ÉTABLISSEMENT DE LA FORMULE FONDAMENTALE
le bras de levier étant infiniment petit, le moment du couple est un infiniment petit du second ordre et doit être négligé.
5" Un courant 0' k.' {fig, 71) peut se remplacer par ses projections sur trois axes rectangulaires.
Fig. 71.
En effet, on peut substituer à O'A' le courant sinueux très voisin O'-s'PA', allant de 0' à A'. Ce dernier se compose de irois parties, Tune O's', et les deux autres -'P et PA', qui peuvent être remplacées par les projections 0'/' et O'œ^ puisqu'elles leur sont parallèles et égales en longueur, et qu'elles n'en sont éloignées que de quantités infiniment petites. En
définitive, O'A' se trouve remplacé par ses projections 0'.r\
Ces principes admis, cherchons Faction d'un élément de ^^ '
courant BA = ^5 sur un autre élément B'A' = âs^
Soit 0
Fangle que le premier fait avec 00' x'; cet angle sera égal ù zéro si le courant va de O en or, à 90° s'il marche de 0 en j et à i8o«-+- AO^ s'il est dirigé suivant OB. Soient 0' Fangle, compté de la même manière, de O'A' avec 0' x', r la distance des deux points 0,0', et c l'angle des deux plans AOj^, k'O'x'. Nous pourrons remplacer OA et O'A' par leurs projections x, .r; ^\ y> «'> et nous aurons à considérer l'action des deux éléments X ei y sur chacun des trois autres x\ y\ z',
Y n*aura d'effet ni sur x\ ni sur z\ d'après les troisième et quatrième principes; mais il attirera y' si la direction des deux courants est la même, puisque tous deux sont parallèles.
D'après le troisième principe, l'action de x sera nulle sur y'
c tl t « i t • <
et z'; elle sera répulsive ou attractive sur a;' si le sens de x et (le x' est le môme ou inverse, puisque or et x' sont en ligne droite, et que, d'après Ampère, deux portions d'un même courant rcctiligne se repoussent.
En définitive, il n'y aura à exprimer que l'action dey sur/ oi de X sur x\ c'est-à-dire :
De
y-z(lssinB sur y z=: ds' s\n S' c os t et de
.r ~ ds cosO sur .r'= ds' cosô'.
Si 0 et 0' sont plus petits que 9o<>, la première sera attractive et la deuxième répulsive.
Nous admettrons, avec Ampère, que ces deux actions sont proportionnelles aux intensités i et f des deux courants, aux longueurs de leurs projections /, y, x, x' et à deux fonctions inconnues de leurs distances, qui seront — /(r) pour la première action et -h F(/) pour la seconde. On aura donc
/= — ii'dsd,s'[sin9sm0' cose/(r) — cos9cosO'F(r)].
Quand/ est positif, les deux éléments se repoussent; quand il est négatif, ils s'attirent.
Il ne reste plus (ju'à déterminer /(/) et F(r). Pour cela, on s'adresse à l'expérience. On imagine des systèmes de deux < ourants de forme et de position déterminées; on intègre la formule précédente, et l'on trouve une expression de la résultante, qui est fonction de V{r) et de/(/'). D'autre part, l'expérience donne la loi de cette résullanle; on identifie le résultat du calcul et celui de l'observation, et Ton a une équation de condition pour trouver F(r) et/(/). Si donc on traite la question dans deux cas particuliers, on obtient deux équations de condition qui peuvent suffire pour déterminer la forme des fonctions inconnues.
Ampère avait supposé tout d'abord que les deux forces attractive ou répulsive précédentes sont en raison inverse d'une certaine puissance de la distance r. Cela n'est point évident a priori. Mais, Demoniferrand ayant prouvé que cela est exact, nous accepterons l'iiypothèse d'Ampère, afin de simplifier les
DÉTERMINATION DES CONSTANTES
calculs, el nous remplacerons /(/) par — et F(/) par -^, ce
qui réduira la valeur de/ à
{-x-j) /- — (sin^siny' cosc — Acos^cosC/ ).
II reste à déterminer /*, A: el A.
DÉTEBMIHATIOlf DES GOHSTAIITES. — [. On place sur le support des courants mobiles un système de deux rectangles FEAH, FCDH (y?^. 72) faisant entre eux un angle quelconque, dont les hauteurs sont différentes et les bases égales : ils prennent sous raction de la terre une position d'équilibre fixe. Puis on
Fig. 72.
Fig. 7.3.
dispose entre les deux branches AB et CD un courant vertical indéfini XY de sens opposé, qui les repousse toutes deux, et l'on parvient aisément à les maintenir dans leur position première en plaçant le courant indéfini à des distances convenables a et a' de chacune d'elles. On mesure ces distances, el Ton trouve qu*elles sont proportionnelles aux longueurs / el /'
de AB et de CD,
Appliquons maintenant le calcul à ce cas particulier. Soient {fig. 73) deux courants parallèles, l'un indéfini XY, l'autre
J. et B., IV, 3. Aimants, — (i« éd., 1889.) 7
fini X'Y', (loiil la distance A'B csl a. Si nous examinons en particulier deux éléments mn et m'n\ nous voyons que O^^O' et (jue £ : - o. La formule devient
/- :n — (sni*Ô — /i cos'O);
la distance /• ou AA' est
AJi a
n'iuS '" sinô
Si nous comptons s à partir de B,
s:. \H— acot^, (Is — — a-^--.i
et, en remplaçant s et /*,
(jS) /=- --— ' sin'-'lycsin*^- kQOs^O)(iO.
/peut se partager en deux composantes, Tune parallèle à XY, (pril est inutile de considérer, l'autre /sin 5 perpendiculaire aux deux courants, qui produira leur attraction et (|ui est
fs'inO-. "r-^,- [sin"-»^^(sin*9- A vos^ 0)]de,
En intégrant cette expression d'abord entre O^, rrro^ et 0^— i8o", et ensuite entre a'-- o et v'— /, on trouvera la force attractive totale U'de \Y sur \'Y'. (]omme la parenthèse est indépendante de a, son intégrale, d'ailleurs différente de zéro, sera constante et peut se représenter par — B : on aura donc
J)onc, t)our (lue les attractions ou les répulsions de deux courants finis de longueur /, /', sur un courant parallèle indéfini placé entre eux à des dislances a et a\ soient égales, il faut que
DÉTERMINATION DES CONSTANTES. 90
D*un autre côté, rexpérience a moiilré que l'on devait avoir la relation
Il faut donc que n soit égal à 2. Dès lors la formule de la loi élémentaire devient
(29) /-- j (sin(?sin^'yos£ — Xcos9cos^').
Mais Tangle o de ds et de ds' est donné par
cosci)= cosôcos6'-f- sinôsînô'cose; donc
(30) y — [cosw — {k H- OcosOcosô'].
IL Nous allons déterminer k par Tapplication de la même méthode à un deuxième cas d'équilibre. A cet effet, calculons la composante tangentielle de l'action d'un courant rectiligne sur un élément de courant parallèle. L'action tangentielle élémentaire est/cosô. En faisant n^^i dans l'expression (28), on trouve
/cos9 " - :^i^' [ A - ( A- -M) sin'ô] cosô ^5,
dont rintégrale est
/• ^ KiUds' . «r, ,; . ,sin»01 /cos9r^ sin0 k — {k^ 1) ^ •
En prenant 90® et o** pour limites de l'intégration, on trouve
(3.) f fcose^-^
Or il est facile de prouver par l'expérience que l'action tangentielle d'un courant indéfini CAB {/ig. 74), formé de deux branches rectangulaires, est nulle; et, comme l'action tangentielle de CA sur mn est évidemment nulle, il faut que celle de AB le soit également, c'est-à-dire que l'intégrale (3i) soit
lOO
nulle, ce qui exige A = ;. Celle mélhode, pour la déterminatiou de la conslanle k, est due à Jamin (').
Ampère avail choisi, pour le mèmeobjei, un cas d'équilibre différent, (ju'il est intéressant de connaître.
On fixe a un axe vertical mobile AB (Jig. 75), par une ti^e isolante CD, un fil horizontal de cuivre mn, dont les extrémi-
Fig. 7Î
tn
At-
Fig. 75.
tés affleurent sur deux globules de mercure P et Q, disposés dans deux petites auges. Le courant d'une pile arrive en Q, traverse mn et revient par P au pôle négatif; mn se trouve alors soumis à l'action d'un courant fermé EQPE, dont la forme est quelconque, et Texpérience prouve que mn ne se déplace jamais. Par conséquent, il faut que la composante tangcnliellc de toutes les actions exercées sur un élément mn par tous les éléments d'un circuit fermé soit nulle. Ampère exprime cette condition par le calcul, et il en résulte une équation (le condition d'où il tire A (').
( ') JAMit, Journal de Physique^ i'* série, t. VIII, p. 264.
( >) SoiiMU O V ^ lis, 0'\'*= ds\ 00= r {fig. 76). Autour du centre 0 «liMTivons une î»phrrc avec le rayon r, elle coupera la ligue OA eu B, OA' tMï 0; prenons BO'^BC. alors langle C0'C'=8, CA'0' = 9', et (.:(VO' ... O'0\'-- .)<>*. U s'ensuit que
r. V - (/.<• oosO' ei C'O = CO* coss - ds' sin6' cosi.
Oi
OA -t/r 01 00^ no -BC^r(B00'-B0C)=^-rcr6,
DÉTERMINATION DES CONSTANTES
) formule qui exprime l'action de deux éléments de cousera donc
\iC dsds' / . â . A, ï t. fi r— (sm0sm& cos£ cos&cosy
ésignant par d' une difrérentieUe prise par rapport à s\ de sorle que
= -—, ds\ Donc Os
ds'cos^'=d'r et rf*' sinÔ' cose — — /"rfO.
:onscquenty
y = - ^J!L^ ( r sine de - A cosO d' r )
en, en laissant de côté le facteur Aiï' ds^
f^-ïj^d cos^ -h k cosh d' (j\]'
Fig. 76.
composante tangentielle est, d'après cela,
/cose = — f— d'(cos»e ) -t- A cos»e rf' (j)\' intégrant par parties,
ci est la composante tangentielle de l'action du circuit sur ds, comnle dont la valeur est zéro, d'après l'observation. ntégrale devant être prise d'une valeur de 0 à la même, puisque le lit est fermé, le premier terme sera nécessairement nul, et, pour que
cond le soit dans tous les cas possibles, il faut que A — - soit nul ou
loi LES AIMANTS.
ou bien
(33) / -^ (coSG) cos9cosô'j.
III. Pour déterminer la constante A, on ne peut plus avoir recours à une expérience d*équilibre. 11 faut faire choix d'une unité de courant, et mesurer en valeur absolue, dans un cas particulier, la force que deux courants de forme et de position convenables exercent Tun sur Tautre, par exemple, Tattraction de deux courants circulaires égaux et parallèles. On en déduira la constante A.
Nous nous bornerons à remarquer ici que pour identifier la valeur / donnée par la formule (33) à la valeur/' (formule ('2^) obtenue par voie syntbétique, il faut faire A r= 2. Quand on prend pour unité de courant l'unité électromagnétique C. G. S., la constante A est donc égale à 2.
On a, en définitive,
(34) /: : :, — (cos^i) cos(/cos9' j-
La force / agit suivant la droite qui réunit les deux éléments : quand / est négatif, elle est attractive et tend, par conséquent, à diminuer la distance /•; elle est répulsive cl tend à augmenter r quand/ est positif.
Une fois que Taction de deux éléments est connue, celle que deux courants de forme et de position déterminées exercent Tune sur l'autre peut être trouvée par le calcul, sans autres difficultés que celles du calcul lui-même.
On exprime, en elfel, l'action de deux éléments quelconques, on la décompose en trois composantes parallèles aux axes coordonnés, et, en les intégrant, on obtient les trois composantes de l'action totale, qui se réduit toujours à un couple et à une force uniques. Pour donner une idée des calculs que l'on a à effectuer, nous allons étudier en détail le plus simple et le plus important de tous les cas que l'on peut se proposer, celui d'un courant indéfini agissant sur un courant fini situé dans le même plan.
