CIRCUITS RECTANGULAIRES PARALLÈLES
est donc la différentielle exacte d'une cerlaine fonclion que nous désignerons par W.
et l'on a
dl-d\\.
On peut transformer l'expression de W et lui donner une forme fréquemment employée. En effectuant les différentiations indiquées,
(60) w^-ù'//i|grf.rfA ou, d'après la valeur (5o) de cos Cl),
Mais la dernière intégrale est identiquement nulle pour un circuit fermé, puisque la quantité sous les signes / 1 est une différentielle exacte. On a donc simplement
(61) ys' ^W CC^dsds'.
C'est la formule de Neumann (*).
ICnOM DE DEUX (mCUITS REGTANaULAIRES PARALlilLES. — Si l'on veut calculer la composante X de la force exercée par un conducteur fermé sur un autre, évaluée dans une certaine direction ^, il suffit maintenant d'observer que le travail élémentaire correspondant est
(') Neumann, Ann, Pogg.y t. LXVII, p. 3r.
ijio LES AIMANTS.
ll'OM
dx " dx '
('ommc application, nous allons chercher I*action de deux courants rectangulaires, dont les plans sont parallèles
L'énergie W du système
W-rii' I I ^-'^'-dsds'
ne contient que des ternies fournis par les côtés parallèles; car, pour deux côtés perpendiculaires, tels que AB et FG ou
\[E,(»):- - OU -> cosw— o. W se compose donc de huit
termes relatifs à l'action des côtés parallèles. Pour les côtés |)arallèles parcourus par des courants de même sens (AB,EF), r.) — o, coso)= I ; pour les côtés parcourus par des courants do sens contraire, m - 7:, cosr,) — — i. On aura donc quatre tonnes positifs de la forme
et quatre termes négatifs de la même forme. Il suflit d'en
calculer un relatif, par exemple, aux côtés AH et EF. Soit h
la dislance MM' des deux côtés, et comptons les longueurs s
et s', à partir de \ et de E. Pour un élément quelconque, ayant
rds^ son centre en M, il faut eiïecluer l'intégration / -; mais.
CIRCUITS RECTANGULAIRES PARALLÈLES. lai
en désignant par a la longueur A'E, par p la longueur EF, par 7 la longueur AB, /-=: A* -h {s' — s -h«)S
\/h*-h (p— s -}-a)*-\-p — s -h a v//i* -h {a — sy -h a — s
Il faut maintenant prendre Tintégralc
(O / log^^ ,-- - 1 ds;
J \i h^-^- {a — sY -ha — ,ç
mais on a, en général,
/ log(// -^ \^ h- -\- u^) du ^- \u log( w -h v^/i' 4- M* )] — (v/i*-i-'/*); par suite, la valeur de rinlégrale définie (i) est, en posant
— {p — V -^ «) log[(/> --(/-+- a) -h \fh^ -^(p — q-^^y] -r-(p-r-a) log [(/> 4-^)4- \/ h^ -h (p -h a)*] 4- (a - 7) log [(a — 7)4- V^/i'4-(a — 7)«]
— alog(/i4-v//''4-a*)4- \^ h^ -^ (p — r/ -h ay
cl la valeur de W comprend huit termes analogues.
Dans le cas particulier de deux courants carrés, ayant leurs centres sur un môme axe, « — o,/> — 7 et l'intégrale (i) se réduit il
■>.lplos— ,-— - - v'A'+y^' + A )
-^ a ( ,, log r ±V|ϱZ s^ru^rp—n ) .
Elle doit être prise quatre fois pour les couples de côtés
\'i\ I,ES AIMANTS.
coniro (lo îrravilé du système suspendu se relève de o en o\ (M le rorps est sollicilé vers sa position primitive par un couple, dont nous nous proposons de déterminer le moment M.
\ cet effet, remarquons que, les deux fils étant par hypothèse éj^alement tendus, on peut remplacer le poids P par
doux poids égaux à - , appliqués en b' et/'. Le poids - placé
on 0' se décompose on deux forces : Tune b'm^ dirigée suivant le prolongement du fil, en mesure la tension; l'autre b'n
ost située dans le plan bab' et dirigée horizohtalement. Soit j5
l'angle dont le fil est dévié, on a />'// ~ -- tang(3. Le moment
de cette force par rapport à l'axe est b'n x o'i. Mais le triangle
o7.7/ est isoscèle, son angle au sommet est a, enfin Tapo-
cl a tlièmo o'i est 2 - cos -; le moment de b' n a donc pour valeur
-- cos langp.
Va\ /' est appliquée une forco symétrique de b^n par rapport
au point e', dont le moment a la même valeur. Le moment
total est donc
a M I^/oos lani;:3.
Mais lo irianglo isoscèli» /,o' b donne encore
/sin5 r/sin - ; /^/sin -
laiigp 7 ;
on a donc onlin
IV/^ sina
/ r- ^/'sin^
BOUSSOLES DES TANGENTES. ii5
En général, on rend d très pelit par rapport à /, cl, de phis,
les déviations sont toujours très fiiibles ; r/'sin'-esl donc
une quantité négligeable, ot Ton a pratiquement
( I bis) M — — r sin a,
c'est-à-dire que le moment du couple de torsion hililaire est proportionnel au sinus de l'angle d'écart. Le corps soutenu hifilairement est donc sollicité vers sa position d'équilibn*
comme le serait un aimant dont le couple directeur serait — r •
La suspension bifilaire est d'autant plus sensible que la valeur de a, correspondant à une valeur donnée de M, est plus
grande, ou que -y- est plus [letit ; c'est-à-dire que les fils
sont plus longs et plus rapprocbés, et le poids du système moins considérable.
B0ÏÏ8S0LES DES TAHGEHTES. — On désigne sous le nom générique de boussoles des appareils de mesures électromagnétiques dans lesquels l'organe mobile est une aiguille aimantée.
Quand l'aiguille, suspendue à un fil sans torsion, est soumise à l'action d'un cadre fixe parallèle au méridien magnétique, l'appareil prend le nom de boussole des tangentes. Si l'aiguille» est très courte par rapport aux dimensions du cadre, la tangente de la déviation de l'aiguille est proportionnelle à l'intensité du courant. En particulier, nous avons démontré (p. f\o) que si le cadre est une bobine circulaire comprenant n tours de rayon R, et si l'aiguille est suspendue» au centre du cadre, on a
Dans le cas où l'aiguille est excentrique et placée à la distance a sur la normale au plan du cadre,
( 3 ) i ïy-, tang^, // — y' 1^' ^ ''^•
I aO
En général, la dislanco^ n'est pas assez grande, par rapport à la longueur / de l'aiguille, pour que la formule (3) soit rigoureusement applicable. Hlanchel(^) a démontré que celte «expression doit être remplacée par
( '0 c - .^--^;^^ tang^. I I - ^ — ^ L«(. - os,n«5)J,
dans laquelle L représente la longueur de l'aiguille. Quand la suspension est centrale, cette formule se réduit à
/ = tanff^
•î/it:
-"IhÎC- '*in«9)]
Pour éviter la correction dépendant de L, Gaugain (*) avait imaginé une boussole dans laquelle l'aiguille était suspendue
excentriquement à une distance a — - du centre du cercle.
Alors le facteur U*— 4a* s'annule, el Ton doit appliquer la formule (2). Comme l'on emploie plusieurs tours de fil dans la boussole, Gaugain enroulait celui-ci sur un support conique, de bauteur égale à la moitié de son rayon, et dont le sommet était le point de suspension de l'aiguille. L'intensité du courant était alors rigoureusement proportionnelle à la tangente de la déviation. Quant au facteur de proportionnalité, si Ton désigne par II le rayon moyen du tronc de cône sur lequel est
<'nroulé le (il, il est égal à -. •
M. Helmliolt/ a substitué à la boussole de (jaugain une
boussole symétri(|ue dans laquelle l'aiguille se trouve placée
entre deux bobines |)arallèles, séparé(»s ï)ar une distance égale
à leur rayon {voir lajiif. lO-l, p. 140). On |>eut se dispenser
d'eru'ouler les bobines sur des troncs <le cône, en leur donnant
ime section rectanjyilaire très |>etit(». Au reste, M. lleimboitz
a démontré (|ue la bobine à section rcntangulaire satisfait ri-
(') \o\r Journal de Physif/ue, 2" série, t. 1, p. 9.17, une démonstralion simple delà formule de Blanrhet, par M. Mascart,
( ' ) Gaugain, Comptes rendus hebdomadaires des séances de VAcade^ mie des Sciencesj i. XWVI, p. 191; i853.
BOUSSOLES DES TAiNGENTES.
goureusemenl à la condition imposée, si sa hauteur est à sa largeur dans le rapport ^-» Des dispositions plus compliquées
pourraient encore être employées (').
M. Lippmann a proposé de remplacer le cadre plat de la boussole des tangentes ordinaires par une bobine très allongée, dont Taxe est perpendiculaire au méridien magnétique, et de suspendre Taiguille mobile au centre de la bobine.
Proposons-nous de déterminer la force à laquelle se trouve soumis un pôle austral égal à Tunité placé en 0 {Jig. 93), au
centre de la bobine. Soient n le nombre de tours de fil par unité de longueur, R le rayon de la bobine, 2/ saMongueur, x la distance d'une section normale MN au centre 0. Une tranche MNM'N', d'épaisseur ^j?, contient ndx tours de fil. L'angle solide total dÇiy sous-tendu en 0 par l'ensemble des feuillets magnétiques équivalents à la tranche, est
imzdœ I I ,- ' )
et J'angle solide il sous-tendu par l'ensemble des feuillets équivalent à la bobine tout entière,
Çlz=L'im: I (i ; — ^T I dj\
Le potentiel V en 0 est
\zri^.
( • ) Voir Maxwell, Electricity and MagnetUniy l. II, p. 3 19, Z10.
ii8 LES AIMANTS.
et la force exercée sur le pùle austral unité, qui, par raison (le symétrie, est dirigée suivant l'axe de la bobine, est
Si Taiguille suspendue en 0 est assez courte, on peut répéter les raisonnements que nous avons faits pour la boussoU* des tangentes ordinaires, et l'on trouve que la déviation 6 de l'aiguille est donnée par la formule
Pour une bobine de longueur inlinie, on aurait simplement
f --. \nT. / ,
tang(?- -jj—.
Si l'aiguille a une» longueur nolable par rapport à la longueur/de la bobine, la fornnile (f)) comprendra un ternu» correctif dont le calcul est complicpié ; mais l'influence de ce lerme'est d'autant moindre que / est |)lus grand. Il ne paraît pas très diflîcile de disposer un a|)i)areil dans des conditions telles (jue la formule» (lo) lui soit |)rati(piement applicable (').
(') Foiiillel HViiil proposé de rendre mobile le cadre do la boussole eL de le faire tourner dans le sens de la dévialion de l'aiguille jusqu'à ce que celle-ci se trou>àt en équilibre dans le plan du cadre. La force /;x cxcrcéf par le cadre sur le p«Me A', par exemple, est alors normale à A B', et la condition d'éffuilibre est donnée par la formule
sinO --= ^,
qui ne difTcre de celle qui a été trouvée page \\ (|uc par la subslilution de sinQ à langQ. L'intensité du coûtant est donc propurtionnelle au sinu<
