BAROMÈTRE. — LOI DE MARIOTTE
Problème 38. — Quel est l'effort nécessaire pour séparer deux hémisphères de Magdebourg, sachant que la pression extérieure est 760 millimètres, la pression intérieure 1 2 millimètres, le rayon des hémisphères i décimètre et le poids spécifique du mercure 1 3 , 696 ?
Solution. — La pression exercée sur un hémisphère est égale à la pression exercée sur un grand cercle. En effet, soit p la pression qui s'exerce normalement sur chaque unité de surface ; c'est la différence entre la pression extérieure et la pression intérieure. La pression sur un élément a» est /? ai; elle peut se décomposer en deux : l'une normale à la surface de séparation, et qui a pour valeur /? cocos a, en appelant a l'angle de la force p avec la perpendiculaire au cercle de séparation des deux hémisphères ; l'autre, parallèle à cette surface, ei qui est sans action. Or a>cosa est la projection de l'élément cj sur le cercle de séparation ; si l'on fait la somme de toutes les pressions, on obtiendra le produit de p par la somme des projections de tous les éléments tels que ai, c'est-à-dire la surface du cercle de séparation.
Nous aurons, par conséquent, pour l'effort demandé
£ = (7^,6 — id, a) xi3, 59^x3,1416.
En prenant pour unité le décimètre, le poids sera exprimé en kilogrammes. Nous aurons donc
Problème 39. — Un tube barométrique plongé dans la cuTette profonde renferme de l'air qui occupe un volume de 3 centimètres cubes, la hauteur da mercure dans le tube étant de 588 millimètres au-dessus du niveau dans la cuvette. On soulève le tube jusqu'à ce que l'air qu'il renferme occupe 4 centimètres cubes. La hauteur du mercure dans le tube est alors de 63o millimètres. Quelle est la pression atmosphérique ?
Solution. — Dans le premier cas, l'air occupe un volume de 3 centimètres cubes ; sa pression est x — 588, en appelant x la pression cherchée. Dans le second, son volume est 4 centimètres cubes et sa pression x — 63o. Appliquons la loi de Mariette, nous aurons
d'où
Problème 40. — Un tube barométrique vertical plonge dans une cuvette profonde. 11 contient de l'air qui occupe une longueur «, lorsque le niveau du mercure est le même dans le tube et dans la cuvette. On soulève le tube d'une longueur b, A quelle hauteur le niveau montera-t-il dans le tube ?
Solution. — Soit x la hauteur cherchée. Prenons la section du tube comme unité.
Le volume de l'air intérieur est d'abord a à la pression extérieure H, puis a-h b — or à la pression H — x. On aura donc, en appliquant la loi de Mariette,
X sera donc donné par l'équation du second degré
x' — ar(a-i-*-hH)-i-*H=o.
Cette équation a toujours ses racines réelles, car la quantité b* — !\ac est ici
On peut la mettre sous la forme
Elle est donc toujours positive.
Si l'on résout l'équation, on trouve
û^ è -t- H zb s/u^hZ^-HY—fibU
Pour reconnaître quel signe on doit prendre devant le radical, faisons une hypothèse particulière; supposons ^ = : on devra évidemment trouver x =.0. Or on a, dans cette hypothèse,
«-i-Hzfc(a-+-H)
Si l'on prend le signe -+-, on a
X =. a -r-H et si l'on prend le signe —
on rejettera donc le signe ■+■ et l'on aura pour x la valeur
Problôme 41. — L'air contenu dans la branche fermée d'un manomètre à air comprimé, dont les deux branches ont le même diamètre, occupe une longueur a, La différence des niveaux du mercure dans les deux branches est b, et la près-
sion extérieure H. Qa*arrivera-t-il si l'on ajoute un poids p de mercure dans la branche ouverte ?
Solution, — Soient x = AA' Télévation du niveau dans la grande branche, et ^ = BB' dans la petite {fg. 4o4). Le volume du gaz était d'abord a et sa pression H — 3. 11 est devenu a — x et sa pression H — (i -t- a: — jr).
On a donc, d'après la loi de Mariotte,
Fig. 40^.
a{ll — b) =^ {a — x){Y{ — b — X -f-^')-
Mais X -¥-j est la longueur de la colonne de mercure ajoutée; si s est la section du tube et d la densité du mercure, on a
{x^jr)sd=zp, d'où j-=^— .t; \-^ l'équation précédente devient donc
a{Vi— b) ^.{a — x)(^ -b-^ ^ ^ ix\ et, en développant,
On en déduit
H — * -h ^ -t- 2 a rt i/^ H — ^ -f- ^ -h Qo V— -
8 aps
Les deux racines sont toutes deux réelles, car la quantité placée sous le radical peut s'écrire
(H - * ;« -+- 2(H - ^) ^i^' -+- 2 «) H- (^ - -ia y.
Pour reconnaître laquelle des deux racines convient au problème, nous feroos p = o : nous devrons trouver x =. o.
Or il vient
H — b-T-2a-±:(l\'^b'-h'ia)
le signe — donne
donc le signe — seul convient.
Problème 42. — Dans une machine pneumatique, la somme des volumes du récipient et du corps de pompe entier est de 3 litres, et le volume de l'espace nuisible est do 5 centimètres cubes.
Quelle doit être la capacité du corps de pompe pour que, après deux coups d« piston, la densité de l'air dans le récipient soit devenue la moitié de ce qu'elle était d'abord? Cette valeur trouvée, on calculera la densité qu'aura l'air dans le récipient après quatre coups de piston.
Solution, — Proposons-nous d'abord de trouver la loi de raréfaction, en tenant compte de Tespace nuisible. Soient R le volume du récipient, C celui du corps de pompe et u le volume de l'espace nuisible. Appelons D la densité de Pair à la pression ordinaire, D„, la densité de Pair du récipient après n — 1 coups de piston. Cherchons la densité D„ après n coups de piston. Remarquons que la densité de Pair dans l'espace nuisible est toujours D.
Lorsque le piston est au bas de sa course, nous avons dans le récipient un poids d'air RD„j et dans l'espace nuisible un poids uD, Lorsqu'on relève le piston, cet air occupe le volume R+C, et sa densité est D„; son poids sera donc
CRh-C)D,..
Nous aurons donc l'équation
(R-+-C)D,,=.RD„.-^«D ou D„=^-^D„,i-— J^D.
Donnons successivement à n les valeurs i, 2, 3,..., /i, nous aurons les n équations
Pour éliminer Dj, Dj, ..., D„,, multiplions la première équation par ( ^ — p \ j la deuxième par ( - — ^r \ > la troisième par ( - — j; \ >••• et ajoutons ; il viendra
et, en faisant la somme des termes de la progression géométrique,
°»=(iTi-c)"»-^¥[-(KTc)"}
Si dans cette formule on fait n = zc ^ on trouve pour limite de raréfaction
formule déjà trouvée.
Résolvons maintenant le problème proposé. Soient
Nous aurons
on, en simplifiant,
aC— 2C(aS-+-tt)H-S'-+-4ttS=o; on en déduit
, , ^ 2SH-ttltv/'(2S-+-tt)»— q(S»-h4«S)
Comme u est très-petit, les racines sont toutes les deux réelles.
Pour trouver laquelle des deux consent, supposons l'espace nuisible nul. Si, dans la formule (a), on fait u==o, il Tient
Le signe + conduirait à une valeur de C plus grande que S, ce qui est absurde.
Il faudra donc prendre le signe — devant le radical. Dans l'exercice proposé S = 3***, M = 0'",oo5; on a donc
La densité après quatre coups de piston sera donnée par la formule
Problôme 43. — La cloche de la machine pneumatique renferme 3^,17 d'air; un tube barométrique recourbé, communiquant, d'une part, avec la partie supérieure de cette cloche et plongeant, d'autre part, dans un bain de mercure, marque zéro quand la cloche communique avec l'air; on ferme la cloche et l'on tait jouer la machine : le mercure s'élè?e dans le tube à o",6j. La pression extérieure est restée constante et égale à o",76. Combien a-t-on retiré d'air de la cloche et combien en reste-t-il ?
Problème 44. — Un tube cylindrique ouva>t par ses deux extrémités a trois branches parallèles et verticales réunies entre elles par des parties horizontales. Les deux premières forment un siphon manométrique contenant du mercure qui s'élève au même niveau dans chacune d'elles. On enfonce la troisième d'une certaine quantité a dans un vase contenant aussi du mercure. 11 en résulte une diflërence de niveau dans les deux premières. On demande d'évaluer cette différence. sachant que la pression extérieure est H et que, la branche en partie plongée, la courbure supérieure du tube et la portion occupée par l'air dans la branche intermédiaire ont des longueurs dont la somme est b.
Problème 45. — Tu tube cylindrique vertical plein de mercure communique par uu trè$>petit orifice perco dans son fond avec un vase cylindrique fermé et plein d*air sec, dont la pression est égale à la pression atmosphérique. Le tube est d*abord ferme par le haut ; si Ton débouche Touveiture supérieure, «ne partie du mercuTf s'v^coulora dans le vase. On demande où se fix»a le niveau du mercui^ daus le tube, lorsque recoulement s*arrèteni.
Problème 46. — Un tube barométrique purgé d'humidité, mais non privé d'air, est dressé sur une cuve à mercure. La hauteur] de ce liquide dans le tube au-dessus du niveau dans la cuve est A = o™,552. On introduit dans le tube barométrique autant d'air qu'il y en a déjà; la chambre barométrique augmente de moitié, et la hauteur du mercure diminue de h'=. o'",072. Quelle est la pression atmosphérique x sous laquelle on opère ?
Problème 47. — Un tube barométrique est formé de deux parties AB, BC de diamètres inégaux d et d' {fig* 4o^)î ^^ diamètre <£' de la partie in- Fig. /|o5. férieure est assez petit pour que la colonne mercurielle puisse être soutenue dans cet appareil par la pression atmosphérique. Lorsque cette pression est égale à H, la colonne de mercure dans le tube supérieur occupe une longueur BM = /. On demande : 1® quel sera le déplacement des extrémités M et G de la colonne, pour une variation h de la pression atmosphérique ; 1^ entre quelles limites de pre&- \\\ sion peut fonctionner l'appareil?
Application»
<f = o'",oo6, rf' = o'",oo5, H = o"',755, /=:o™,238, A = o™,ooi .
On admettra que la température demeure constamment égale à zéro et l'on négligera les effets de la capillarité.
Problème 48. — Un tube barométrique AB i^fig, 4o6), renversé sur un bain
Fig. '|o'î.
Fig. 407.
An
de mercure, contient une certaine quantité d'air sec, et le niveau du mercure est en C quand le tube est vertical. On incline ce tube d'un angle A autour d'un axe horizontal passant par un point O. On demande le niveau du mercure dans le tube. Que se passe-t-il quand on donne au point O différentes positions sur le tube AB.^
Problème 49. — Un ballon A de 10 litres de capacité, contenant de l'air à 30 atmosphères, peut être mis en communication par un robinet d avec un tube CB, dont la section est égale à i décimètre carré (//^. 407). Au commen-
aoo PROBLÈMES ET SOLUTIONS.
cernent de Topératiou, CB est plein d'eau. On plonge l'appareil dans l'eau de la mer, dont la densité est supposée constante et égale à i ,026, à toute profondeur. On ouvre le robinet d lorsque l'appareil est arrivé à i5u mètres au-dessous du niveau de la mer. Le gaz chasse l'eau qui descend jusqu'en B. Calculer : 1® la hauteur BG; o9 le poids du gaz qui restera dans A; 3^ la profondeur à laquelle il faudrait descendre l'appareil pour que tout le gaz restât dan6 le ballon A. On sait que i litre d'air pèse i^'',Q93 à zéro et à la pression de 760 millimètres.
Problème 50. — On prend un tube de verre bien cylindrique, de i mètre do long, dont la section intérieure est de i centimètre carré, et dont la section extérieure est de 1 centimètres carrés, en sorte que la section du verre soit de i centimètre carré. Le tube étant supposé fermé à l'une de ses extrémités par un fond plat sans épaisseur et sans poids, on le remplit de mercure, on le renverse sur une cuve profonde, on y introduit 10 centimètres cubes d'air à la pression et à la température ambiantes, et on l'abandonne à lui-même dans une position verlicalo. On demande ; i<* le volume de l'air intérieur; a® la différence des niveaux du mercure à l'intérieur et à l'extérieur du tube.
Densité du mercure i3,6
» du verre : , 49
Pression extérieure o, 76
Problème 51. — Soient d et d' les diamètres intérieurs de la branche ouverte et de la branche fermée d'un manomètre à air comprimé, v le volume de l'air contenu dans la branche fermée, h la différence des niveaux du mercure dans les deux branches. H la pression atmosphérique. On demande ce qui sp passera si l'on ajoute un poids /? de mercure dans la branche ouverte. Exemple numérique :
J— 5'""',3, rf'=ii,2, H = 75i,9, À= ji3""-'",4, ♦'^iS^CjaS, /> = I5lS^23.
Densité du mercure i3,6.
Problème 52. — Sous le récipient d'une machine pneumatique, contenant de l'air sec à zéro et sous la pression 0^,76, on place un fléau de balance aux extrémités duquel sont suspendus deux cubes : l'un a 3 centimètres de côté et pèse •ifi*''', 3j4» Tautre a 5 centimètres de côté et pèse aGs*", 2697. Le fléau n'est donc pas en équilibre. On fait le vide dans l'appareil; à quelle pression faudrat-il amener l'air du récipient pour rétablir l'équilibre? On supposera que la température de l'air est restée constante, que les deux bras du fléau sont d'égal volume, et l'on prendra iS^*, 293 pour poids de i litre d'air sec à zéro et à la pression 0°*, 76.
Problème 53. — Un vase A renferme des volumes égaux d'acide carbonique et d'hydrogène sulfun*. On y introduit un volume d'eau égal à la moitié du volume du vase. On demande la composition du gaz dissous et celle du gaz qui forme l'atmosphère.
On met ensuite le vaso A en communication avec an vase B d'égale capacité et vide. Quelles sont encore la composition du gaz dissous et celle de la nouvelle atmosphère?
PROBLÈMES ET SOLUTIONS. aoi
Toutes les expériences sont faites à la même température. Les coeflBcients de solubilité, ou plus exactement les coefficients de pression, sont i pour Tacide carbonique et 3 pour lliydrogène sulfuré.
THERMOMÉTRIE. - DILATATIONS.
Problème 54. — Une barre métallique a i5 mètres de lon^rueur à la température de 25 degrés C. et i4"*,i75 à la température de 8®,5 ; on demande le coefficient de dilatation du métal.
