CAPILLARITÉ ET ÉVAPORATION

dans les végétaux. L'imbibilion des corps poreux présente ayec cette ascension de la sève une analogie incomplète sans doute, mais cependant assez étroite. Pour la mettre en lumière, Jamin a eu recours à la disposition suivante : Il remplace le chevelu radiculaire par la paroi lisse et poreuse d'un alcarazas plongé dans du sable humide; les canaux de la sève sont remplacés par du plâtre tassé ou par un corps poreux quelconque, qui, remplissant Talcarazas, s'élève ensuite en une colonne unique représentant la tige du végétal; enfin rénorme surface extérieure formée par les feuilles ou Tépiderme est résumée par celle d'un autre alcarazas rempli de la même poudre tassée. L'eau est puisée dans le sable ; arrivée à la partie supérieure, elle s'évapore constamment, et, à mesure qu'elle disparaît, elle est remplacée par celle que le sol cède continuellement. Aussi voit-on le sable se dessécher peu à peu et presque complètement, le mouvement d'absorption et d'évaporalion se ralentir et même s'annuler, mais s'activer ou se reproduire aussitôt qu'on arrose l'appareil.

11 n'est pas douteux que, malgré la différence de structure et de propriétés des corps poreux d'origine minérale et des tissus végétaux, l'élévation de l'eau à travers ces tissus ne dépende en dernière anahse de l'action des mêmes forces, et ne doive un jour rentrer exclusivement dans le Chapitre de la Physique générale auquel est consacré ce fascicule.

HfFLUENGE DE LA CAPILLARITÉ SUR L'ÉTAPORATION. — Imaginons une cuvette A et un tube capillaire B contenant de l'eau et placés dans le vide ^fiS* 49). La pression exercée en A par la vapeur d'eau est plus forte que la pression en B d'une quantité égale au poids d'une colonne de vapeur ayant pour section l'unité et pour hauteur la différence des niveaux.

Par suite de celte inégalité de près- __ sîon, il faut ou bien que le liquide distille continuellement de B vers A, ou que la vapeur soit en équilibre avec son liquide à une pression plus basse là où la

surface est concave que là où elle est plane. Sir W. Thomson (^) adople celte dernière conception, qui est seule en harmonie avec les principes fondamentaux de la Thermodynamique.

Cela posé, soient p et a les densités du liquide et de sa vapeur, dans les conditions de l'expérience, z la hauteur à laquelle le liquide s*élève dans le tube de rayon R, que noas supposerons mouillé par le liquide :

R(p-cr)^

D'autre part, soient /? et cy les tensions maxima de la vapeur à la température de Texpénence au contact de la surface plane et de la surface concave; on doit avoir

p-=^m -\- Z (S g = cy +

Sir W, Thomson a calculé que pour un tube de o™",ooi de diamètre (dans lequel Teau s'élèverait à 3o™ de haut)» la différence/? — vs ne serait que la millième partie de p. Mais, si faible que soit cette différence, elle suffit pour rendre compte d'une multitude de phénomènes, dont rexplicatioû était jusqu'ici bien embarrassante.

Ainsi Ton sait que la plupart des substances filamenteuses peuvent absorber la vapeur d'eau dans l'air, bien au-dessous du point de rosée proprement dit. Celui-ci doit, eneflFel, pour une même température fixe, correspondre à une pression moindre à l'intérieur des tubes très capillaires dont ces substances sont formées. De même, au sein d'une masse d'air saturé contenant en suspension des gouttelettes d'eau, les plus grosses gouttes s'accroîtront aux dépens des plus petites, car, la surface des gouttes étant convexe, la valeur de ci correspondante est d'autant plus grande que le rayon R est plus faible , et les petites gouttes peuvent s'évaporer sous une pression supérieure au point de rosée des grosses. On con-

( ' ) w. Thomson, On the equilibrium of vapour at a curve surface of iitjuid {Philosophical Magazine, t. XLII, p. 44^; 1B71).

çoit aussi qu'une masse d'air pourra demeurer fortement sursaturée de vapeur d'eau, à cause du grand excès de pression nécessaire pour la production des plus petites gouttes. Alors l'introduction d'un corps solide, de petits grains de poussière, par exemple, pourra devenir l'origine d'une condensation subite et abondante.

Pour ne pas se condenser au sein d'un liquide, une petite bulle de vapeur devra posséder un excès de pression d'autant plus grand qu'elle aura un moindre rayon, d'où il résulte que, dans un liquide bien privé d'air, l'ébuUition sera en quelque sorte ^impossible au-dessous de la température de la volatilisation totale; mais, quand on introduira de petites bulles d'air dans le liquide surchauffé, celles-ci grossiront rapidement, et l'ébuUition se fera d'une manière particulièrement tumultueuse, comme on l'observe en effet.

PRINCIPES DE LA THÉORIE DE GAUSS. — Après avoir terminé l'étude expérimentale des phénomènes capillaires, il convient d'indiquer ici, au moins d'une manière sommaire, les hypothèses mécaniques proposées pour les interpréter. Des mathématiciens de génie, Laplace (*), Poisson (*), Gauss (^) ont pris comme base de leurs spéculations Thypothèse de la constitution moléculaire des corps; leurs théories, plus ou moins parfaites, se distinguent plutôt par la nature des développements analytiques qu'elles comportent que par les postulata physiques qu'elles impliquent et que nous allons énoncer.

Les corps en équilibre sont formés de molécules immobiles. Les molécules de même espèce ou d'espèces différentes exercent les unes sur les autres des actions attractives proportionnelles à leurs masses, dirigées suivant la ligne qui les joint et variant suivant une fonction inconnue de leurs distances (*). L'expérience prouvant qu'à toute distance mesu-

(*) Laplage, Supplément au Livre X de la deuxième Partie de la Mécanique céleste; Paris, 1806.

(*) Poisson, Nouvelle théorie de l'action capillaire ; Paris, i83i.

(') Gauss, Principia generalia theoriœ figurœ fluidorum in statu équilibra, t. V des Œuvres complètes.

{*) Cette hypothèse est évidemment incomplète, car, s'il n'existait que

7i* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

rable rattraction de deux corps se réduit à l'action newtoniennC) qui est indépendante de leur nature, le terme doot dépendent les propriétés capillaires doit devenir nul à partir d'une distance très faible. Cette distances, variable avec la nature des molécules agissantes, est désignée sous le nom de rayon d'activité moléculaire.

D'après ces hypothèses, l'action d'une molécule liquider sur une molécule m! de même espèce a pour valeur

— mm' f{z),

La fonclion/(5) est positive et s'annule pour toute valeur de z supérieure à la limite 6. De même, l'action d'une molécule liquide m sur une molécule M d'espèce différente sera représentée par

— mMcp(5)

et s'annulera pour toute valeur de z supérieure à une autre limite e'.

Nous nous proposons de montrer comment ces hypothèses conduisent à la notion expérimentale de la tension superflcielle. A cet effet, nous adopterons la méthode de Gauss, en profitant des simplifications et des perfectionnements qu'elle a reçus notamment de M. Bertrand (*) et de M. Mathieu (').

Nous considérons une masse liquide A limitée par une série d'autres corps liquides ou solides B, C, D, qui la louchent respectivement par des portions de surface Si,S|.... Si le liquide en équilibre reçoit une déformation infiniment petite, la somme des travaux virtuels de toutes les forces

des forces attractives entre les molécules, celles-ci devraient arriver aa contact. Puisqu'il y a une position d'équilibre, il doit donc exister des forces antagonistes. La force qu'il faudrait considérer ici serait l'excès de la force attractive sur les forces antagonistes ; cet excès, que Toi suppose dirigé suivant la droite qui joint les molécules et proportiooad >à une fonction de la distance, serait nul pour la distance caractérisant la position d'équilibre et pour toute distance supérieure au rayon d'actirité moléculaire.

(*) Bertrand, Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. XIIK

(•) Mathieu, Théorie de la capillarité; Paris, i883.

agissantes doit être nulle. C'est ce que nous allons d'abord exprimer.

Nous avons à faire intervenir :

i<» Les travaux virtuels de la pesanteur. Soit z la distance d'une molécule m du liquide à un plan horizontal pris arbitrairement pour origine, le travail virtuel correspondant à cette molécule est — mgdzy et pour le liquide tout entier

— glémdz;

2<» Le travail virtuel des attractions des molécules du liquide A les unes sur les autres. Le travail total relatif à une

molécule m est

— m^m' f{z)dz,

la sommation étant étendue à toutes les molécules du liquide sauf w; mais, en ajoutant les travaux relatifs aux diverses molécules, il faut observer qu'un terme élémentaire tel que — mm'f{z)dz sera pris deux fois, une fois avec m, une fois avec m'. L'expression cherchée du travail total est donc

— J- 2 m m' f{z ) dz ;

30 Le travail virtuel des attractions des molécules de A sur les molécules de B, C, etc. On trouvera sans peine que ces derniers travaux ont pour expression

— 'lmM.(^{z)dz ^ — ^mW<^'{z)dZy ....

Le principe des vitesses virtuelles s'exprime donc par l'équation

— g^mdz — ^I,mm'f{z)dz — IimM(p{z)dz

— lmM'(p^{z)dz — .,,=zo.

Nous pouvons définir de nouvelles fonctions F(5), 0(5), . . . par les conditions

£f{z)dz:r.Y{z),

/ 1 Q^{z)dz — ^{z).

f{z) et 9(3) étant toujours positifs, Y{z) et ^(z) sonl des quantités positives aussi; on a, d'ailleurs, par déGnilioo,

-f(z)dz = d¥(z), — ^{z)dz =z d^(z).

Cela posé, on voit que le premier terme de (i) esl la différentielle d'une fonction Q

— gl^mz -h jlimm'¥{z) -^lmM^{z)-^lmW^'(z)

et Féquation ( i) exprime que cette fonction fî esl un maximum quand l'équilibre est établi. Le problème de la détermination de la figure d'équilibre d'un liquide pesant est ainsi ramené à l'élude de la fonction Q.

Nous supposerons le liquide incompressible (*). Cela posé, la fonction ^ se simplifie, grâce aux considérations suivantes.

A l'intérieur du liquide A et à une distance e de sa surface S, traçons une surface parallèle S'. Pour toute molécule m comprise à l'intérieur de S', la quantité lm'Y{z)^ une valeur constante L, puisque l'action des molécules cesse de s'exercer à partir d'une distancée, et qu'une sphère de rayon e tracée de la molécule m comme centre esl entièrement comprise dans le liquide. Au contraire, pour toute molécule comprise entre S et S', la sphère de rayon £ sort eu partie du liquide, le nombre des molécules attirantes m' esl moindre, et l/n'F{z) diminue d'autant plus que la molécule m est plus rapprochée de la surface S. Soit M la masse totale du liquide, lmm'F{z) est donc moindre que LM d'une quantité ^ que nous allons déterminer.

A cet effet, décomposons la couche SS' en prismes de surface dS. Si, comme nous l'avons supposé, la courbure du liquide est partout négligeable par rapport à e, rien ne distingue ces prismes entre eux, et chacun d'eux fournira à ^un

( ' ) C'est l'hypothèse de Laplace et de Gauss. Voir dans le irarail ^ Mathieu {loc. cit., p. 9) comment on peut s'affranchir de cette restriction.

terme proportionnel à sa surface. On aura donc

2m/n'F(z)=:LM--aS.

La constante a est caractéristique de l'attraction que le liquide exerce sur lui-même.

L'attraction des molécules M de B sur les molécules m de A ne s'exerçant pas au delà d'une distance très petite t\ un raisonnement calqué sur le précédent donnera pour le terme 2M/nO(5) une valeur

61 est une constante caractéristique de l'attraction des molécules de B sur celles de A.

On aura, en définitive,

^^ \ z=:-^i;m^-hiLM+(^-ia)Si-h(^-ia)S,-+-... (5) dÇL — gd{l.mz)^{h^-^\a)d^^-\-{h^-^\d)d^^ ... =0.

D'après ces formules, l'énergie potentielle —ÇL du liquide renferme des termes proportionnels à chacune des surfaces de contact du liquide A avec les corps B, G qui le limitent. Les coefficients de ces termes sont

Les quantités Aj, Aj ne sont autre chose que ce que nous avons désigné ci -dessus sous le nom de tensions superficielles des surfaces de contact AB, AC, ... du liquide avec les corps voisins.

Démonstration de la formule de Laplace, — Supposons que le liquide en équilibre reçoive une déformation infiniment

petite qui intéresse seulement sa surface de contact avec un autre liquide B. L'équation (5) se réduit à

dlttrigz — kidSi = o

Il est aisé de voir que cette formule conduit à Téqualion de Laplace.

La surface Si {Jlg- lo, p. i4*) peut être décomposée par des lignes de courbure en rectangles tels que ABCD de surface

RR'(X(x' — dsds\

Si la surface S, se déforme en continuant d'adhérer au même contour, on a

d(RR'aa')

dn

dn --

dn

dn

ou, en désignant par dç^ l'accroissement du volume correspondant au déplacement dn de l'élément dsds\

dv m dsds' dn.

Soit p la densité du liquide. Le poids du liquide soulevé en vertu du déplacement dn est g^dvj et l'on a

d^mgz =

z— l pgzd\>;

l'équation (6) devient donc

di> m o

D'autre part, le liquide étant supposé incompressible,

I dç znzO,

Multiplions Téqualion (8) par une conslanle arbitraire P et retranchons de Féquation (7); il vient

y[p^.-P + A.(i + jL)]rf. = o,

Fig. 5o.

et cette dernière équation doit être vraie, quelles que soient les variations de volume élémentaires di>. Il faut donc que le coefficient de di^ soit lui-même nul:

Si l'on considère la constante arbitraire P comme la valeur de la pression sur un plan horizontal donné à Tintérieur du liquide et à partir duquel on compte les ordonnées jz, cette formule (10) se confond avec la formule de Laplace démontrée page i5*.

Existence de V angle de raccordement. — Supposons en second lieu que la surface de contact Sj du liquide avec une paroi plane MAC {fig. 5o) se modifie et que le liquide vienne de MAB dans la situation MCD infiniment voisine. Soit i Fangle de la surface AB avec la paroi. On a, par unité de longueur de la paroi normalement au plan de la figure, d^^ = AC = â^ ; d'autre part et, en désignant par d^\ l'accroissement de la surface Si dû au déplacement normal,

on a

d^\ = surf PB — surf AB, <fS, = ^S'i -h àx cos/.

La portion de l'accroissement dlmgz provenant de la masse liquide APC est un infiniment petit du second ordre, et par suite on a comme ci-dessus

dlmgz -\- AidS\

8o* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE,

et comme on doit avoir aussi

dlmgz -f- AiC^Si 4- k%d%% =^ o,

il en résulte la condition

Al àx cos e -f- Aj 3^ = o .

Aj 2 ' COSZ r= — -— —

Al a

En particulier, si le milieu supérieur était le vide, on aurait 6| = o

cost =

si Ton a

Enfin, si b^ est plus grand que a, il n'y a pas de position d'équilibre possible. C'est le cas où le liquide mouille la paroi.

Ces conditions avaient été trouvées par Laplace.

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