AB

4rf»bin'-

en prenant AC = <f et en représentant par h la répulsion de deux masses électriques égales à Tunité et situées à l'unité de distance.

Dans le triangle BPR, on a

BP PR

sîn BRP

cos -

îi

sinPBR sin^

■2 sin -

Soit ^ le poids de la boule h^ nous aurons

4/;^=sin*-

asin -

et par conséquent

q-— — , — sm' -• ^ k 1

Le carré de la charge cherchée est donc proportionnel au cube du sinus du demi-angle d'écart.

Problème 70.— Les deux boules de la balance de Coulomb sont parfaitement isolées et chargées d'une même électricité. Leur angle d'écart est alors a. Quelle sera la distance angulaire x des deux boules au bout du temps f ? Le coefficient de déperdition est /a dans les conditions de l'expérience.

Solution. — Soient q la charge de chaque boule à l'origine du temps, et q' la charge au bout du temps t.

Nous aurons (t. I", p. 874)

■7—7-1 = a sin - tang - • i\r^k 2 2

Au bout du temps t nous aurons

fq'* 4r«Â"

a' sin — tang — ;

mois, d'après la loi de déperdition, on a

q'^qe

on en conclut

u' sin — tang — = a sin - Uns - e '^^ '»

Si les angles sont suffisamment petits pour qu'on puisse remplacer le sinus et la tangente par Tare, il viendra

a'*=a*tf , d*où a'= ae ,

Les angles d'écart décroîtraient en progression géométrique, les temps croissant en progression arithmétique.

Fig. 409.

Problème 71. — On fait tourner le plan de la boussole d'inclinaison autour

de son axe vertical ; quelle est la courbe tracée par Je prolongement de l'aiguille sur le limbe horizontal de la boussole {fig, 409)*

Solution, — Soit COP une position du plan de l'aiguille faisant l'angle a avec le méridien magnétique COM.

Dans ce plan, l'aiguille fait avec l'horizon un angle «', tel que

cot/'= coti cosa,

I étant l'inclinaison magnétique. Soit d la distance du plan du limbe horizontal au point de suspension de l'aiguille; on a

mais

CN = <f cot/'=: <f cot/cosa; CK = d coXif donc CN = CA cos a.

Le lieu géométrique du point N, quand on fait varier a, est donc le cercle décrit sur CA comme diamètre.

Problème 72. — Une aiguille d'inclinaison est suspendue dans le plan du méridien magnétique, mais son centre de gravité ne coïncide pas avec son point de suspension : l'aiguille fait alors avec l'horizon un angle V, On l'aimante en sens contraire : l'angle qu'elle fait avec l'horizon devient i". Quelle est l'inclinaison magnétique, sachant que le centre de gravité de l'aiguille est à une distance d du point de suspension ?

Solution, — Soient d la distance du centre de gravité G à l'axe de suspension; / la demi-longueur de l'aiguille ; f^ son poids appliqué en G; 1 l'inclinaison cherchée {fig, 410).

lO i^ centre de gravité est au-dessous du point de suspension. On a, dans le cas de l'équilibre,

aFxOK = ;ixOH, c'est-à-dire

a F/ sin (1'— i) = pdcosi\

J. — j4pp. j4

ao8 PROBLÈMES ET SOLUTIONS.

ce qui peut s'écrire

co8< tangj

Fig. 4 10.

2^ Le centre de grayité est au-dessus du point de suspension, l'aiguille ayant été aimantée en sens contraire. On a pour l'équilibre

2FxOK = />xOH ou 2F/8in(i — i*') = />rfcosi'.

ce qui peut s'écrire

sini — cosi tang*'= •^^-j;

on aura donc

d'où Ton déduit

si n < — cos i tang < " = cos / tangf ' — sin i ,

tangi =

tang* '-4- tang I

La tangente de l'inclinaison magnétique est donc la moyenne arithmétique des tangentes des angles observés. Si les angles i' et i' étaient peu différents, on pourrait prendre

*# * ir

Problème 73. — Une petite boule de moelle de sureau dorée est fixée à l'extrémité d'une longue aiguille de rerre qui peut se mouvoir horixontalement autour de son milieu F. Deux sphères conductrices isolées ont leurs centres C et C sur la circonférence que peut décrire la boule. Lorsque cette boule, électrisée de même sens que les deux sphères, est en équilibre entre elles, les arcs qui séparent les centres de celui des deux sphères sont $ et 6', Quel est le rapport des charges des deux sphères ?

Problème 74. — On touche successivement à des intervalles très-rapprochés le bouton du collecteur d'un condensateur avec deux boules parfaitement isolées A et B : i^ avec la boule A. quand le second plateau est éloigné; 2** avec la boule B, quand il est en présence du collecteur. On mesure ensuite les charges de A et de B, en les introduisant dans la balance de Coulomb sans toucher la boule mobile, préalablement électrisée dans le même sens. En commençant parB

on trouve que, pour maintenir U boule mobile à 3o degrés, il faut tourner le micromètre de 37 degrés; avec la boule A il faut le tourner de 33^ degrés. Mais les deux lectures n'ont pas été faites simultanément, et il s'est écoulé 3°^, 7 entre la première et la seconde. Pour évaluer la perte, on laisse la boule A en place, on détend le fil de 20 degrés et l'on trouve que la boule mobile revient à 3o degrés, au bout de 2°^, 5. On demande, d'après cela, quel était le pouvoir condensant du condensateur ?

Problème 75.— La boule mobile, après s'être électrisée au contact de la boule fixe, est repoussée à une distance angulaire «. Cela posé, on touche la boule fixe avec une autre exactement semblable, de manière à lui enlever la moitié de son électricité. A quelle distance la boule mobile viendra-t-elie se placer de la boule fixe ?

Problème 76. — Sur une règle MN pouvant tourner autour d'un axe vertical, on attache deux aimants ab et AB perpendiculairement à la règle et dans un plan horizontal. Quelle est la position d'équilibre du système?

Problème 77.— Deux aiguilles aimantées sont fixées à un même axe vertical, l'angle qu'elles forment entre elles étant égal à a. Quelle sera la position d'équilibre du système sous l'action de la Terre ?

OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

Problème 78. — Un élément de surface infiniment petit ab {/ig, 4ii) est

éclairé par un point lumineux L, situé sur une Fig. 4ii> perpendiculaire LA au plan de l'élément AR.

Qelle doit être la position du point L, pour que ab reçoive le maximum d'éclairement ?

Solution, — Soit d la distance du centre B de l'élément AB à la perpendiculaire AL; soit JT =^ AL. La quantité de lumière reçue par ab est exprimée par la formule

Aab sin a