BC AC AB
ou, en remplaçant — > — > — au moyen des équations (i;)
et supprimant le facteur S,
(l4) }Pk=:pT,y + qTy -hrT.y,
( Pl=pT^z + qTy, + rT^.
Les équations (i4) expriment les conditions d'équilibre.
ÉaUILIBRE D'UN CORPS ÉLASTiaUE DE FORME aUELGOliaïïE. >- Nous admettrons qu'un corps élastique n'est soumis, outre les actions extérieures, qu'à des forces proportionnelles aux masses et variant d'une manière continue en grandeur et en direction avec les coordonnées du point auquel elles s'appliquent. Cela posé, nous décomposerons le corps en éléments de volume par trois systèmes de plans parallèles aux plans coordonnés et infiniment voisins ; ces éléments seront des parallélépipèdes ayant pour arêtes dx^ dy, dz^ sauf au voisinage immédiat de la surface où l'on rencontrera des tétraèdres ayant pour arêtes dxy dy, dz et dont la base sera située sur la surface du corps.
Les faces de chaque parallélépipède sont soumises à des forces Tx, T^,, T^, T^^y, T^r-, T^^. normales et tangentielles, mais qui varient d'une manière continue avec les coordonnées, de telle sorte que sur une face de l'un de ces parallélépipèdes agissent par unité de surface les forces
et sur la face opposée, aussi par unité de surface, les forces
â'? âT âT
Soient X, Y, Z les composantes, rapportées à l'unité de volume, de la force appliquée au point (^, j, >c), et supposons, pour plus de simplicité, que le corps est homogène. Sur le parallélépipède considéré agissent, parallèlement à l'axe
des X, les forces
^dxdydz^
— dydz -3-^ dx , — dzdx —r^ dy^ ' — dxdy —^ dz ,
dont la somme doit être nulle.
Les conditions de l'équilibre sont donc
^T^ ffïy;, . ^T
yx ^ ^^zy ^
dx ây à
dTxy dTy ■ dTzy
dx dy dz
r)T^3 . àTy, . ÔT,
dx dy dz
i88* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.
en chaque point de rinlérieur du corps. Il reste à exprimer que les tétraèdres limités à la surface sont aussi en équilibre, ce qui fournit les conditions
(iG) j Pk^pTjcy-^qTy +rT,^,
en chaque point de la surface; A, A:, /,/?, ^, r sont les cosinus des angles que la traction extérieure P et la normale à la surface font avec les axes. Si Téquation de la surface est
on a
dl df df (i8) dx dy dz
Quand le corps n'est soumis qu'à des actions extérieures, il faut faire X = Y = Z = o dans les équations (i5). Dans celle hypothèse particulière , il y a plusieurs cas intéressants à examiner :
j^ Imaginons que Ton ait en chaque point
( »9) ^xy = ^yz = T-a: = O.
Les équations (i5) se réduisent à
ffïx àl^y d'ïz
La traction exercée parallèlement à l'un des axes demeure constante tout le long d'une droite quelconque parallèle à cet axe. De plus, les équations (i6) donnent
Pl=zrT„ et, comme h* -h k* -h P — i, (20) P^v^/j'TJ + y'TI-H/'TJ.
En chaque point de la surface du corps, cette pression fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
sJp^Ti.^q^Tl-^r^'V
qT,
En particulier, si ( 22 ) Tjc — Ty=i:rz = const.
on a
' o, h k l sJh^ -h A 2 H- /2
P 9 ^ \fp^ -h g^ -\- r^
et, par suite, la force P = Ta:r:r T^ zuT- est constante en grandeur en tous les points de la surface. L'équation (28) montre, d'ailleurs, qu'elle est partout normale. Dans le cas où les tractions sont négatives, c'est-à-dire se changent en compressions, les équations (22) et (28) expriment que la compression est uniforme, telle qu'on peut l'exercer, par exemple, en immergeant le corps au milieu d'un liquide que l'on comprime. La diminution proportionnelle de volume, rapportée à l'unité de pression, est donnée par la formule (7)
C'est la valeur trouvée précédemment pour le coefficient de compressihilité cubique.
2<> Supposons
(24) jT.=.T, = T, = o,
\ ^xy — »-yz — ^>
d'où
a=:0, b^=iOy C=rO, (0 = 0, CpzziO, ^p = O ,
M,o* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.
11 i\\ a ni allongement ai changement de volume, et la déformation produite ne modifie pas la direction des droites parallèles à Ojt et à Oy.
Los équations (i5) donnent immédiatement
dx
r*esl-à-dire que T-^ conserve une valeur constante en tous les points d*un même plan perpendiculaire à Oj. D'autre part, les équations (i6) deviennent
