CONDITION DE SENSIBILITÉ MAXIMUM

GOninOir de SEITSIBILITÉ MAZIIIÏÏM. — Nous avons v(i (^) que la sensibilité d'un galvanomètre dépend de la résistance extérieure. Quand celle-ci est connue, au moins d'une manière approximative, comme cela peut arriver, par exemple, dans le cas d'appareils télégraphiques, on disposera le galvanomètre de telle sorte que sa sensibilité soit maximum. Nous supposons que le rayon du cadre est donné et que l'épaisseur totale de la couche de fil portée par l'appareil est petite par rapport h ce rayon. Soient alors / la longueur du fil, 7 son rayon, b l'épaisseur de son enveloppe isolante, p sa résistance spécifique, r la résistance extérieure. La résistance du galvanomètre est

(II

son action électromagnétique est proportionnelle à la lon-

ffueur / du fil et à l'intensité tt-^ — du courant. 11 faut donc

rendre maximum l'expression

de la déviation, d'où le nom de boussole des sinus, donné à ces appareils. Cette disposition, applicable à toutes les boussoles, a été rarement em-

Fig. 9i

ployée, parce qu'elle exige une manipulation particulière, en outre de la mesure d'un angle; d'ailleurs la boussole des sinus ne permet pas la mesure de l'intensité d'un courant rapidement variable.

( ■ ) Voir a* fascicule.

J. et B., IV, 3\ Aimants. — (4« éd., 1889. ) 9

i3o LKS AIMANTS,

on minimum l'expression

on a donc

On pcui, par exemple, astreindre le volume de la bobine à èlre constant. Ce volume est

y = \i{y-^oy\

en supposant que les tours de fil passent exactement Tun audessus de l'autre, comme le représente \^fig* 95. On exprime

Fig. 95.

sO)

que V ne change pas, en écrivant que sa ditrérenlielle est nulle :

( 1 4) (7 -+- hycil-\- 2 l(y -\- h) dy - o.

Eliminant ~y entre les équations (12) et (i4), puis tirant /de la formule (i3), on trouve

y -h If

L'épaisseur du fd couvert doit donc être à celle du Jll nu dans le rapport de la résistance extérieure à la résistance intérieure. Quand on suppose l'épaisseur de la couche isolante absolument négligeable, la résistance intérieure doit être égale à la résistance extérieure.

Si Ton ne se propose pas de faire des mesures absolues, mais seulement de rendre le galvanomètre extrômemenl sen-

CONDITION DE SENSIBILITÉ MAXhMUM.

on a inlérèl à diminuer le rayon intérieur du cadre sur 1 le fil est enroulé. Plus les cercles s'éloignent, moins iction est grande, et, comme chaque spire introduit une îlle. résistance, que celle-ci est môme d'autant plus le que le rayon de la spire est plus grand, l'effet de la lution d'intensité du courant finit par l'emporter sur Tientation du coefficient électromagnétique de la bo-

et l'action exercée sur l'aiguille diminue au lieu d'auger. Le calcul établit qu'il

Fig. 96.

out avantage à employer, la confection du galvanos, du fil de plus en plus à mesure qu'on s'écarte itage du centre. C'est une ]ue employée depuis longs par les bons construc-

pposons que les spires du nomètre sont des cercles

le rayon OA est rs'mO {/ig. 96), la distance de leur e 0 au pôle P de l'aiguille est rcosO. L'action électrolétique d'un élément ds de fil sur un pôle égal à l'unité, en P, est

^ ids

le est dirigée suivant PQ; sa composante PR suivant OP est — ;j- sin0, et la composante, suivant le môme axe, ction d'une longueur / de fil,

F=: — r smy.

la posé, si l'on construit une surface de révolution, ayant équation polaire

r^ — A* sin0,

est une constante choisie arbitrairement, l'action F re-

lalive à une longueur / de fil enroulée sur un cercle OA, qui appartient à la surface (17), est

f ig. 97-

Elle est d'autant plus grande que b est plus petit. Si donc un tour de fil passe de Textérieur de Tune des surfaces (17) à son intérieur, son action électromagnétique augmente. 11 y a donc

intérêt à limiter extérieurement renrouleroent du galvanomètre par une surface représentée par Téquation (17). Quant à la limite intérieure, on a, nous l'avons vu» tout intérêt à la prendre très voisine de Taiguille.

La fig. 97 représente les surfaces

/ ' r= A » sin e.

Sir William Thomson, à qui sont dues les remarques précédentes, les a mises à profit dans la constrae* tion d*un galvanomètre que doos avons déjà décrit (*). L'enroulement à l'intérieur d'un cadre à section rectangulaire est limité à l'intérieur par une surface bombée, se rapprochant autant que cela est pratiquement possible, de l'une des surfaces (17). Si l'on juge à propos de former le galvanomètre de plusieurs couches de fils de grosseur différente, chaque couche doit aussi se limiter à l'une des surfaces (17).

ÉLEGTRODTNAHOMÈTBE. -- On nomme étectrodynamomètres des appareils de mesures électromagnétiques dans lesquels l'organe mobile est une bobine. Le moment du couple exercé par la bobine {\\q sur la bobine mobile est proportionnel au produit il' des intensités des courants qui les animent, et.

(') Voir 2* fascicule.

ELRCrUODYNAMOM ÊTRES.

! cas perliculier où toutes deux sonl Iraversécs par lu même couraol, au carré (le l'inlensilé r'<le ce courant.

1" ÉUt'troilynamomèlres absolus. — Dans ce dernier cas, si

()da peu) soustraire la bohine suspendue à l'aclion f-lectroma- ^étique de la Terre, cl mesurer le uiomeni du couple auquel fie osl soumise de la part de la bobine llxe, on en déduira I valeur absolue de rînlen.sîté éleclromagnélique i, en Tonclion de données <]ui ne dépendenl (jue de la consiruction môme des bobines. Diters éleclrodynamomôtres absolus ont A\É proposés; nous ue décrirons que celui de Itl. Pellat('). I Cel appareil {Jig. 98 cl 99) se compose de deux bobines

mceniriqucs à axes reciangulaires, parcourues par le courant mesurer; de ces deu\ bobines, l'une, longue cl grosse, a son Te horiionlal ; l'auire, placée h. l'inléiieur de la première, a A*xe vertical i elle Tait corps avec un fléau de balance en jaiiiilum, qui porte >i son extréniilé opposée un plateau Bpendu h la raçnn ordinaire. On dirige l'axe de l'appareil Viwodiculairenietil au méridien magnétique, aOn de sous- ÉiK la bobine mobile à l'action terrestre.

*, fotwitat de Phj-tique

lïi LES AÎMANTS.

l'oiu' riDiis rcrKlri* coinple tie la théorie (le l'élcclrodjDamu- ! nétrc. supposuiis tl'altonl la hohine iïxc inHaimeol longusel j

la l)ubine mobile iDlluimenl petile. ,Un peul subsliiuer celle-ci {fig. too) un petit aimani ab de roâme axe, dont 1 moment magnétique M csl ^facile à calculer; soient, en cDet n le nombre île tours de bi bobine, S la surface embrassé

Pig. :

par chacun d'eux, on sait que M — wS/. Soient encore/ force exercée par la bobine fixe sur un pâle austral égil l'unilé, placé en son centre, N le nombre de lours de (il do bobine [lur unité de longueur. Nous avons démontré (p.tft que l'on u

Or le cbamp ma^'iiétiqiie à l'intérieur d'une bobine de loi gueuriitJlnie est très sensiblement constant; la force exerce possède donc la même valeur aux points où se trouvent le deux pftles du petit aimant, et, par conséquent, cet aiman est soumis ft un couple do uiomenl H/— ^TtNwSi''. On ;fa équilibre à ce couple par de* poids p que l'on ajoute sur plateau et qui, agissant à l'extrémité d'un bras de levier l longueur A, produisent un couple antagoniste de inomei

ÉLECTKODYNAMOMÈTRES. i35

pgK, L'équation d'équilibre est donc

47rN/iSi*=:/>^A, d'où

L'avantage essentiel que présente l'électrodynamomètre absolu par rapport à la boussole des tangentes, c*esl d'éviter la mesure longue et délicate de l'intensité horizontale H du magnétisme terrestre. L'évaluation de l'intensité, déduite de la mesure d'un poids, s'obtiendra avec une précision extrême et par une seule opération; elle n'exige d'autres mesures que celles des nombres de tours des deux bobines, de la longueur de la bobine fixe et du diamètre de la bobine mobile.

Pratiquement la 'longueur de la bobine fixe est finie, et il n'est pas permis de confondre la bobine mobile avec un aimant infiniment petit. Le moment du couple agissant sur la bobine mobile renferme donc un facteur correctif (i — a), dont la valeur, assez pénible à calculer, n'exige d'ailleurs que la connaissance des dimensions des deux bobines. La valeur de rintensité est de la forme

elle demeure proportionnelle à la racine carrée du poids compensateur.

Après avoir construit, avec toutes les précautions désirables, un électrodynamomètre étalon de cette espèce, et calculé le facteur correctif a correspondant, on peut se borner, pour des appareils secondaires, à employer la formule

(21) /33Bv/y5

cl à déterminer le facteur numérique B par comparaison avec Télectrodvnamomètre étalon.

2** Éleclrodynamomètres ordinaires. — Dans une boussole des tangentes, on pourrait remplacer l'aiguille aimantée par une petite bobine plaie ayant pour axe Taxe de l'aiguille, et,

lie LES AIMANTS,

comme elle, dirigée par l'urliou tcircslre. Le tnomenl magné- I liquc M de l'aicuille n'intervieDl pas ditns lit formule de la T houssoledeslangenies; il en seraîl de m^nic dii momept nSi | de la boitille mobile, lil, par suite, la rormiilc de la boussole i s'appliquerait sans inodiUciiUon.Ceile disposilîon, qui ne pr«^ j senlcrail aucun avaiilagc théorique spécial ei doni ta réalisation sérail incommode, n'a pas éié employée,

L'élecirodjnamomèlre de Weber (') est consiiiué {^^. loi j et 103) par deux bobines, l'une lîxe m, Taulre It beaucoup |

Kîg. ,0.,

système biniuii'e; les deux bobines sont traversées par dei courants el tendent à se placer parallèlement entre elle8.J Pour rendre maximum le moment do leur aciion éleclrody-J namique, on a disposé l'appareil de telle sorte que lo pUai d'équilibre do la bobine mobile R est perpendiculaire ru plai '

ÉLECTRODYNAMOMÈTRES.

des spires de la bobine fixe. De plus, le plan d'équilibre est perpendiculaire au méridien magnétique.

Quand des courants d'intensité i et i' passent dans les deux bobines, la bobine mobile se déplace d'un angle a que nous allons calculer. Supposons que le sens du courant dans R est tel que l'action terrestre s'ajoute à la torsion bifilaire pour solliciter la bobine vers sa position primitive; l'action électrodynamique des deux bobines agit en sens contraire. Elle est proportionnelle au produit ii des intensités des courants, et nous pouvons désigner son moment, dans la position non déviée de la bobine, par Ggii'* G et ^ ne dépendent respectivement que des dimensions de l'une et de l'autre bobine : ce sont des constantes caractéristiques. La bobine mobile étant supposée très petite, on peut admettre que les forces du couple qui lui est appliqué conservent leur grandeur et leur direction dans la position déviée de celle-ci. Le moment de l'action élecirodynamique des bobines dans la position déviée est donc

G gii' cos «,

celui de l'action terrestre

^'H/'sina,

enfin le moment de la torsion bifilaire

— r sma.

L'équation d'équilibre est donc

G^iV'cosa — ^Hi'sina — - .- sin5c = o;

on s'en sert pour calculer *' si l'on connaît II et i. On pourrait déterminer II en faisant osciller la bobine mo-

i38 LES AIMANTS.

bile U, d'abord en circuit ouvert, sous l'influence de la torsion bifilaire seule, puis en circuit fermé, sous la double influence de l'action terrestre et de la torsion; mais il vaut mieux renverser le sens des courants des deux bobines; Taction électrodynamique demeure invariable, mais Faction de la terre change de signe, et l'on observe alors une nouvelle déviation a', telle que

('i3) G^'n'cos«'-f-^lh'sina' — ^ sina'=o;

ou élimine gili' entre les équations (22) et (28), ce qui donne

(a/) u'=, !^ ' ï^ tang«tang«^

^ *^ /G è' cota -h cota' /G^ tanga 4- tanga''

Pratiquement l'action terrestre est très faible par rapport à la torsion bifilaire, de sorte que a et a' sont très voisins, et Ton a sensiblement

. ^, .., Pf/» langatanga' Pd^ . , ^ ,.

(25) // - 777— : ^^ r-^^ — ^ — — — — (tanga -f-tanga');

' /ii^ tanga-htanga' 2/G^ ^ ^

c'est la formule employée d'ordinaire.

On peut lancer le même courant dans les deux bobines, et alors la formule (25) détermine /-.

Les fig, ICI et 102 représentent rélcctrodynamomclre de Weberet \i^s/ig, ïo3 et 104 reproduisent rélectrodynamomètre (le l'Association britannique. Dans ce dernier, le système iixo est formé de deux bobines parallèles A, A' placées à o", 25 de distance l'une de l'autre et de o™,5o de diamètre; elles contiennent chacune quinze couches de (il de quinze tours chacune. La bobine mobile est aussi formée de deux bobines B, W parallèles. Tontes les pièces de l'appareil sont en cuivre rouge.

Pour assurer régalilé de tension des fils de la suspension bifilaire (/Ig* io3) on les a attachés aux extrémités d'un fil (le soie F' qui passe sur une poulie; leur distance est réglée par deux poulies-guides. On peut donner à la bobine suspendue lui mouvement vertical au moyen d'une vis agissant sur

MESURE D'UNE QUANTITÉ D'ÉLECTRICITÉ. i3i>

la roue de suspension et un mouvement liorixontal à l'aide de deux pièces glissant i) coulisse. Une vis liorizonlale t permet aussi de communiquer une torsion au système liilllaire et

(l'éliminer ainsi l'action terresire en ramenant, dans chaque expérience, la déviation à être nulle. Soit p l'angle de torsion : on aura simplement

MESDBE ÉLECnOMiUatTnDS D'UVE OQiHTITt O'ÉIECTUCITÉ. - Quand la dur^c d'un courant est excessivement raible et qu'on le fait agir sur un galvanomètre ou un ôlcctrodynamoniètro, le système moliUo reçoit une impulsion et revient fi sa posi-

• 4* LKS AIMANTS.

Itw« il'tfi)uilltw priniilivc imr une si^rio d'osctlliitioits. Const-

44tti(M '('dbarnl Iv e*s du gulvaiiomùtrc. Nous allons (-talilir

»iMiil l'Nl iii'iKliK>-><l'l<' l'^r rnp|)ort A ta til$iiillr. lu ()iiuiilil<^ (i'tlectricitô irans-

MESURE D'UNE QUANTITÉ D'ÉLECTRICITÉ. i4i

portée par le courant instantané est proportionnelle au sinus du demi-arc d'impulsion de raiguille.

Désignons par i l'intensité du courant au temps /, la quantité d'électricité qu'il transporte pendant sa durée t est

Soient M le moment magnétique de l'aiguille, U la composante horizontale du magnétisme terrestre, G la constante du galvanomètre, A le moment d'inertie de l'aiguille, 0 la déviation au temps t; l'équation du mouvement de l'aiguille est

(28) A~ï 4-MUsin^--MG«cos0;

mais, à cause de la très faible durée du courant, nous pouvons intégrer par rapport à t, en considérant 9 comme constant pendant cette durée,

x(^\ -MGcoseo fi di -h C^MCmQcosOo-^C.

La valeur de 0^ et la constante G sont nulles, puisque l'aiguille part de sa position d'équilibre. On a donc simplement

Soit 9i l'angle d'élongation maximum, le travail effectué, à rencontre des forces magnétiques, pendant que l'aiguille parcourt son arc d'impulsion, est MH(i — cos^i) et sa valeur est

précisément égaleàla force vive ^A f ^- j communiquée par le

courant. On a donc, d'après (29),

imur AN JA/^^^\' I M'G«Q>

MH(i-cose,) = iA(^^j^-i— ^^— ,

(3o) Q = GV"sr^'~*='''^'^ = GV

AH . 0, M a

i.iî LES AIMANTS.

D'ailleurs l«i durée d'oscillalion de raimant sous raction de la terre est

"T -^Vmii'

par suite,

„ HT .5, 0 7T - asin —

Celte formule donne, en mesure électromagnétique absolue, la quantité Q d'électricité qui a passé dans le circuit.

Si l'on veut seulement comparer, à Taide d'un même galvanomètre, la quantité d'électricité transportée par divers courants instantanés, le coefficient de la formule (3i) est constant, et les quantités d'électricité sont entre elles comme les sinus des demi-arcs d'impulsion. Quand l'impulsion est très faible, Q peut être considéré comme proportionnel à l'arc d'impulsion lui-môme.

EMPLOI COMBINÉ DE L'ÉLEGTBODTHAMOMiTBE ET DU GALVAVOMiTBE.

— Si, au lieu de se servir du galvanomètre, on lui substitue l'éleclrodynamomètre, on obtient une équation du même genre; mais cet appareil jouit d'une propriété remarquable, qui permet de l'employer dans un cas réalisé par un grand nombre d'éleclromoleurs, à savoir dans le cas d'une série conlinue de courants alternativement de sens contraires et mettant en jeu des quantités d'électricité égales. Ces courants produisent des déviations de môme signe de rélectrodynamo*^ mètre; la bobine mobile éprouve donc une déviation permanente a. On l'évalue par la condition que, pour la position d'équilibre considérée, la sonmie des travaux virtuels soit nulle.

Or, le travail élémenlairedcs forces électrodynamiques correspondant à un déplacement angulaire dx est

Ggi^ dO^cndtdoL;

le travail élémentaire de l'action terrestre,

^gis\ïi(xdt;

ÉLECTRODYNAMOMÈTRE ET GALVANOMÈTRE. i4i eXïCm^ celui de la torsion,

el Ton doit avoir, pour l'équilibre,

i^dt + H^sina / idt— — — sina / dt.

Étendons l'intégration à une période entière de durée 0, comprenant un courant direct et un courant inverse de quantités égales

/ idt — o, et réquation se réduit à

(33) Ggcosoc I i^dt— — ^^sina.

La durée B est très petite. L'unité de temps comprend un nombre très grand de périodes que nous pouvons toujours supposer entier (*); l'intégration, étendue à l'unité de temps, donne alors

(34) / «' dt — ^tl\f langa,

Le galvanomètre, employé de la même manière, donnerait

(35) G'cosa' j idl — H sina' fdt,

el l'intégration étendue à une période entière donnerait au premier membre une valeur nulle, c'est-à-dire que le galvanomètre doit rester au zéro. Mais, si l'on a soin de disposer un commutateur qui n'envoie dans le galvanomètre que des cou-

(') Le deuxième terme de l'équation (33) a pour valeurs maximum et minimum QH^sina et o. La quantité Q d'électricité transportée individueUement par chacun des courants est toujours très faible, et la valeur du deuxième terme de Féquation, étendue à l'unité de temps, est négligeable par rapport au premier.

i44 LES AIMANTS.

rants redressés, et si Ton désigne par < Tintensitédu courant, abstraction faite de son signe, Téqualion (35) subsiste et fournit une valeur de la déviation différente de o. En étendant rintégration à Tunilé de temps, on a

(36) / £^/= jT^ langa'.

L'intégrale / idt représente Y intensité moyenne du courant

périodique, / i^ dt est Yénergie moyenne du courant. Cette

dernière intégrale, fournie parrélectrodynamomètre, est proportionnelle à la quantité de chaleur dégagée par le courant périodique dans une résistance donnée.

DÉCOUVERTE DE FARADAY. iJ5