BL
La quantité dont il faut chercher le maximum est donc
sin a .r
Prenons la dérivée
BL (rf*-+-.x»)
égalons-la à zéro, il viendra, après avoir supprimé le facteur (<^'h- •^*)^>
€f* — 2j:- = o, d'où j: = -—
aïo PROBLÈMES ET SOLUTIONS.
Cette Taleur de x correspond bien à an minimum, car, pour x infini, ^ = o ; il en est de même pour x = o.
Problème 79. -> Étant donnés un miroir sphériqoe et un plan, à la distance a
du centre du miroir, trouTcr le lien
Fig. /,i2.
géométrique des foyers conjugués des divers points de ce plan.
Solution. — Soient (Jrg- ^li) BCA l'intersection du miroir avec un plan passant par son centre, et XX' la trace du plan donné sur ce même plan.
Soient OQ = a; QP = *; OQ' = x, P'Q'z=jr et r le rayon de courbure du miroir. On a
c'est-à-dire
Mais on a
RP RP' r
— ^a' -r- b* r -I- y/jr" -r-J
si Ton élimine h entre ces deux équations, on trouve
C'est une conique dont le point O est le foyer, et dont la droite XX' est la directrice. Pour avoir le lieu demandé, il suffît de faire tourner cette conique antour de l'axe OC. On aura un ellipsoïde, un hyperboloîde ou un paraboloïde de révolution, suivant que r sera ^ 3a, > 3a ou = 3a. Si l'objet est un cercle de rayon suffisamment petit, décrit autour du point Q, l'image se réduit à une zone de surface de révolution très-peu étendue, qu'on peut confondre avec un plan.
Problème 80. — Condition pour qu'un rayon de lumière qui tombe sur un prisme d*angle A émerge par la face opposée (/?^.4>3).
Solution. — Soient BN la normale en un point B, l l'angle limite; tous les rayons incidents, lorsqu'ils auront pénétré dans le prisme, seront compris dans l'angle CBC = aZ. Traçons par le point B la normale BN' à la seconde face du prisme; les rayons qui pourront sortir seront compris dans l'angle DBiy, formé par les doux droites BD et BD', qui font avec BN' des angles égaux à /. Les rayons entrés dans le prisme, qui pourront sortir, sont donc compris dans l'angle CBD'. Cet angle se réduit à zéro, si l'angle NBN' = A est égal à N'RD'-f-NBC ou a/.
Donc, si Tangle du prisme est < a /, un groupe de rayons entrés dans le prisme pourra en sortir : ce seront les rayons compris dans l'angle CBD'.
Fig. 4i3.
Si A = 3 /, un seul rayon pourra sortir du prisme : ce sera le rayon BG. Enfin si A > 3 /, aucun rayon ne pourra sortir du prisme.
Problème 81. — Deux lentilles conTergentes de foyers /et/' sont rapprochées au contact, quelle est la distance focale du système.
Solution, — Soit P {fig. 4i4) un point lumineux à la distance p de la pre-
Fig. 414.
mière lentille; il donnera une image P" à Ja distance p". Nous négligerons Tépaisseur des lentilles. On aura
Par suite de l'interposition de la seconde lentille, l'image vient se faire en P'. On peut donc regarder P' comme l'image de P" dans la seconde lentille. Les points P' et P'^ étant du même côté de la lentille, on aura
I I I et, en ajoutant les deux équations, on trouve
2ia PROBLÈMES ET SOLUTIONS,
si donc f est le foyer da système, on a
En général, si l'on superpose un nombre quelconque de lentilles, on aura, en ne tenant pas compte de leurs épaisseurs,
Fig. 4i5.
Problème 82. — Quelle doit être la nature de la surface qui sépare deux
milieux inégalement réfringents, pour que les rayons lumineux émis d'un point situé dans le premier milieu soient parallèles entre eux dans le second?
Quelle doit être la surface de séparation, pour que des rayons émanés d'un même point du premier milieu se coupent au même point dans le second ?
Solution, — Résolvons d'abord la première question. La surface cherchée sera une surface de révolution dont il faudra trouver la méridienne. Appelons n l'indice de réfraction du second milieu par rapport au premier {^fig. 4i5).
Soient un point M de la surface de séparation; MP le rayon incident; MP' le rayon réfracté; MT la tangente à la courbe; MN la normale. Soient PM = /o, MPX = (a les coordonnées polaires du point M. Soit V l'angle de la tangente à la courbe avec le rayon vecteUr; on a
Or
De plus
tangV = 4.
Pu.
sin< = /t sinr.
Éliminant V, i et r entre ces quatre équations, il reste
n 8Tn 6)
n cos u — I
En remontant à la fonction primitive, on trouve
lû=- — l(n cosùi — i)-t-/C, d'où p = •
'^1 — n cos u
La courbe cherchée est donc une conique dont le point P est le foyer.
Si n est > I, c'est-à-dire si le second milieu est le plus réfringent, on a une
PROBLÈMES ET SOLUTIONS. ai3
hyperbole. Si n = i, on a une parabole : c'est le cas de la réflexion. Enfin, si n < I, le premier milieu est plus réfringent que le second et la courbe est une ellipse.
Pour résoudre la seconde partie du problème, nous prendrons les coordonnées bipolaires ^fig^ 4* 6)*
Fig. 4^6.
Soient C le point lumineux, G' le foyer conjugué. Soient M un point de la courbe cherchée, p et p* ses deux rayons vecteurs. La tangente en coordonnées bipolaires est définie par Téquation
Or on a et
Il suit de là
, cosV ,. Ap
db -7 = lim--7==Dp'/».
cosV A/9 ^
sin < =. /i sin r
VÎT ' \it "^
sin /
sinr
±n = Dp/3,
et en remontant à la fonction primitive
/9 = =t/lp'-h C.
L'équation de la courbe sera donc
Les courbes de cette famille sont connues sous le nom àHovcdes de Descartes. Dans le cas de /2= i, la courbe se réduit à p ■:iz p' = C, c'est une ellipse ou une hyperbole; on est alors dans le cas de la réflexion. Ces surfaces ont été nommées par Queteiet surfaces aplanétiques.
Problème 83> — Deux points lumineux L et L', à une distance a Tun de l'autre, et situés sur un même plan horizontal, sont placés chacun devant un miroir plan. Le point L est à une distance d du premier miroir et le point V à une distance d' du second. Quel doit être l'angle des deux miroirs, pour que les deux images se superposent?
Problème 84. — Deux miroirs concaves, dont les rayons de courbure sont r et r'f sont disposés en regard l'un de l'autre à une distance d^ de manière que
3i4 PROBLÈMES ET SOLUTIONS.
learf axet coinddeiit. En quel point de Taxe lkudi«4ril plmcer un objet lumineox poor que les images réelles données par les deox miroirs soient égales?
Problème 85. — Un rayon lumineux tombe perpendiculairement' sur Tune des faces d'un prisme dont l'angle, au sommet, est A; la déviation qu'il subit est 9 : quel est l'indice de réfraction du prisme?
Problème 86. — On donne deux points A et B sur une droite AB. En quel point de cette droite faut-il placer une lentille couTergente de foyer/*, pour que l'image du point B dans cette lentille coïncide avec le point A (focomètre de Bessel).
Problème 87. — Trouver une courbe plane réfringente telle, que tous les rayons lumineux émanés d'un point A de son plan donnent naissance à un rayon réfléchi et à un rayon réfracté, formant entre eux un angle constant. Cas particulier dans lequel les rayons réfléchi et réfracté sont perpendiculaires.
