les hypoténuses égales. Donc la somme algébrique de ces deux travaux est nulle. Amenons maintenant le point d'application de la force F de A'i h la position finale A\ sans faire varier le point d'application de F\ Le travail de F dans ce dernier déplacement, en vertu du théorème sur les forces centrales, ne dépend que de la distance initiale B'A'i (égale à BA) et de la distance finale B'A'« La somme des travaux élémentaires des deux forces F et F', dans le déplacement, se réduisant à ce dernier travail, ne dépend donc que de la distance initiale et de la distance finale des points d'application de ces forces.

Par conséquent , si c est la diminution de distance des points d'application A et B des forces F et F' pendant un déplacement élémentaire, la somme des deux travaux élémentaires est toujours égale à /ii, puisque, si A était resté fixe, et si B s'était rapproché de A de la longueur très petite e suivant la droite BA, le travail de la force F aurait été nul, et celui de F' égal à ft. On voit par là que, lorsque les forces F et F' sont attractives, la somme des deux travaux élémentaires est positive si la distance AB diminue, négative si elle augmente; c'est l'inverse quand les forces F et F sont répulsives.

Le théorème, démontré pour les travaux élémentaires, s'étend au travail total dans un déplacement quelconque des points d'application. En effet, deux déplacements différents, où les distances initiales et finales sont respectivement les mêmes, peuvent se décomposer en un même nombre de déplacements élémentaires correspondant aux mêmes variations de distance. Dans les deux cas, les travaux élémentaires correspondants ayant la même valeur, leur somme algébrique est aussi la même.

l68 uns par rapport aux autres, sont respectivement les mêmes, la somme algébrique des travaux des forces intérieures est exactement la même, bien que, pour passer de Tétat initial commun à Tétat final commun, les chemins aient été tout difl'érents.

En particulier, si le système n'a pas subi de déformation^ c'est-à-dire, si les positions relatives au commencement et à la fin du mouvement de ses divers points sont identiques, la somme algébrique des travaux des forces intérieures est toujours nulle. Car, on peut passer de Tétat initial à Tétat final, qui est le même, sans déplacer aucun des points ; auquel cas, les travaux des forces intérieures sont évidemment nuls.

Nous ferons un grand usage de ce théorème ; il sert de fondement théorique à toute la calorimétrie et, en particulier, à la thermochimie.

7. ÉHEROIE. — On appelle énergie potentielle d'un système dans un certain état la valeur maximum que peut atteindre la somme des travaux des forces intérieures du système dans ses transformations possibles à partir de tétat considéré.

Comme dans une transformation qui ramène le système à l'état initial la somme des travaux des forces intérieures est nulle, on voit que l'énergie potentielle est une quantité égale ou supérieure à zéro ; autrement dit, c'est une grandeur toujours positive.

Désignons par 1, 2 et 3, trois états différents d'un même système. Soit X la somme des travaux des forces intérieures dans le passage de l'état 1 à l'état 2 ; soient U| et u, cette somme dans le passage de l'état 1 à l'état 3, et dans le passage de l'état 2 à l'état 3 ; on a la relation :

puisque, la somme des travaux des forces intérieures U| en passant de l'état 1 à l'état 3 étant indépendante de la manière dont s'effectue la transformation, on peut d'abord faire passer le système de l'état 1 à l'état 2, d*oii le travail X, et ensuite de l'état 2 à rétat 3, d'où le travail u,.

Ainsi, pour deux mêmes états 1 et 2, la difTérence U| — ci,, toujours égale à X, reste constante, quel que soit l'état 3. Il en résulte que, quand cet état 3 est tel queU| possède sa plus grande valeur possible, et, par conséquent, représente Ténergie potentielle Ui de Tétai 1, u, possède aussi sa valeur maximum et représente rénergie potentielle U, de l'état 2 ; on a donc :

d'où:

c'est-à-dire, qu'on obtient la quantité de travail accompli par les forces intérieures, dans le passage d'un premier état à un second, en retranchant de l'énergie potentielle du premier état celle du second.

Si l'on a U| > U^ ce travail X, accompli par les forces intérieures, est positif ; si U| < U, ce travail est négatif. Par conséquent, lorsque les forces intérieures accomplissent un travail positif, l'énergie potentielle diminue; quand les forces intérieures accomplissent un travail négatif, f énergie potentielle augmente.

On appelle énergie actuelle la demi-force vive d'un sys-

tème

On appelle énergie totale^ ou simplement énergie^ la somme de rénergie potentielle et de T énergie actuelle du système.

Si E représente Ténergie d'un système, U son énergie potentielle, V sa force vive et, par conséquent, -—- V son énergie

actuelle, on a, d'après ces définitions : ^±) E = lv + U

L'énergie, somme de deux quantités toujours positives, osi une grandeur toujours positive.

TRAVAIL MÉGANIQUE — ÉNERGIE 85

8. RELATION ENTRE LES VARIATIONS D'ÉNERGIE DUN SYSTÈME ET LE TRAVAIL DES FORGES EXTÉRIEURES. — La variation d'énergie d'un système dans une transformation est égale au travail des forces extérieures. — Si ce travail est positif, l'énergie du système augmente. Si ce travail est négatif, Ténergie du système diminue. Si ce travail est nul, f énergie totale du système conserve la même valeur ; ce qui aura lieu, en particulier, si aucune force extérieure n*agit sur le système. Tel est le principe de la conservation de l'énergie, qui n*est qu'une conséquence des principes fondamentaux de la dynamique, comme nous allons le montrer.

En elTet, la proposition que nous venons d'énoncer découle immédiatement du théorème des forces vives. Soient, dans un premier état, V| et U| la force vive et Ténergie potentielle d'un système, et, dans un second état V, et U^les valeurs des mêmes quantités. Soit T la somme algébrique des travaux des forceiS extérieures au système pendant la transformation. Le travail des forces intérieures étant U| — Uj, comme nous Pavons vu, b valeur du travail de toutes les forces agissant sur les divers points du système est U| — U, -|- T; on a donc, d'après le théorème des forces vives :

d'où :

Or ( — V| + U| j est l'énergie totale E| du système dans

le premier état, etf -3-Vj -|- Ujjl'énergie totale Ej dans le second état ; on a donc :

(i) E, — Et = T

ce qui est la relation que nous avons énoncée.

Si T est positif, on a Ej > E| ; si T est négatif, on a E^ < E| , si T = 0 on a E, = E|.

Cette notion de l'énergie est une des plus importantes de la physique moderne, et nous devons, par quelques exemples, la faire bien comprendre.

Supposons qu'une lame flexible soit pincée dans un étau à Tune de ses extrémités : cette lame sera le système considéré. Dérangeons-la de sa position d'équilibre, en écartant son extrémité libre; si l'on abandonne la lame à elle-même, elle revient vers cette position; ce qui montre que des forces intérieures sont nées par suite de ce déplacement, et qu'elles tendent à s'y opposer. En passant de la position d'équilibre à la position écartée, les forces intérieures ont donc accompli un travail négatif: r énergie potentielle du système a augmenté. On a ainsi accru l'énergie totale de la lame en l'écartant de sa position d'équilibre.

Si maintenant , la lame étant écartée, on l'abandonne à elle-même, et qu'aucune force extérieure, capable d'accomplir un travail pendant le mouvement, n'agisse sur elle, celle-ci revient vers la position d'équilibre, tout en conservant la même quantité d'énergie totale. Arrivée à cette position, son énergie potentielle (qu'on pourrait appeler énergie de position^ puisque sa valeur ne dépend que de la position des diflerentcs parties du système les unes par rapport aux autres) a repris la valeur qu'elle avait avant l'écartement ; mais, son énergie totale étant plus grande, il faut que l'augmentation porte sur Ténergie actuelle. En efTet, les diverses parties de la lame sont alors animées de vitesses, qui lui font dépasser sa position d'équilibre, et, par conséquent, possèdent une certaine quantité de force vive.

Ainsi, dans cet exemple, on voit que Ténergie potentielle, qu'avait la lame écartée, s'est transformée en énergie actuelle en revenant vers sa première position.

Dès que la lame, par suite de la vitesse acquise, a dépassé sa position d'équilibre, les forces élastiques tendent à la ramener vers cette position ; ses divers points s'avançant ainsi en sens inverse des forces qui agissent sur eux, celles-ci accomplissent des travaux négatifs : f énergie potentielle augmente. Mais,

comme aucune force extérieure ne produit de travail, Ténergie totale doit conserver la môme valeur : cette augmentation d énergie potentielle se fait donc dMxàé^QXis Aq f énergie actuelle^ de la force vive qui diminue jusqu'à devenir nulle. A ce moment la lame est sans vitesse, elle se trouve écartée de sa position d'équilibre en sens inverse du premier écartement, et elle possède la même quantité d'énergie potentielle qu'alors.

Ainsi, dans ce passage de la position d'équilibre à cette nouvelle position écartée, il se produit une transformation d'énergie actuelle en énergie potentielle.

Inutile d'ajouter que la lame ne reste pas dans cette nouvelle position; elle revient vers la position d'équilibre, la dépasse pour les mômes raisons que ci-dessus, et revient à la première position écartée, en reprenant la même énergie potentielle que dans le premier cas ; et ainsi de suite : ces phénomènes se produisant indéfiniment, la lame accomplit une série de vibrations autour de sa position d'équilibre (^).

Insistons un peu maintenant sur la variation d'énergie qui résulte du travail des forces extérieures.

Quand un système obéit aux forces extérieures qui lui sont appliquées, c'est-à-dire quand les points d'application se déplacent dans le sens même des forces, celles-ci accomplissent un travail positif, et, comme nous Tavons vu, Ténergie du système augmente d'une quantité égale.

On dit, dans ce cas, que le système reçoit un travail. Par exemple, une pierre qui tombe de haut en bas, obéit à son poids, elle reçoit un travail : son énergie augmente. En effet, sa force vive devient de plus en plus grande.

Au contraire, quand un système surmonte les forces exté-

(1) La résistance de Tétau, force extérieure, ne paraît accomplir aucun trarail pendant que la lame vibre par son extrémité libre, puisque Textrémité pincée est fixe. En réalité, il faudrait une fixité absolue pour qu'il en fût rif^ureusement ainsi; comme cela n'a pas lieu, des travaux très faibles sont prodoita qui diminuent continuellement Ténergie totale de la lame. La résistance de Tair produit le même effet. Il en résulte qu'au bout de quelque tonps, tout Texcès d^énergie communiqué par Técartement a disparu, et, la lame, ramenée au premier état, redevient immobile dans la position d'éqoilibrt.

rieures qui lui sont appliquées, c'est-à-dire quand les points d'application se déplacent en sens inverse des forces, celles-ci accomplissent un travail négatif, et Ténergie du système diminue d'une quantité égale.

On dit, dans ce cas, que le système fournit un travail. Un système ne peut vaincre les forces extérieures, ne peut fournir un travail que par dépense d'énergie.

Par exemple, une pierre lancée de bas en haut, surmonte son poids ; en s*élevant elle fournit un travail : son énergie diminue. En effet, sa force vive devient de plus en plus faible.

Il est bon d'expliquer d'où vient l'expression de c fournir un travail », qui, dans l'exemple précédent, peut paraître bizarre. Quand un système A est soumis à des forces émanant d'un système B, réciproquement, B est soumis à des forces égales et contraires émanant de A. Or, parfois (mais pas toujours) les points d'application de l'action et de la réaction conservent la même distance ; dans ce cas, comme nous l'avons vu (g 6), la somme des travaux de l'action et de la réaction est nulle ; par conséquent, le travail des forces émanant de A est égal et de signe contraire au travail des forces émanant de B, et agissant sur A. Si donc ce dernier travail est négatif, le premier est positif. Alors le travail reçu par B est égal au travail fourni par A ; l'énergie do A diminue et celle de B augmente d'une quantité égale.

Ce n'est pas le cas, dans l'exemple d'une pierre qui s'élève ; puisqu'on s'élevant elle s'écarte de la terre sur laquelle elle réagit, et que les points d'application de Taction (poids de la pierre) et de la réaction s'éloignent l'un de l'autre. La terre ne reçoit aucun travail de la pierre ; car, sous l'influence de la réaction, elle ne se meut pas d'une quantité appréciable. Mais faisons remarquer que, si l'énergie de la terre reste la môme, et si l'énergie de la pierre diminue en s'élevant, pourtant l'énergie totale du système formé par la terre et la pierre conserve la même valeur; en effet, pendant l'ascension de cellaci, le système gagne en énergie potentielle précisément ce que la pierre perd en énergie actuelle.

Au contraire, dans l'exemple suivant, où nous serons placés

TRAVAIL MÉGANIQUE — ÉNERGIE 39

dans le cas indiqué plus haut, Texpression générale de c travail fourni » se comprendra aisément.

Supposons un arc tendu (système A) et une flèche (système B) reposant sur la corde. Lâchons celle-ci; en revenant à sa position d'équilibre, elle pousse devant elle la flèche, qui, i son tour, réagit sur la corde. La distance entre les points d'application de l'action et de la réaction reste invariable, tant que la force a^it, c'est-à-dire tant que la flèche s'appuie sur la corde. Aussi tout le travail fourni par l'arc dans ce mouvement est-il reçu par la flèche, et une portion de Ténergie qu'avait l'arc tendu a passé à celle-ci, qui est lancée au loin.

Si dans la formule fondamentale

E, — El = T

on fait E,= 0 ; il vient :

c'est-à-dire, que dans une transformation oii l'énergie totale du système deviendrait nulle, celui-ci aurait fourni un travail extérieur égal, en valeur absolue, à son énergie primitive. De là cette définition de l'énergie, souvent donnée : L'énergie dun système est la plus grande quantité de travail mécanique qu'il peut fournir.

Hais hâtons-nous d'ajouter qu*on ne peut, en réalité, réduire à zéro l'énergie d*un système, et que, par conséquent, la quantité de travail qu'on peut pratiquement en recevoir reste toujours inférieure à son énergie.

9. DES MACHINES ET DE LIMPOSSIBIUTÉ DU MOUVEMENT PERFÉTQEL. — Une machine est destinée à transformer un travail en un autre plus utile pour Thomme.

La machine, quelle que soit la nature de ses organes, que ce soient des pièces solides, des liquides, des gaz qui y soient employés, qu*on fasse intervenir comme agent l'électricité ou le magnétisme, la machine est un système qui reçoit d'une part

un travail {dû à des forces motrices (force musculaire de rhomme ou des animaux, chute d'eau, expansion de la vapeur, etc.)) et de Tautre fournit un travail. Ce travail fourni se divise en deux parties : l** un travail utile, tel que l'ascension d'une pierre ou d'un fardeau par un treuil, tel que celui de la traction d'un train sur une voie ferrée, tel que celui de la désagrégation d'un métal par forage, sciage, rabotage, etc. ; 2® un travail inutile, tel que celui des trépidations ou des frottements des diverses pièces de la machine dans leurs mouvements (^). Ce dernier travail peut être diminué par une bonne disposition des organes, par le graissage ou par d'autres moyens, mais il ne peut jamais être complètement annulé.

Il en résulte que le travail utile est toigours inférieur au travail fourni.

Supposons qu'une machine, ayant fonctionné pendant un certain temps, revienne exactement dans le même état ; c'està-dire, que ses différentes parties reprennent la même position, et que leur force vive présente la même valeur : l'énergie de la machine redevient la môme, puisque son énergie potentielle et son énergie actuelle reprennent respectivement les mêmes valeurs. Par conséquent la somme algébrique des travaux des forces extérieures est nulle ; c'est-à-dire que la machine a fourni un travail exactement égal à celui qu'elle a reçu.

Le travail utile, qui n'est qu'une fraction du travail fourni, est donc toujours inférieur au travail reçu. Ainsi, loin de créer du travail mécanique, une machine ne rend même pas en travail utile tout ce qu'elle reçoit.

Le problème du mouvement perpétuel est donc insoluble ; car sa solution consisterait à trouver une machine qui fournirait indéfiniment du travail utile sans rien recevoir et en revenant au même état, c'est-à-dire, en conservant la même énergie.

(1) Ces flrottements, ces trépidations, ont pour effet de donner naissance à un mouvement vibratoire des organes. Ces vibrations (vibrations sonores ou aoD, vibrations calorifiques ou chaleur), se transmettent au milieu extérieur, au sol, h l'air, aux corps voisins. En transmettant ces vibrations, le système qui constitue la machine accomplit un travail extérieur, puisqu'il déplace de leur position d'équilibre stable, les parUcules du milieu environnant.

TRAVAIL MÉGANIQUE — ÉNERGIE 41

Un moteur i vapeur, pourtant, produit du travail sans paraître en recevoir.

Eu réalité, tout comme une autre machine, le moteur à vapeur reçoit un travail. Celui-ci provient des forces d'affinités qui entrent en jeu pendant la combustion du charbon dans le foyer. Le système formé d'oxygène et de carbone éprouve une diminution d'énergie potentielle par sa transformation en acide carbonique ; d'où résulte la création d'une quantité équivalente de chaleur, qui, ainsi que nous le verrons plus loin, est une des formes de l'énergie. Or, quand la machine à vapeur fournit un travail, une quantité équivalente de chaleur est détruite comme l'ont montré les expériences de M. Him. Ainsi, c'est par l'intermédiaire de la chaleur, que le moteur à vapeur reçoit le travail des forces d'affinités.

Un homme, un animal est une machine du même genre. L'être vivant ne peut pas plus créer de l'énergie qu'un engin mécanique ordinaire. Les aliments jouent le rôle de la houille consommée par la machine à vapeur, et les réactions chimiques dont l'organisme est le siège, le rôle de la combustion qui s'opère dans le foyer.

De rien on ne peut créer de la matière; de rien on ne peut créer de l'énergie.

L'Univers est un vaste système dont la matière et V énergie peuvent bien se transformer en leurs différentes variétés, mais dont la quantité de l'une et de l'autre ne peut ni diminuer ni augmenter (^).

Conservation de la matière^ conservation de F énergie , tels sont les deux grands principes qui dominent le monde physique. C'est l'illustre chimiste français Lavoisier (2) qui a montré la justesse du premier, c'est au physicien allemand Helmholtz qu'est dû le second.

(1) Aucune force extérieure ne pouvant agir sur l'ensemble de l'Univers, son énergie totale doit rester constante.

(2) Antoine-Laurent Lavoisier, né en 1743, mort en 1794, est le fondateur de b chimie actuelle.