ÉQUATIONS DU CHAMP MAGNÉTIQUE

Substiluantà côelFdans l'équation (i) leurs valeurs tirées des équations (4) et (/| ùis)^ on trouve

ou, posant pour abréger

(5) Ar-^,

(G) </- /-E---- ^ (E.-hEJ.

E,, E, représentent respectivement les forces électroinotrices d*induction dues aux masses d'éleclricilé en repos et aux variations du champ magnétique.

ÉaUATIOirS DU champ KAMÉTiaUE. — Nous allons chercher l'expression générale de la force électromolricc d'induction E,.

Considérons un champ ujagnétique à l'intérieur d'un cor[)s dont le coefficient d'induction magnétique ou de perméabilité est fx. Quand on supprime le champ, c'est-à-dire que l'on réduit il zéro le llux d'induction magnétique qui traversait un circuit fermé placé dans le champ, il se développe \\ï\ courant induit. La force électromolricc d'induction produite peut être considérée comme la résullante de forces électromotrices appliquées individuellement à chacun des éléments du circuil ; en désignant par J la force électromolrice rapportée à l'unité de longueur qui agit en un point P, par g l'angle de l'élément de courant ds avec la direction de cette force électromotrice, la force électromotrice totale est

A ds

COSc.

La force électromotrice J peut d'ailleurs être considérée con^me une fonction des coordonnées r, v, z; soient F, (1, Il ses composantes parallèles aux axes de coordonnées, on a

dx F . dy (i ^ dz n \ ~' ds J ^ ds J lis à^

2ia* THÉORIES GÉNÉRALES.

D'autre part, soient X, Y, Z les composantes de la force magnétique et considérons une surface S limitée au contour du circuit. Soient a, (3, y les angles de la normale à la surface avec la force magnétique. L'induction totale à travers le circuitesf, en désignant par fx le coefficient d'induction ou de perméabilité magnétique,

(X f(\oL-hY^-hZy)dS.

Nous nous proposons de déterminer les relations qui existent entre la force électromotrice J ei '•s- 8'i- Tinduction magnétique.

= Pour cela, considérons un circuit rec-

tangulaire infiniment petit (/tg. 84\ situé dans le plan des jrz et ayant son -"=1=^, centre à l'origine. En désignant par G,

'l °^J ^ ^^ ^^î '^^ valeurs de la composante G sur

" les côtés horizontaux du rectangle, par

Go sa valeur à l'origine, on a

d'où

(i,r/) — G.,(fy"- . f/zdy; * ' " • ()z

on trouvera de même pour les cotés verticaux

-\\,(/z \\,(/z - '^!^ (h'dz el, par suite,

/ J.^rosc -: I (V , -r-G ; i- \\-:-]ds^ (V- T'I^^V^/: / ./ \ (/s (ts (/s ' \0z oy

(]etle quantité doit être égale à

[j. i\\y. V5 ^Zy)d^i

ÉQUATIONS DU CHAMP MAGNÉTIQUE. 2i3*

or

(3=0, y = o, a = i, dS ^^dy dzy

et rintégralc se réduit à

^\dy dz.

Ainsi

(8 ) fxXlTT -.

On trouvera de même (8 ft«) <

Ces relations sont générales, et, dans Thypollièse de Maxwell, s'appliquent aussi bien au cas d'un diélectrique qu'au cas d'un conducteur.

Si, au lieu de considérer un champ constant que l'on supprime brusquement, on considère un champ magnétique variable et que Ton désigne par P, Q, R lescomposantes de la force électromotrice d'induction Eî à un moment donné, que nous nous proposions d'évaluer, on a évidemment

Pdi--=z- -? dt, ôt

dt ou

i>--'iî:\

ai4* THÉORIES GÉNÉRALES.

P, Q, Il comme F, G, H se rapportent à l'unité de longueur (kl circuit. Toutes ces quantités sont exprimées en mesure électromagnétique.

ÉCLUATIOirS DES GOÏÏRAHTS. — Le champ magnétique que nous considérons est le siège de courants distribués d'une manière continue, mais d'ailleurs quelconque. Nous désignerons par //, r, iv les composantes du courant au point or, y, z, estimées suivant les trois axes et rapportées à l'unité de surface. A travers un rectangle dydz, l'intensité totale du courant est udydz. Un pôle magnétique qui fait un tour complet au tour du courant en se déplaçant le long des côtés du rectangle est soumis à des forces dont le travail total est !\'k udydz. D'autre part, en désignant par X, Y,Z les composantes de la force magnétique,

on reconnaît sans peine que ce travail est ( , ^ ) dydz.

On a donc

Oz

Or'

'iTTir

0\ Ov

('es LMUiations sont applicnhles aussi bien aux courants de déplacement (ju'aux courants de coiiduelion, puis(jue, d'après Mîtwveli, los deux soites de conraiil exercent les mêmes actions ciecti'omajJinétiiinos.

CAS DES DIÉLECTRIQUES. — Soient //,, i,, s\\ les composantes d'un coniant de dé|)lacemerit, /, i^\ h les composantes du dôplacemenl d\ on a par dclinilion

ot oC

Ol^r Ot'

Oh 01 *

CAS DES DIÉLECTRIQUES. 2i5*

Désignons par 4* la fonction qui, dans le système électromagnétique, remplace le potentiel électrostatique V, c'est-à-dire dont les dérivées changées de signe donnent les composantes (Je la force électromotrice E,. Les composantes P, Q, R de E,

, (?F (?G (?H ayant respectivement pour valeurs — -, - —, r-, on a.

d'après l'équation (6),

On a d'ailleurs [équations (lo)]

ùz ôy

... , (ïL iy\

( 10 bis) ' 47: r, -r . :- ,

dx ôz

Entre les équations (8), (10 bis), (11) et (12) on peut éliminer/, ^, //, //,, (',, «1, X, Y, Z. Posant, pour abréger,

on obtient nnalemenl

ô.v ôy ôz

ô (ÔV ô'],\ r>e

[^''ôA<H''-£)-^ô:r-^^^ -''^

ô iôi\ ô']j\ ô^

ôt ^ ôl ôz ' ôz

at6* TUÊOBIES GfiM&fiÀLBS.

Si Ton prend les dérivées partielles des équations (f4}et q u'on les 8joate,^il vient

tentiei ^ se rapportant aux masses éleeulques invariables est indépendant du temps, et l'équation (i5) se réduit k

{i5 bu) ^ =o.