RAYON

du cylindre.

a (Taleurs obtenues par traction).

2a(n- ix)

Fer

mm 8,200

5,5oi 5,o55 5,o3i 3,535 3,4225

7458,4 36ii,7 2383,1 * 2608,3

o,3io o,3oo

Acier fondu anglais.

Cuivre

Verre

La troisième colonne donne la valeur du coefficient d'élasticité de torsion, la quatrième les valeurs correspondantes du coefficient d'élasticité; enfin, la dernière, les valeurs de fx calculées par la comparaison des nombres de ces deux colonnes.

Wertheim a encore fait des expériences avec des cylindres ou des prismes de formes très variées : il a cru pouvoir conclure que la loi du moment d'inertie leur est applicable, pourvu que la longueur soit très grande par rapport aux dimensions transversales, comme le supposait la théorie incomplète qu'il avait admise.

La méthode dé Wertheim ne peut s'appliquer qu'à des verges de forte dimension ; elle ne peut être d'aucun secours si l'on veut examiner des fils très fins. Comme on a fait déjà et que l'on fera encore, dans la suite, des applications de l'élasticité de ces fils capillaires, noua ferons connaître la méthode par laquelle Coulomb (*) les a étudiés.

KÉTHODE DES OSCILLATIONS. — Je suppose que l'on fixe Textrémité supérieure d'un de ces fils à un obstacle fixe A {fig, 88 ) et qu'on lui fasse supporter un corps pesant, par exemple une sphère métallique. Après que le système aura pris son

(*) Coulomb, Mémoire de V Académie des Sciences j 1784 (p. 63 des Mémoires de Coulomb, publiés par la Société de Physique ; Paris, i884). J. et B., I, 2«. Phys, moléc. (4* édit., 1891.) i4

Fi g. 88.

équilibre, on tournera la sphère d'un angle quelconque, puis on l'abandonnera à elle-même ; la réaction de torsion, supposée proportionnelle à Tangle d'écart produira des oscillalions isochrones, quelle que soit leur étendue, aussi bien quand elles embrassent plusieurs circonférences que si elles

se réduisent à une fraction de degré.

Réciproquement, si les oscillations sont isochrones, quelle que soit leur amplitude, on est en droit d'en conclure que la réaction de torsion est proportionnelle à l'angle d'écart. Il suffira donc, pour justifier la preaiière des lois que nous avons établies, de chercher par l'expérience si la durée de l'oscillation est constante.

Pour faire celte observation, on opère comme pour vérifier risochr(h nisme des oscillations du pendule géodésique. On fixe le fil dans un soutien A {fig. 88), on colle sous la sphère suspendue une aiguille légère C, et l'on dispose un cercle divisé CD pour mesurer l'amplitude des oscillations. L'observateur se place, à distance, avec une lunette qui vise l'aiguille et un compteur à pointage; il pousse le bouton de marche au moment d'un passage de l'aiguille sous le réticule, et, après avoir compté n oscillations dont l'amplitude est A, il arrête les aiguilles et note le temps écoulé. Il recommence la même mesure sur des oscillaiions différentes, grandes ou petites, comprenant même plusieurs circonférences, et l'expérience démontre avec une parfaite ^exactitude l'égalité des temps de ces oscillations, La durée / de ses oscillations est donnée par la formule

dans laquelle /est le moment du couple qui tord le fil d'un angle égal à i; A est le moment d'inerlie du système suspendu

MÉTHODE DES OSCILLATIONS. au*

autour de Taxe d'oscillation. Le moment d'inertie du fil est négligeable; celui de la sphère, de masse M et de rayon a,

est — p — Par suite,

Quand on veut comparer deux fils différents, par leur lonueur, leur rayon ou leur nature, on les attache successivement au même support, on leur suspend la même sphère, et l'on compare les durées ^, t^ de leurs oscillations. La formule (i) donne

c'est-à-dire que les valeurs de / sont en raison inverse des carrés des temps des oscillations. On trouve, en mesurant ces temps : i° que/ est proportionnel à la quatrième puissance du rayon R du fil; 2* à un facteur T variable pour les diverses substances; S* en raison inverse de la longueur :

. TR* Soit F le moment du couple qui tord le fil d'un angle 6

ce qui est la formule déjà trouvée par la torsion.

Pour obtenir la valeur de T, on n'a qu'à exprimer/ par la durée d'oscillation t, au moyen de la formule établie précédemment; on trouve ainsi

5 t^ (igt^

par conséquent

/L 2PL/7r£Y R* ~ 5^ \R}l)

an' PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

FLEXIOI. — Quand une barre AB est fixée par une de ses extrémités dans un élau {Jig. 8g) et qu'on applique un poids à son extrémité libre B, elle fléchit et prend une forme courbe.

puis elle se lient en équilibre : à ce moment, la réaction de la verge fait équilibre au poids P. On conçoit que dans ce mouvement la tranche horizontale supérieure de la lame se dilair pendant que la couche inrérieure se contracte, et qu'il en résulte des réactions élastiques qui ramèneront la verge à a position primitive aussitôt qu'elle deviendra libre.

Nous considérerons le cas d'une verge prismatique de longueur /, de largeur b et d'épaisseur e, et nous admettrons.

Fig. 90.

îi titre d'approximation : 1° que la flexion est la même dans toutes les sections de la lame parallèles h la section verticale moyenne passant par l'axe; a' que la longueur AMC {ftg- 90)

ÉLASTICITÉ DE FLEXION. 2i3*

de Taxe fléchi demeure égale à AB ; 3<> que les molécules matérielles qui se trouvaient sur une section normale de la barre restent, après la flexion, sur une section normale. Les résultats que nous trouverons ainsi, sans faire usage des formules générales de l'élasticité, ne seront pas très rigoureux, mais ils suffiront pour nous indiquer le sens et les lois générales du phénomène.

Pour que la verge soit en équilibre, il faut que chacune des sections normales M'MM% par exemple, soit en équilibre : ce qui exige que le moment du poids fléchisseur soit égal et de signe contraire à la somme des moments des réactions élastiques provenant des allongements.

Désignons par x la distance MC ; le moment du poids tenseur par rapport à M est très sensiblement égal à V gx.

Pour trouver le moment des réactions élastiques, désignons pareTangle de deux sections normales M'M", N'N'', infiniment voisines, interceptant sur Taxe la longueur dx^ et décomposons la section AN'M'CMN en filets parallèles à Taxe, d'épaisseur uniforme dz. Le segment nm intercepté sur Tun de ces filets, situé à la distance z de Taxe, par les deux côtés de Tangle e, était avant la flexion égal \dx\ il est devenu dx-^z^^ et la force élastique développée, proportionnelle à

rallongement -7- de Tunité de longueur et à l'épaisseur dz du

I dz

filet, sera ~zz--r- pour une largeur égale à l'unité; le moment Cf. dix

de cette force, par rapport au point M , est

I dz 16,,

— zi -7— zz=L " -j- z^dz; a dx a dx

il faut étendre ce moment à la largeur b de la barre et à son

épaisseur depuis ^ = jusqu'à 5 m h — > et l'on aura le mo-

ment des forces élastiques développées dans la section M'M'^

OL dx J e lia dx

2i4* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

qui doit faire équilibre au moment Pg^ du poids :

(i) Pgx= f-.

^ ^ ° lia dx

Nous nous proposons d'évaluer rabaissement y du point C au-dessous de son niveau primitif. A cet effet, menons les tangentes en M et N qui interceptent sur la verticale passant par le point C une longueur rf/. L'angle des tangentes est égal à s; par suite,

( 2 ) IX ^rz dy.

On obtiendra j en remplaçant dans cette expression e par la valeur tirée de (i),

(3) dy=i^Pgx^dx

et, intégrant ûe xz=zoh x=il,

La flèche / est donc proportionnelle au poids tenseur, au cube de la longueur, en raison inverse de la largeur et du cube de l'épaisseur de la verge prismatique (*).

Pour étudier expérimentalement la flexion, on visera au cathétomètre les extrémités A et C {fig. 89) ou plutôt des

(*) Comme nous l'avons dit, la théorie que nous venons d'exposer n'est qu'approchée. En même temps que la portion supérieure d'une barre fléchie

s'allonge, elle se contracte transversalement, et, de Fig. gi. même, la partie inférieure se dilate; par suite, la lame

se courbe comme l'indique la^?^. 91. La théorie complète de la flexion permet de calculer cette courbare ^ transversale, qui dépend évidemment du rapport {i de l'allongement à la contraction [de Saint-Venant, Mémoire sur la flexion des prismes {Journal de Uouville, 3* série, t. I; i856)]. M. Cornu a mesuré par des procédés optiques très précis, la courbure transversale de lames de verre fléchies et en a déduit pLr= 0,25 {Comptes rendus de V Académie des Sciences^ t. LXIX, p. 333; 1869).

ÉLASTICITÉ DES CORPS ANISOTROPES. 2i5*

repères tracés à ces extrémités ; on place d'abord horizontalement, puis on charge rextrémilé C et Ton mesure rabaissement^ du repère jusqu'en B. L'expérience justifie les lois que nous venons d'énoncer.

Nous avons démontré que la réaction élastique en chaque

bc'^ s point -7- est proportionnelle à l'angle e dont la verge est

fléchie en ce point. Il en résulte que, quand la verge est abandonnée à elle-même, elle exécute, pour revenir à sa position d'équilibre, des oscillations isochrones; par suite, le son rendu, dont la hauteur est proportionnelle au nombre d'oscillations effectuées par seconde, sera invariable, quelle que soit l'amplitude des oscillations. C'est encore ce que l'expérience vérifie : c'est une nouvelle preuve de l'exactitude au moins approchée de nos déductions.

ÉLASTICITÉ DES CORPS ANISOTROPES. — Le coefficient d'élasticité des substances anisotropes change suivant la direction dans laquelle on le détermine. Par exemple, Wertheim et Chevandier (*) ont déterminé le coefficient d'élasticité de diverses sortes de bois, et l'ont trouvé différent suivant la hauteur à laquelle la section était faite dans l'arbre et suivant qu'on évaluait le coefficient par une traction exercée parallèlement aux fibres, dans le sens du rayon ou dans le sens perpendiculaire au rayon et tangentiel aux couches concentriques du bois. Le Tableau suivant est relatif au chêne :