HOMOGÉNÉITÉ DES FORMULES

HOKOfiÉllÉITÉ DES FORMULES DE LA HÉGAHiaUE ET DE LA PHTSIttUE.

— Les lois de la Mécanique et de la Physique sont de deux espèces : les unes ne sont que des relations démontrées a priori d'après la définition des quantités entre lesquelles elles subsistent, et elles doivent se réduire à des identités quand on y remplace chacune de ces quantités par son expression en fonction des unités fondamentales; les autres sont des lois naturelles dont la raison théorique peut nous échapper, mais qui sont vraies, indépendamment des grandeurs qu'il nous plaît d'assigner à nos unités de mesure; par suite, si l'on fait disparaître des équations toutes les quantités dérivées, de manière à n'y laisser subsister que les quantités fondamentales, le changement d'unités ne pourra avoir d'autre effet que de multiplier les deux membres de l'égalité par un facteur arbitraire. 11 en résulte que chacune des quantités fondamentales entre au même degré dans les deux termes de ces équations.

Comme exemple du premier cas, nous considérerons l'équation dite des forces vives : elle égale des forces vives et des travaux, et ces deux sortes de quantités sont, d'après leur définition (*), du degré 2 par rapport à l'unité de longueur, du degré — 2 par rapport à l'unité de temps et i par rapport à l'unité de masse.

Signalons encore la formule des oscillations du pendule simple

=Vi

dont les deux membres sont du degré o par rapport aux unités de longueur et de masse, du degré i par rapport à l'unité de temps. Ces équations sont donc homogènes.

Considérons maintenant une loi naturelle, la loi de Mariotte ; elle consiste en ce que le produit du volume que possède une masse gazeuse donnée à température fixe par la pression qu'elle exerce est constante. Or le volume d'un corps est du degré 3 par rapport à l'unité de longueur; la pression, c'est-

(*) Voir le Tableau de la page 71.

à-dire la force appliquée à Tunité de surface, est du degré — i par rapport à la longueur, — 2 par rapport au temps et i par rapport à la masse. Le produit de ces deux quantités a pour degrés a par rapport à la longueur, — 2 par rapport au temps et I par rapport à la masse. La loi de Mariotte n'égale dans ses deux membres que des quantités de même degré, et constitue par conséquent une loi possible a /?rzor/; si elle s'écarte de Texactitude, la loi réelle ne pourra en différer que par l'addition au second membre d'une quantité dont les degrés par rapport à la longueur, à la masse et au temps seront toujours 2, — ?. et I. Regnault a proposé la formule

où a, p, ... sont des constantes. Le facteur ajouté au second membre est du degré o par rapport à toutes les unités, et la formule indique encore une loi possible a priori,