ÉNONCÉ DE LA LOI DE COULOMB

B d'un même aimant sur un autre pôle A' sont égales en valeur absolue.

Tout se passe donc comme si A, B, A', B' étaient des points électrisés et si A et B d'une part, A' et B' de Tautre, possédaient des charges électriques -h m et — m^ -+- m' et —m\ deux à deux égales et contraires.

Les aimants sont d'ailleurs sans action sur les corps électrisés immobiles, et réciproquement; il n'y a donc qu'une simple analogie entre les deux sortes d'attractions et de répulsions électriques et magnétiques.

De même qu'on explique les attractions et répulsions électrostatiques par l'hypothèse de fluides électriques, on fut conduit tout d'abord à expliquer les attractions et répulsions magnétiques à l'aide de fluides magnétiques doués de propriétés correspondantes; on n'a renoncé à la considération de ces derniers fluides qu'après la découverte des actions réciproques des aimants et des courants.

Mais, si l'on ne peut plus aujourd'hui attribuer les phénomènes électriques et magnétiques à des causes absolument indépendantes, il demeure légitime de traduire analytiquement l'analogie des actions magnétiques et électrostatiques, par une analogie correspondante des formules, et de définir des quantités physiques qui joueront, par rapport aux actions magnétiques, le même rôle que les quantités d'électricité et le potentiel jouent en électrostatique.

Nous représenterons donc l'action réciproque de deux pôles magnétiques situés à la distance r par la formule

fx et fx' seront les quantités de magnétisme caractéristiques de ces deux pôles. La quantité de magnétisme jul est l'analogue de la quantité d'électricité m. Un pôle austral unité ou un pôle possédant une quantité de magnétisme austral égale à i est celui gulf agissant sur un pôle égal, à l'unité de distance (i*""), produit une force répulsive égale à l'unité de force (i dyne). De même on définira un pôle boréal unité, ou une quantité de magnétisme boréal égale à l'unité.

POTEHTISL D'UHE PARTICULE MAGHÉTiaUE.

gnétique

Le potentiel ma-.

Fig. 3.

est l'analogue du potentiel électrostatique et jouit des mêmes propriétés. La force exercée en un point quelconque de l'espace sur un pôle austral unité placé en ce point a pour

composantes les trois dérivées de ce potentiel prises en signe contraire. Celte propriété résulte delà loi élémentaire (i) des actions magnétiques et de la définition du potentiel. Il est inutile de revenir ici sur la démonstration déjà donnée en électrostatique.

Considérons un petit aimant AB (^g*. 3) dont les deux pôles contiennent des quantités de magnétisme égales à |ji et sont séparés par une distance /. Le potentiel en un point P, dont les distances en A et B sont r et r\ est

Soii £ l'angle de la droite OP qui joint le milieu de l'aimant au point P avec la direction OA de Vaxe magnétique BA. On a, à la limite, quand / tend vers zéro,

ou, en désignant par M le produit ]ul/, que nous nommerons moment magnétique^

> r- — COS£.

IHTEHSITÉ DE L'AIIIAIITATIOH. — L'expérience de l'aiman! hrisé nous a appris qu'un aimant doit être décomposé par la pensée

POTENTIEL MAGNÉTrOUE. 7

en aimants élémentaires dont la dimension échappe à nos procédés de mesure. Proposons-nous de former le potentiel magnétique d*un aimant fmi.

A cet effet, décomposons la masse de Taimant en éléments de volume à l'aide de trois systèmes de plans parallèles et rectangulaires entre eux. Nous admettrons que chacun des éléments ainsi formés est un aimant dont le moment magnétique M est proportionnel au volume dv^=:dxdydz de Télément et à un facteur I, que nous appellerons intensité de l'aimantation au point 0, centre de gravité de Télément. En

d'autres termes, nous admettons que le quotient I =:r -y-> en

un point donné, ne dépend ni de l'orientation des plans coordonnés, ni des dimensions dx^ dy^ dz de l'élément. Nous supposerons enfin que I est en général une fonction continue des coordonnées ^, j, z du centre de gravité 0 de l'élément.

Le moment magnétique M et, par conséquent, l'intensité I de l'aimantation peuvent être décomposés suivant les trois axes de coordonnées; désignons par X, /ul, v les cosinus des angles de la direction du moment magnétique avec les axes, par A, B, C les composantes de l'intensité I; on a

(4) Ar^IX, B^IjUl, D- Iv,

et >., /JL, V sont des fonctions continues des coordonnées.r, 7, ^ du point 0.

POTCmEL MAffHÉnaUE. — Nous avons vu que le potentiel V" d'un aimant élémentaire AB, de moment M, en un point P situé à la distance r, dans une direction qui fait l'angle £ avec la direction BA de l'axe de l'aimant, est

> =r. — -COSfi.

Le petit aimant constitué par l'élément dxdydz fournit donc au potentiel V total de l'aimant complexe que nous considérons en ce moment l'accroissement

(5) d\ :r: — cos£ dxdydz.

Soient Ç, t), ï les coordonnées du point P, extérieur à la mass^ de Taimant,

/•COS£ — À(? — x)-\- iJ.{n — /)-t- v(C— 3), et, d'après (2) et (3),

Cette expression doit être intégrée, en étendant les limites de l'intégration au volume entier du corps:

L'intégration par parties donne

V — r Ta j,dydz -H f fh \dzdx -\- (Ce -dxdy

Les trois premières intégrales doivent être étendues à la surface entière; la dernière, au volume entier du corps.

Soient /, m, n les cosinus des angles que fait avec les axes la direction extérieure de la normale à la surface. La projection d'un élément de surface e/S sur le plan des j^ est /^S, mais elle a aussi pour expression dydz; on a donc

(8) IdS^- dydz^ mdS — dzdx, ndS —" dxdy,

f Ca j,dfdz -: f Cb jdzdx 4- f fc -dxdy

(9) { ^ ^ — / (Al'\-nm~\-Cn)^-dS.

Posons

(10) ^- \/4- Hm -i-C«,

ôx ây âz )

DISTRIBUTIONS SOLÉNOIDALE ET LAMELLAIRE. 9 réqualion (7) devient, d'après (9)» (to) et (u),

(12) \=JJ^dS-^fff^dxdydz.

DISTRIBUnOH nCTITE DU MAGHÉTISME. — aïïAHTITÉ DE MAGNÉ- TISME D'UN AIMAHT. — La valeur (12) de V est identique à relie que l'on obtiendrait en supposant que ce potentiel provient d'une double distribution de pôles ou de matière magnétique, l'une superficielle ÙQ densité a, l'autre solide (c'està-dire étendue à toute la masse) et de densité p. On peut donc, au point de vue analytique, substituera un aimant réel, formé d'aimants moléculaires distribués arbitrairement, mais d'une manière continue, la double distribution fictive do pôles magnétiques (ou de quantités de magnétisme) que nous venons d'imaginer. L'expression du potentiel V, par suite, celle do la force exercée par Taimant en un point quelconque extérieur à sa masse, demeurent les mêmes.

Chaque aimant élémentaire contient des quantités égales de magnétisme boréal et austral, c'est-à-dire une quantité totale de magnétisme algébriquement nulle. Il en est de môme d'un aimant complexe. D'ailleurs, la quantité totale de la double distribution fictive est aussi identiquement nulle .

/ I adS -\- I I j p dx dy dz — ^ f\dydz-\- f f}\dzdx-h f fcdwdy

fim

-7 — h -^ h -T- ) dx dy dz m o.

âx dy dz I -^

DI8TRIBUnOH8 80LÉH0IDALE ET I.AMBI,I.AIRE. — !<> Considérons un aimant très étroit par rapport à ses dimensions longitudinales et dont l'aimantation est dirigée suivant l'axe; l'intensité moyenne de l'aimantation dans une section transversale, multipliée par la section, sera nommée la puissance de l'aimant dans cette section. Si de plus la puissance est la môme dans toutes les sections, l'aimant est un solénoïde magnétique.

Soient fx la puissance du solénoïde, dl un élément de longueur {fig> l\)^ r \'ji distance de cet élément à un point P,

Ê l'angle de r avec la direction de raimantation dn solénoïdc; rélémenl de potentiel en P fourni par Télément dl esl

/■- /•* al

Intégrant depuis r, jusqu'à /*,, on a

Celte expression ne dépend que de la puissance du solénoïdc cl des distances /i, /'t de ses extrémités au point considéré : elle est indépendante de sa fornne. Le potentiel V pourrait être attribué à un aimant réduil à

deux pôles possédant des quanï^ig- 4. (ités de magnétisme -+-|x, — /jl,

^. - * égales et contraires et coïncidani

/^"^ • avec les deux extrémités du so-

lénoïdc.

Si Taxe d'un solénoïde est une courbe fermée, r^ = /j, V zzz o*:

,. le potentiel et aussi la force magnétique exercée en lout point cxiérieur sont des quantités nulles. En effet, les deux polos dij solénoïde coïncident alors, cl leurs effets se noutralisenl exactement.

Lorsqu'un aimant peut être divisé en solcnoïdcs soil fermés, soit terminés à la surface de l'aimant, on dil que l'aimantation est solénoïdale. Puisque les pôles de tous les solénoïdes non fermés sont à la surface de l'aimant, celui-ci porte une distribution de magnétisme libre purement superficielle. D'après l'équation (11), on doit avoir, dans ce cas,

( Ôx dy i)z ~

2^ Une couche mince aimantée transversalement, de lelb» sorle que le produit ^ de son épaisseur e par l'intensité I do

DISTRIBUTIONS SOLÉNOIDALE ET LAMELLAIRE, ii

son aimantation soit constant, s'appelle une lame ou un feuillet magnétique; le produit constant ^ est désigné sous le nom ûe puissance du feuillet.

Soient dS> un élément de surface du feuillet, r la dislance au point P {fig> 5), e Tanglc de /* avec la normale à la lame dirigée de sa surface boréale vers sa surface australe, c'est-à-dire dans le sens de Taimantation; l'accroissement fourni au potentiel V par l'élément c/S est

Mais, en désignant par dil l'angle solide sous-tendu par rfS au point P,

r^dQ=: </S COS£.

Pour que cette expression soit générale, il faut attribuer un signe à l'angle solide dSi, le considérer comme positif ou négatif, suivant que cose est lui-même positif ou négatif, c'est à-diro suivant que le point P est situé du côté de la face australe ou de la face boréale du feuillet. Grâce à cette conven tion, on a en général

d\'^^da,

La constante introduite par l'intégration est nulle, puisque le potentiel V ne résulte que du feuillet magnétique considéré. Q désigne l'angle solide sous lequel le contour limitant du feuillet magnétique est vu du point P; mais cet angle doit être considéré comme positif ou négatif suivant que le point P est placé du côté de la face australe ou de la face boréale du feuillet.

Si le feuillet magnétique est fermé sur lui-même, son contour limitant se réduit à un point et Tangle ^ sous-tendu en un point P extérieur au feuillet et à l'espace qu'il enferme dans sa cavité est nul : il en est de môme du potentiel V produit. L'angle Q est égal à 4^ ^l ï^ potentiel produit par le feuillet est l^-n^en tout point extérieur à la matière du feuillet.

mais compris dans l'espace qu'il enferme. Dans ces deux cas, la dérivée du potentiel du feuillet est nulle; par suite, la force exercée par un feuillet magnétique fermé est nulle en tout point extérieur à sa masse.

Quand un aimant peut être divisé on feuillets magnétiques fermés ou ayant leur contour limitatif sur la surface de l'aimant, l'aimantation est dite lamellaire.

Désignons par U la somme des puissances de tous les feuillets traversés par un point mobile quand il passe d'un point donné au point (j:*, j, z). Le dernier feuillet donne à U Taccroissement ^/U, et, d'après la définition môme des feuillets,

Les trois composantes de l'aimantation sont donc les dérivées d'une même fonction U des coordonnées. Cette propriété peut être considérée comme caractéristique des aimants lamellaires.

ÉHEB6Œ DE POSinOH D'UN AIMAHT. — Cherchons d'abord l'énergie d'un élément magnétique. Soient fx la quantité de magnétisme de ses pôles, ds sa longueur, V et V les potentiels aux points où se trouvent placés son pôle austral et son pôle boréal. D'après la définition même du potentiel, l'énergie ^W de l'aimant est

^/W — iji(V-V'), c'est-à-dire

dW (i6) dW =z fi j^ ds.

Passons au cas général. Soient I l'intensité de l'aimantation au point quelconque P de l'aimanl, X, /jl, v les coefficients de direction de ï : le moment magnétique iids d\in élément ayant son centre en P est

IX ds '--- 1 dxdydz ;

d'ailleurs

, d\ dW dW

ôx ^ Ôy oz

A -XI, B-|jil, C-vï.

AIMANT DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE. i3

II en résulte, pour l'énergie ciémenlaire, Texpression

(i8) ^W ^ f A^ -f- B^ 4- cÇ ^ dxdydz

\ ox ()y oz ) ^

et, pour Taîmant entier,

(19) 1 =1 / Aa/h- Bw -h 00 Vc/S

OU, d*après (10) et (11),

(c«o) W~ r Cy^jâS-h f f fvpdxdydz,

Cette dernière expression peul d'ailleurs ôtre obtenue immédiatement en partant de la formule (12).

AIMAHT PLACÉ DAH8 UH CHAMP MAGHÉTiaUE UNIFORME. — On nomme champ magnétique tout espace dans lequel s'exercent des forces magnétiques.

Si un pôle /x placé en P dans un champ magnétique est soumis à une force ^y on posera

et Ton désignera F sous le nom 6* intensité du champ magnétique au point P. Le champ sera dit uniforme, si F est constant en grandeur et en direction en tous les points du champ.

Quand un aimant invariable (') Il se trouve placé dans un champ magnétique uniforme d'intensité F, la force praenant

(*) Nous faisons abstraction des phénomènes d'induence magnétique, dont il sera question ultérieurement, c'est-à-dire que nous supposons Tintensité de Taimantation en tout point P de l'aimant indépendante de Tinteosité du champ extérieur évaluée au point P.

i4 LES AIMANTS.

du champ qui s'exerce en un point quelconque de Taimant sur Funilé de magnétisme austral est F, et Ton a, d'après les propriétés du potentiel,

V désigne seulement le potentiel dû au champ extérieur; a, p, y sont les cosinus des angles de F avec les trois axes. Posons

/ / I AdxdydzT^pM^ f f flBdxdyd^zi^gM, f f fcdxdydzzzzrM;

dW dV dV , ,

^r— > -T-> -^r- ayant les valeurs constantes (21) en tous les

dx âf oz '^

points de Taimant, l'expression (19) de W devient

(23) W 1^ — MF{px H- 7(3 -h /'•/).

W est l'énergie due à la présence de l'aimant dans le champ magnétique , ou son énergie de position. C'est l'excès de l'énergie totale qu'il possède dans le champ sur l'énergie qu'il posséderait hors du champ. />, g, r peuvent être considérés comme les cosinus des angles que fait avec les axes une certaine direction prise dans l'aimant. Nous nommerons celle-ci Vaxe magnétique de l'aimant R. Soit £ l'angle de l'axe magnétique et des lignes de force du champ; on a

cose --pot -\-g^~\- ry, (2/1) W- — MFcose.

VÉRIFICATION. i5

Puisque F et M sont des conslanles, on a

/}W r)W dW

OJc ôy az

c'est-à-dire que raimant considéré n'est soumis à aucune force tendant à le déplacer parallèlement à lui-môme dans le champ.

Le système des forces auxquelles il est soumis se réduit donc à un couple dont les moments, par rapport aux trois axes, ont pour expression

En d'autres termes, les forces de ce couple sont dirigées suivant les lignes de force du champ. Si l'axe magnétique de l'aimant est dirigé perpendiculairement aux lignes de force, le moment du couple directeur prend sa valeur maximum MF.

Les propriétés de l'aimant quelconque R dans un champ magnétique uniforme se confondent donc avec celles d'un aimant infiniment petit dont l'axe coïnciderait avec celui de l'aimant R, et dont le moment magnétique serait M. Nous appellerons désormais M le moment magnétique de l'aimant R.

YÉBinCATIOH. — L'ACTION DE LA TEBBS SUR UH AIMANT SE BÉDÏÏIT A UN COUPLE. — Les conclusions auxquelles vient de nous conduire la considération de l'énergie magnétique, peuvent être vérifiées par l'expérience. Nous allons, en effet, démontrer que l'action du champ magnétique terrestre sur un aimanl quelconque se réduit à un couple, et nous mesurerons le moment de ce couple.

i^ Suspendons une aiguille d'acier AB non aimantée au plateau d'une balance très sensible, dont les plateaux sont en cuivre et dont la cage ne contient d'autre pièce de fer ou d'acier que le fléau, supposé très éloigné. Équilibrons par une tare, puis tiimantons l'aiguille en la frottant contre un aimant et reportons-la sur la balance, nous constaterons que

son poids apparenl est demeuré invariable. Il faut en conclure (|ue l'aiguille n'est soumise, par suite de son aimantation, à aucune force verticale. On obtiendrait le môme résultat en aimantant d'une manière régulière ou irrégulière une masse d'acier de forme quelconque.

30 Plaçons une aiguille aimantée sur un boucbon de liège, que nous ferons flotter sur une cuve dont l'eau est parfaitement tranquille i^fig* 6) : nous constaterons que le bouchon tourne jusqu'à ce que l'aiguille ait pris la direction du nord au sud, mais que le système n'a aucune tendance à se mouvoir d'ensemble dans une direction horizontale. Donc l'action exercée par la terre sur l'aiguille n'a pas de composante horizontale.

La même expérience, réalisée sur un aimant quelconque R, permettrait de déterminer, par comparaison avec une aiguille aimantée, la direction de Taxe magnétique de l'aimant (*).

Ainsi l'action terrestre n'a ni composante horizontale, ni

(') Pour établir que Taction de la Icrrc sur un aimant n'a pas de composante horizontale, on peut encore avoir recours à rcxpérience suivante : Une planchette en bois PQ {fig^ 7) est suspendue à un fil sans torsion OC

Fig. 7.

Kllc supporte une aiguille aimantée AB placée sur son pivot et un contrepoids R. L'aiguille AB se dirige vers le nord, en tournant sur son axe, mais le système ne manifeste aucune tendance à tourner tout d'une pièce autour de OC. Or, si l'aiguille AB était sollicitée par une force horizontale, il n'y aurait d'équilibre possible que quand la planchette PQ se serait placée dans la direction même de la force.

DÉFINITION DE L\ DfXLlXAISON. 17

composanle verticale, elle se réduil à un couple dont il reste ù déterminer la direclioii d'axe et le moment. A cet cfTet, nu lieu d'employer un aimant i|uek'onque, il est commode d'avoir

recours à une aiguille cvlindrii|ue de très Taible section, aimantée longitudinalemeiit, de telle sorte que son axe magnélique coïncide avec l'axe du cylindre.

SÉnnnOIT de la DÉCLmâlSOH et de LlKeLIItAlSOK. — Suspendons une telle aiguille par son centre de gravité, elle demeurerait en équilibre dans toutes les positions, si elle n'était pas aimantée; mais, après son aimantation, on constate que son axe prend dans l'espace une direction fixe qui est celle des forces du couple directeur.

l*our (Ixer la direction d'une droite dans l'espace, les géomètres prennent habituellement trois axes de coordonnées rectangulaires Ox, 0/, t>;, et donnent : i* la valeur de l'angle a du dièdre aOAM-r (//^. 8); a» celle de l'angle sOA

FiB. 8.

ou de son complément AOP. Les ithysicicns ont aussi adopté ces conventions. Ils ont choisi, pour le plan zOar, le plan du J. « B., IV, 3*. AimanU. ~ ( )• c.l., iHHg. ) 1

iS LES AIMANTS.

méridien tciTCslre du lieu considéré; la direction positive de Taxe des z est celle de la verticale, de haut en bas; les direclions positives de l'axe des j^ et de Taxé des y sont respeclivemenl celle du nord et celle de Touest. Le plan vertical ;;OAP, contenant Taiguille, s'appelle le méridien magnéliijue, et l'on considère comme direction positive de la trace ()!• de ce méridien sur le plan horizontal xOy la projection de la moitié australe de l'aiguille, c'est-à-dire de la moitié qui, à Paris, se dirige vers le nord. En la marquant d'un signe distinciif (d'ordinaire, elle est trempée au bleu), on pourra caractériser la position prise par l'aiguille dans l'esl>ace en une station quelconque du globe. Il faudra pour cela donner :

i" L'angle a de déclinaison : c'est l'angle de la direction positive (australe) du méridien magnétique avec la direction positive (nord) du méridien terrestre. Cet angle peut varier de o à 27r(*). Au i*"* janvier i885, sa valeur à Paris était

1" L'angle / d* inclinaison ; c'est l'angle de la direction positive de l'aiguille (australe) avec sa projection horizontale.

Cet angle est susceptible de varier de -\ — à — -• Sa valeur à

Paris, le i^*^ janvier i885, était ir=65'' 18'.

En attribuant à a et 1 tous les couples de valeur possibles, on définira toutes les directions qu'une demi-droite OA pe prendre dans l'espace ; réciproquement, en donnant les valeurs de a et de /, la position de OA sera définie sans ambiguïté.

On peut décomposer l'intensité F du champ magnétique terrestre en deux composantes. Tune horizontale H, l'autre vorlicale Z, et l'on a évidemment

( Hz. Fcosi,

( Z -- Fsin/.

(') Certains auteurs définissent la déclinaison comme occidentale quand l'angle a est compris entre o et t, comme orientale quand il est compris «•ntrc t: et 3:t, et conviennent de considérer la déclinaison occidentale comme positive, la déclinaison orientale comme négative : l'angle a varie alors de -{- TT à — TT.

MESURE DU MOiMENT DU COUPLE DIRECTEUR. 19

H est la composante horizontale du champ magnétique terrestre ou intensité horizontale ; Z, la composante ou intensité verticale.

Enfin, si nous décomposons H en deux composâmes X et \ suivant les axes, nous aurons

i X — Fcos/ cosa, Y - Fcos£Sina.

MESUBE DU MOMEHT DU COUPLE DIRECTEUR. — On peut assujettir une aiguille ou un barreau aimanté à se mouvoir dans un plan horizontal : il suffit de la suspendre par un point convenable différent de son centre de gravité ou de charger la moitié boréale de l'aiguille, qui, à Paris, est relevée par un contrepoids 7^ convenablement placé {fig. 9). Soit d la distance horizontale du point de suspension 0 au point C où Ton attache le contrepoids : la condition d'équilibre est

pd r-MZ' MFsin/,

ou, en désignant par Q le moment maximum MF du couple

directeur,

pd zz Q sin/.

SI Ton écarte maintenant Taiguille AB d'un angle a quel-

Cdi

Pi g. 10.

• onque de sa position d'équilibre OP (Jig. 10), elle demeurera horizontale et sera soumise à un couple de moment

MH.AP -- MHsin».

20 LFS AIMANTS.

Nous nous proposons de mesurer le monient maximum MH (le la composante horizontale du couple directeur.

i^ Méthode de la torsion. — Pour mesurer le moment MH, Coulomb a employé deux méthodes, celle de la torsion et celle des oscillations.

Dans la première, on emploie la balance de torsion que nous avons déjà décrite en Électricité statique; seulement il convient de prendre un iil plus gros, parce que les couples de torsion à équilibrer sont plus considérables. Ce fil supporte une chape, dans laquelle on peut disposer, soit le barreau à étudier, soit un barreau de cuivre de même forme.

Plaçant d'abord le barreau de cuivre dans la chape, on fait tourner : i" le micromètre supérieur, de manière à Tamener au zéro; 2*^ la pince supportant le fil de manière à amener un trait tracé dans la direction de Taxe du barreau, en face du zéro de la graduation de la cage. Cela fait, on remplace le barreau de cuivre par le barreau aimanté : le fil est alors tordu par Faction du couple directeur ; mais, en faisant tourner la cage tout entière, on arrivera à ramener le trait de repère, fixé sur le barreau, dans la direction de son axe, en regard du zéro de la graduation. Alors le fil est sans torsion, et, par conséquent, le barreau se trouve suspendu dans le plan du méridien magnétique.

Tournons maintenant le micromètre supérieur, entraînant la pince et le fil, jusqu'à amener le repère du barreau en face de la division 90 de la cage de la balance, et soit a l'angle dont le micromètre a tourné. Le fil est tordu d'un angle égal

ha j et, si le moment du couple capable de tordre le fil

d'un angle égal à l'unité est désigné par R, le couple de torsion faisant équilibre à la composante horizontale du couple

directeur sera

Mll.-I«(«-Î)

Pour déterminer U, on pourra avoir recours à l'action d'un