TRACTION

iTialions des solides et sur l*hypolhèse de la constitution moléculaire des corps pour établir une théorie mathématique de rélaslicité (*), dans laquelle il ne reste qu'un certain nombre de coefficients arbitraires dont Texpérience doit déterminer les relations. Cette théorie est assez générale pour s'adresser à tous les corps, cristallisés ou isotropes. Suivant de tous points une marche inversé de celle qui est adoptée par les mathématiciens, et nous bornant au cas des corps solides isotropes, nous allons d'abord avoir recours à l'expérience dans quelques cas faciles à interpréter; nous nous servirons ensuite des résultats obtenus pour établir une théorie élémentaire de l'élasticité, dont nous nous attacherons autant que possible à vérifier les conséquences.

TRAGTIOH. — Le plus simple de tous les problèmes de l'élasticité, au moins en apparence, est celui où une verge solide serait pressée ou tirée par un poids dans le sens de sa longueur. On reconnaît bientôt que la contraction développée par un poids qui comprime est égale à l'allongement produit par l'effet du môme poids quand il tire; nous nous contenterons dès lors d'étudier le cas de la traction et de mesurer les rapports de l'allongement et des charges.

Les expériences se font au moyen d'une potence de fer très

(*) Ouvrages à consulter sur la Théorie de V élasticité :

Poissofif Mémoires sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques {Mémoires de l'Académie des Sciences^ t. VIII, 1829) et Mémoire sur les équations générales de ^équilibre et du mouvement des corps solides élastiques {Journal de V École Polytechnique^ XXII' Cahier, i83i).

Cauchy, Exercices de Mathématiques j t. II et III. Paris, 1827- 1828.

De Saint-Venant, Mémoire sur la torsion des prismes {Mémoires des Savants étrangers, t. XIV, p. 233; i856).

Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité, 2* édition. Paris, 1866.

KiRCHHOFF, Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe {Journal de Crelle, t. XI, p. 5 1 ; i85o ) . — Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich diinnen elastischen Stabes {Journal de Crelle, t. LVI, p. 285; 1839).

Clebsch, Théorie der Elasticitàt /ester Kôrper. Leipzig, i832.

Béer, Einleitung in die mathematische Théorie der Elasticitàt und Capillaritàt, Leipzi^j, 1869.

E. Mathieu, Théorie de l'élasticité des corps solides^ Paris, 1890.

forte B (') ijlg-ji), scellée dans un mur solide et soutenue par une jambe de force; elle se termine par une face plane verticale d'acier trempé et striée comme une lime, contre laquelle s'applique une autre plaque d'acier également striée, qui peul êlre serrée par des boulons C : ces deux pièces constituent les deux mâchoires d'un élau ^'S- 1^- solide, entre lesquelles on fixe par une

forte pression l'extrémité supérieure F de la verge que l'on veut étirer. On dirige celte verge verticale ment, on saisit l'extrémité inférieure dans un étau D, construit comme le premier et auquel on suspend, par le moyen d'un crochet.

unegrandeclforle caisse de chêne EHH, dans laquelle on place les poids par rangées horizontales. Lorsque ces poids sont nombreux, la verge s'allonge sensiblement; quand on les enlève, elle revient à son élal primitif. Pour mesurer . l'allongement, il faut prendre quelques précautions.

Si l'on introduisait brusquement des poids dans la caisse suspendue, on donnerait à l'appareil des secousses capables de rompre la verge ; il fallait les éviter, et pour cela, la caisse est munie de trois vis à caler H, H que l'on abaisse avant toute expérience, afin que la caisse soit portée par le sol; puis on établit la charge et l'on relève les vis peu à peu, pour faire progressivement porter Teffon des poids sur la verge : cela se fait lentement et sans brusque secousse. Ufaut se prémunir encore contre une erreur qu'il est facile de commettre. Les verges, quand on les prend minces, ayant toujours une courbure irrégulière, le premier effet des poids est de les redresser, et

(') Wertheim, Annales de Chimie et de Physique, 3- série, t. Xll,

par cela même qu'elles deviennent reclilignes, elles semblent s'allonger; il faudra donc commencer par un poids initial suffisant pour les tendre et y ajouter ensuite les charges successives, les seules doni on tiendra compte et dont on mesurera l'effet.

Les allongements étant toujours très petits, c'est avec un cathétomètre qu'on les mesure. On le fixe en avant de la potence, on le règle une fois pour toutes, puis on trace aux deux extrémités de la verge deux repères T et T' avec une lime fine ou un burin; mais, quelque déliés qu'ils soient, la lunette avec laquelle on les regarde les grossit et les fait paraître larges. On convient toujours de viser le même bord des deux traits, et leur distance mesurée par le cathétomètre est la longueur de la règle à chaque phase d'expérience : cette mesure est indépendante des tassements et des flexions éprouvés par le support et la potence.

ixas DE L'ÉLASTICITÉ DE TRAGTIOH. — I. Cela posé, nous pouvons d'abord essayer de reconnaître quelle relation il y a entre l'allongement de la verge et sa longueur primitive. On trace à cet effet plusieurs traits équidistants le long de la verge; si leurs distances au repère supérieur sont t, 2, 3, 4 quand on les mesure sous l'action d'une charge initiale quelconque, elles deviennent 1 4- s, 2 -h 2ê, 3 4- Ss, ... quand la traction augmente. Les allongements sont donc proportionnels aux longueurs des verges.

II. On ne peut a /?r/o/7 savoir comment varieront les allongements d'une même tige, quand les charges croîtront; c'est à l'expérience seule qu'il appartient de le montrer. Prenons donc des poids P, 2P, 3P, . . .; nous trouverons des allongements Ê, 2Ê, 3s, ..., c'est-à-dire qu'ils ^oni proportionnels aux charges,

III. Un résultat que l'on peut prévoir est que l'allongement doit être en raison inverse de la section de la verge, car le poids se répartit également sur tous les éléments de cette section; si elle reste égale en changeant de forme, l'effet doit rester le même; si elle devient double, l'effet doit devenir tnoilié moindre, car on est dans les mêmes conditions que si l'on remplaçait la verge unique par deux verges égales tirées

chacune par un poids moitié moindre : Texpérience vériGe cette prévision, et rallongement est en raison inverse de la section,

IV. Enfin Ton conçoit que chacune des substances que l'on étudiera ne possédera pas, toutes choses égales d'ailleurs, une égale facilité à s'allonger : les unes se dilateront plas, les autres moins. Chacune d'elles aura un coefficient d'allongement qui lui est propre : c'est une des constantes qui serviront à la caractériser.

En résumé, l'allongement e est : i'' proportionnel à la longueur de la verge; 2® au poids P qui la tend ; 3° en raison inverse de la section S; 4° proportionnel à un coefficient a: ce qui donne la formule

d'où Ton tire

en désignant par/? le poids qui agit sur l'unité de surface, et par a l'allongement par unité de longueur.

Le coefficient a s'appelle coefficient de conipressibiliié linéaire; c'est le raccourcissement produit sur l'unité de longueur par un effort égal à l'unité de force pour chaque uniié de section de la barre.

On reconnaîtra aisément que les dimensions du coefGcient 3c sont celles d'une surface divisée par une force

r=M-*LT*.

L'inverse - du coefficient de compressibilité linéaire a reçu

le nom de coefficient d'élasticité; désignons-le par Q et nous aurons

(2) pg — Qa.

Les dimensions de Q seront ML-*T~*.

Le coefficient Q d^élasticiié est la force qui, agissant sur l'unité de surface et sur l'unité de longueur, produirait un allongement a égal à l'unité, c'est-à-dire l'effort qui doublerait la longueur de la règle dont la section est égale à Tunité. Celte définition ne se fonde pas sur l'expérience, car on ne peut allonger une barre d'une longueur égale à elle-même sans la rompre.

Dans ces formules, on a pris le plus souvent le kilogramme pour unité de force et le millimètre carré pour unité de section.

Pour exprimer les coefficients d'élasticité dans le système C.G.S., il faut multiplier par 9,81.10"' les nombres exprimés au moyen de ces unités spéciales.

Voici un Tableau de coefficients d'élasticité, d'après les expériences de Wertheim :

Coefficients d'élasticité des métaux recuits à diverses

températures.

SUBSTANCES

Plomb .

Argent

Cuivre

Plaline

Fer

■Acier fondu.. . .

Acier anglais . .

lOO».

Werth.

5, io5

Werih.

6,3io

GHAN6EHEHT DE VOLUME PENDANT LA TRACTION. — Jusqu'ici nous avons considéré seulement les variations de longueur qui se produisent dans les verges pendant qu'on les comprime ou pendant qu'on les étire; mais on comprendra aisément que la section horizontale ne peut rester la même avant et pendant ces actions : il est extrêmement probable qu'en s'allongeant la verge doit devenir plus mince, et c'est ce que

Fig. 74.

prouve clairement une expérience due à Werlheim (^). 11 prit des barres de caoutchouc soigneusement travaillées {fig, 7^); elles avaient So*'"' de longueur environ ; leur forme était celle d'un prisme à base carrée, et le côté de la section variait de (^ram à 4c«»^^^ 11 les mastiqua par leurs extrémités dans des armatures de fer B et A; Tune portait un crochet destiné à

soutenir verticalement Tappareil à un appui fixe; l'autre B supportait un poids tenseur P. A cause de la facilité que possède le caoutchouc de s'étendre beaucoup, on produisait un allongement très considérable; on le mesurait, et, comme la section des verges était fort grande, on pouvait avec un compas constater et apprécier les variations d'épaisseur que la traction faisait éprouver à ces tiges: on vit alors qu'en s'allongeant le caoutchouc devenait plus mince, ce que Ton avait prévu. La longueur primitive L augmente sous l'influence d'une charge que nous supposerons égale à l'unité de poids par unité de surface de la barre et devient L(n-a), «représentant l'allongement de l'unité de longueur. Imaginons que la section de la verge est ud carré dont le côté est B; il décroît et devient B(i — (3), et la section B* devient B*(i-Pf' Dès lors le volume est LB^ avant la traction, et il devient, quand elle se produit, égala

LB«(i4-a)(i-(3)S ou, en négligeant les quantités du second ordre,

LS(i

On voit donc que, si d'une part la verge s'allonge, de l'autre, elle s'amincit, et que le volume total, soumis à deux causes inverses de variations, pourra croître ou décroître, suivant que a sera plus grand ou plus petit que 2(3 : c'est ce que les

(') Annales de Chimie et de Physique, 3* série, t. XXIII, p. 62; 1

mesures doivent décider. Or elles ont montré que a est plus grand que 2|3, c'est-à-dire que le volume augmente pendant que la traction s'opère et que, par conséquent, la densité de la substance diminue.

Y a-t-il une relation générale entre les deux coefficients a et p? A la faveur de certaines hypothèses qui servent de base à sa théorie mathématique de l'élasticité, Poisson (*) a été conduit à admettre que rallongement de Vanité de longueur est égal au double de l'augmentation de V unité de volume. D'après la notation précédente, on aurait alors

ar=2(a — 2^) ou a=r4j3.

D'un autre côté, Cauchy (2), prenant pour point de départ des hypothèses plus larges que celles de Poisson, a établi des formules plus générales qui comprennent comme cas particulier la solution précédenle et qui laissent indéterminé le

rapport w = -• C'est à l'expérience qu'il appartient de fixer

ce rapport et de déterminer s'il est ou non le même pour les divers solides isotropes. De nombreuses tentatives ont été exécutées dans ce but : nous n'en indiquerons pour le moment que deux.

EXPÉRIEHCES DE GAMIARD - LATOUR (^). — Voici d'abord comment Cagniard-Latour a essayé de déterminer le rapport ji. Il fixa à un obstacle résistant M un fil métallique vertical MN {fig. 75); sa partie supérieure était attachée à un levier NOL mobile en 0 et sollicité par un poids P. Quand il n'était pas chargé, le fil avait une longueur déterminée et cette longueur augmentait quand on faisait agir le poids. Dans une expérience, l'allongement fut de G™"'.

Un tube mince de verre entourait le fil; il était mastiqué à la base M et rempli d'eau; son diamètre et celui du fil étaient connus. Au moment où l'allongement se produisit, on vit

(*) Poisson, Mémoires de V Académie des Sciences j t. VIII.

(') Cauchy, Exercices de Mathématiques, t. III, p. 182 et 2o5.

(') Citées par Poisson, Annales de Chimie et de Physique, a* série,

t. XXXVI, p. 384.

baisser le niveau de Teau de AB en A'B', ce qui prouvait que la partie immergée prenait une section moindre, comme nous le savons déjà. D'une part, on mesura rallougemenl a, de Tautre on put calculer la diminution (3 de la section en

Fi g. 75.

\('/t rr^^Â

observant l'abaissement du niveau dans le tube de verre dont le diamètre était connu, et, cela fait, Cagniard-Latour fut conduit à admettre que réellement a=4P, c'est-à-dire que les prévisions de la théorie de Poisson étaient justifiées.

SXPiRmCES DE WZBTHEni O' — L'expérience précédente ne paraissant pas susceptible d'une grande précision, Werlheim exécuta de nouvelles expériences : l'exemple des barreaux de caoutchouc doit être cité en premier lieu. Comme on avait directement mesuré leur allongement et la contraction de leur section, on avait les valeurs de a et (3, et l'on trouva que Taugmentation de volume a — 2(3 était sensiblement égale, non à la moitié, mais au tiers de l'allongement a.

Un autre genre d'épreuve, dont l'idée appartient à Regnault, fut ensuite exécuté par Wertheim : il fit tirer des tubes de

(•) Annales de Chimie et de Physique^ $• série, t. XXIII, p. Sa; 1848.

EXPÉRIENCES DE WERTHEIM

laiton A sans soudure {fig* 76); ils furent fixés à leurs deux extrémités dans d'autres tubes courts et plus larges B, B' : l'inférieur était fermé; le supérieur était ouvert et Ton pouvait visser à son extrémité un boulon C, terminé par un tube de verre très étroit DF. Cet appareil Fig. 76. ainsi préparé pouvait être soutenu par le haut et lire par le bas; il s'allongeait comme une verge, et son volume intérieur s'agrandissait suivant la même loi qu'un noyau cylindrique du même métal qui l'aurait entièrement rempli.

On emplissait ce tube avec de l'eau jusqu'au niveau F, on exerçait la traction, et l'on mesurait d'une part l'allongement, de l'autre, l'abaissement du niveau de l'eau intérieure : l'expérience donnait donc à la fois l'allongement de l'unité de longueur Cf. et l'augmentation de l'unité de volume a — 2(3; il ne restait plus qu'à les comparer. On trouva, conformément aux expériences faites sur le caoutchouc et contrairement à la théorie de Poisson, que OL — 2(3 se rapprochait beaucoup plus du tiers que de la moitié de a.

Les expériences de Wertheim semblaient donc avoir définitivement prouvé que, pour tous les

corps, le rapport ^ = *- a pour valeur commune \.

Mais des expériences plus récentes n'ont pas confirmé ces résultats. En ce qui concerne le caoutchouc, le fait, aujourd'hui bien établi, qu'une sphère solide de cette substance éprouve, quand on la soumet à une compression uniforme, une variation de volume très petite, du même ordre que celles que présentent

les autres corps solides, montre que (3 doit être très voisin de

-) c'est-à-dire \i. presque égal à \, Pour le cristal et le verre,

on a, au contraire, d'après MM. Cornu (*) et Amagat ('), des

C) Cornu, Comptes rendus^ t. LXIX, p. 333; 1869.

(') Amagat, Journal de Physique, 2'. série, t. VIII, p. 199 et SSg;

J. et B., I, 2". Phys, moléc, (4* éd., 1891.) 12

valeurs de ix très voisines de \, M. Okatow ( ^) a trouvé poor diverses sortes d'acier doux, ;recuit ou trempé, des valeurs variant de 0,27.5 à 0,328. Il faut donc admettre que /jl est susceptible de varier d'un corps à un autre, et il devient indispensable de conserver ce rapport d'une manière explicite dans tous les calculs relatifs à Télasticité.

Le Tableau suivant donne quelques valeurs de [i fournies par des expériences récentes :

SubtUnce». '^ a

Verre 0,2451

id 0,25

Cristal 0,2499

Acier 0,294

id 0,2686

Cuivre 0,3270

Laiton 0,3272

id. tiré 0,887

Métal delta 0,3399

Plomb 0,428-*

Obserratears.

Amagat.

Cornu.

Amagat.

KirchhofffV).

Amagat.

id.

Kirchhoff.

Amagat.

id.

G01IPB£88IBILITÉ GÏÏBiaUE. — Considérons un parallélépipède ABCDEFGH (y?^. 77) soumis sur ses trois couples defaces

Fiar "-'

opposées à des tractions normales T^, ï^, T- par unité de surface. Si la traction T^? agissait seule, elle produirait o»

(') Okatow, Pogg. Ann„ t. CXIX; i863.

(») KiRCHHorr, Pogg. Ann., t. CVIII, p. 369; 18C0.

COMPRESSIBIBILITÉ CUBIQUE. 179*

allongement de l'arête A parallèle, un raccourcissement des arêtes B et C perpendiculaire. De même, T^ allongerait B et raccourcirait A et G; enfin T- allongerait C et raccourcirait A et B. Les variations de longueur produites sont si faibles, qu'elles s'ajoutent sans se modifier : les trois arêtes deviennent

(3) B[i + aT^-(3(T,-rlV)],

( C[n-aT,-3(T, hT^)].

Désignons par a, b, c les dilatations proportionnelles des arêtes A, B, C; on a

par suite, posant

(5) ^'-:a[T^-fx(T,4-T,)], •

Le volume du parallélépipède dilaté est le produit des trois arêtes; en négligeant les quantités de l'ordre du carré de a et de (3, ou de leur produit, il est devenu

ABC[n-(a - 2(3)(Ta:+ ÏJ.-+-T,)].

L'augmentation de volume rapportée à l'unité de volume est donc

(6) (i)z=(a-2(3)(T,:-HÏ^-f-T3) = a(i-2^)(T^4-lV + T.J.

Nous examinerons quelques cas particuliers. Prcposonsnous d'abord de déterminer les tensions de telle sor'e que la variation du volume soit nulle. On doit avoir

et les tensions ne peuvent toutes avoir le œême signe. On peut

i8o* PHYSIQUE iMOLÉCULAIRE.

faire T^ positif et poser Ty = T2 = -; il faut donc exercer

sur les faces latérales du cube une compression dont la valeur numérique est la moitié de la traction exercée sur ses bases.

En second lieu, supposons que Tx^=^Ty:=Tz9 c'esl-à-dire que le parallélépipède est soumis à une action normale uniforme sur ses trois faces, ce que Ton peut réaliser en immergeant le prisme dans un liquide que Ton comprime. L'augmentation proportionnelle du volume devient

3a(i — 2^)Ta:,

el, pour une force T^. égale à Tunité,

(7) /f = 3a(i — 2fx).

Cette quantité k s'appelle coefficient de compressibilUé cubique. Lorsque |^~ - (verre, cristal),

pour |Jt~:T (cuivre, laiton),

et le coefficient de compressibilité cubique est numériquement égal au coefficient de compressibilité linéaire ou à l'inverse du coefficient d'élasticité.

DÉMRKATIOI.PRODUITE PAB ÏÏHE forge TAHfiERTIEUE. — Considérons actuellement l'effet de deux forces T^x égales, agissant en sens contraire et parallèlement à A^, sur deux faces opposées ABCD, EFGH d'un cube. Il revient au même de supposer la face ABCD fixe et EFGH seule soumise à la force lu (fig. 78). Celle-ci a pour effet de transporter EFGH en E'F'G'H' el de faire tourner toute droite telle que CG perpendiculaire à la direction de la force T^^ d'un angle que nous nous propo-

sons d'évaluer. On admet que la variation de volume produite par le système des forces T-^. est tout à fait insensible.

Fig. 78.

Évaluons d'abord l'angle que forment les diagonales de la face G'H' CD' d'un cube (y?^. 79 et 80), soumis à une traction

T^, normale à la face EFGH et numériquement égale à l'unité. Avant la traction, les diagonales étaient rectangulaires : elles

forment maintenant un angle G'0'H'=: £ ^fig» 80), c'est-

à-dire que chacune d'elles forme avec la direction O'P', parailèle à la traction, l'angle -j > dont la tangente est déter-

iS'i* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE,

minée par )a relation

-Kl - 0 = ^^

(jrâce à la petitesse des quantités a, |3, - ? on peut développer

les deux membres en ne conservant que les termes du premier degré en a, p, £; on a ainsi, d'une part,

I — tang-

r=:i — 2 tang — h...,

i-Htang^

ou, sensiblement, j — g, d'autre part

et, par suile, au degré d'approximation convenu,

£ = a-h |3 = a(n- fx).

Cet angle £ est précisément celui dont tournent l'un par rapport à l'autre les plans diagonaux EHCB, FGDA du cube

soumis à la traction. Or on peut:

Fig. 8i. j° supposer la portion EFBCH

du cube enlevée et la traction appliquée directement sur le plan diagonal EBCH (^^.80:

2*» remplacer en chaque point du plan la traction Ta=i parallèle à Az par ses composantes parallèle et normale au plafl- La dernière, écartant les plans parallèles à EBCH les uns des autres, produit la variation ci« volume résultant de la trac- • tion; la première tend à faire

glisser ces plans les uns sur les autres et produit le déplacement relatif £ de CH et de sa perpendiculaire DO. Ornoos

THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ. i83*

avons supposé la traction T., normale à la face du cube, égale à i par unité de surface; sa composante suivant CH

est -p par unilé de surface de EFCH {fig. 79) ou —= -p = -

par unité de surface du plan diagonal EBCH. Ainsi, une force

tangentielle égale à - produit un déplacement angulaire £ des

normales au plan, égal à a(i -h |x): une force égale à i produirait un déplacement 2a(i -hfx).

Revenons maintenant à la fig. 78 : la force tangentielle T-^ produira, d'après ce que nous venons d'élablir, un déplacement des normales égal à 2a(i -h jjl) par unité de force, c'està-dire un déplacement résultant ^

(8) ;^^2a(i4-fx)T,^.

ÉauniBRE D'UN PARALLÉLÉPIPÈDE ÉLASTIttUE. — Soit un para lié- 1 épipède soumis à des forces quelconques, deux à deux égales, parallèles et de sens contraires, agissant sur chaque couple de faces du parallélépipède et dont la valeur est F^:, F^, F^ par unité de surface {fig* 82). Nous pouvons, en chaque point de l'une des faces, décomposer la force qui lui est appliquée en trois composantes parallèles aux axes coordonnés, dont l'une sera normale, les autres tangentielies à la face.

Les composantes normales de F^., Fy, F-, que nous désignerons par Tar, Ty, T^ se font équilibre sur les faces opposées et produisent les dilatations proportionnelles

(5) ^.==a[Ty-/x(T, + Ty)],

et la variation de volume proportionnelle

(6) a) = a(i-2^)(T;,-+-Ty4-T,). ^

Quant aux composantes tangentielies, nous les désignerons par la lettre T accompagnée de deux indices, dont le premier servira à désigner la face, le second la. direction de la composante. Ainsi, Tary désignera la composante de F^: parallèle à A7,

i84* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

Txs la composante parallèle à Az. Ces forces sont, comme F^, rapportées à l'unité de surface.

Les composantes Txyy appliquées tangentiellement en seos

Fig. 82.

contraires sur les faces HGCD, EABF {Jig. 83), forment un couple qui tend à faire tourner le parallélépipède autour de \z; en désignant toujours par A, B, C ses arêtes, la force

du couple est BCTa-y, et son moment BCT^j^A ou ABC.Txy De même, le couple de moment ABCT^r^ tend à faire tourner le parallélépipède autour de A/, et les couples produits par

THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ, i85*

les autres composantes exercent des effets analogues. Le parallélépipède est en équilibre; il faut donc que les moments des couples résultants autour de A^, A/, Az soient nuls, c'est-à-dire que

ABC(T;,^-V)r=o,

ABC(T,^-T,,)=o.

On a donc

* xy — -"^ yx »

-I zx — - -I xz •

1! ne reste plus qu'à calculer les déformations produites par ces forces tangentielles; elles inclinent les arêtes du parallélépipède d'angles 9, x>4^> ^^h d'après la relation (8), sont respectivement

I(p=z2a(i -hfi)Ty-, ^ = 2a(i-hfx)T^y.

Les équations (5) et (10) fournissent les trois déplacements linéaires a, b, c et les trois déplacements angulaires 9, x, ^ quand on connaît les six tensions distinctes T^r, Ty, T-, T^y, ï^-, Tzx; résolues par rapport aux tensions, elles donnent celles-ci quand les déplacements sont connus. On obtient

fXCi)

lyz

2a(l -hjx)

2a(i -h |jt)

T =— i— *^ 2«(i4-|jl)

i86* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

ÉaunJBlE D'UH TÉTRAiDHE DONT TROIS FACES SOHT SEGTAWU- LAIBES. — Considérons un tétraèdre OABC dont les trois faces qui se rencontrent en O sont rectangulaires; soient toujours

forces normales et tangentielles agissant sur Tunité de surface des faces rectangulaires, et désignons par P la force appliquée à Tunité de surface de la base ABC. Pour que le tétraèdre soit en équilibre, il faut que les composantes de la force P fassent équilibre aux forces appliquées ^ aux trois autres faces.

J'appelle A, B, C les longueurs des arêtes rectangulaires, />, 7, r les cosinus des angles que la normale OP à la base fait avec les axes {Jlg. 84), S la surface ABC. Projetons la base successivement sur les plans Ojtj, Oyz, Ozjc; nous aurons