DE LA MESURE DES MASSES ET DES POIDS

BALANCE. — Peser un corps, c'est comparer sa masse à celles d'autres corps étalonnés. Pour cette comparaison, on utilise l'action de la pesanteur sur ces masses et la proportionnalité des masses aux poids.

La détermination des poids ou des masses se fait à Taide de la balance que tout le monde connaît; mais la balance des physiciens est très délicate et doit satisfaire à de nombreuses conditions que nous allons déterminer. Elle est constituée par 'un fléau métallique AC qui est mobile autour d'un axe horizontal B {fig, 49) et qui supporte à ses deux extrémités deux plateaux dans lesquels on place les corps que Ton veut comparer. Fig. 49.

Examinons d'abord un cas tout à fait théorique. Supposons : i* que les trois points de suspension A, B; C soient

en ligne droite; ^2® que les deux bras • i p-

du fléau AB et BC aient le même poids, la même longueur et une forme symétrique par rapport au plan BG; S** que les bassins aient le même poids. 11 est clair que, lorsque les plateaux seront vides, le fléau se mettra en équilibre horizontalement quand son centre de gravité G sera dans le plan vertical passant par Taxe

j ^'î G Vl

loo INSTRUMENTS DE MESURE.

de suspension. Cet équilibre persistera ou sera rompu si l'on charge les bassins de poids égaux ou inégaux, et, réciproquemenl, on conclura l'égalité ou Finégaliié de ces poids si cet équilibre se maintient ou se détruit.

Il faut que le centre de gravité G du fléau soit au-dessous du point de suspension : c'est là une condition essentielle. Quand elle est satisfaite, la balance est bonne, 'car, étant vide ou également chargée à ses deux extrémités, elle se met en équilibre stable quand le centre de gravité est placé dans la verticale du point de suspension, et, si on la dévie, le fl^au revient à sa position première par une suite d'oscillations isochrones et décroissante». Ensuite, quand on place des poids inégaux dans les bassins, leur différence agit pour incliner AC en A'C et relever le centre de gravité en G' jusqu'au moment où le poids du fléau qui agit en G' fait équilibre à cette différence des poids. On voit que, pour ce nouveau cas, la balance arrive toujours à se mettre en équilibre dans une position horizontale si elle est chargée de poids égaux, et dans une position de plus en plus inclinée quand les charges diffèrent de plus en plus. On conçoit donc la possibilité de reconnaître Tégalité ou Tinégalitédes poids par Thorizontalité ou Tinclinaison du fléau.

SENSIBILITÉ (*). — Il faut que ces conditions soient réalisées pour que la balance soit exacte; mais elles ne sufflsent pas pour qu'elle soit sensible, c'est-à-dire pour qu'elle puisse accuser, par une grande inclinaison du fléau, des différences très légères entre les poids que l'on veut comparer. Or il est évident que, toutes choses égales d'ailleurs, Tinclinaison croîtra quand le bras de levier BG, à l'extrémité duquel agit le' poids du fléau, diminuera; par conséquent, la sensibilité est d'autd^it plus grande que le centre de gravité G est plus rapproché de Taxe de suspension B.

Nous avons admis jusqu'à présent que les trois points A, B, C i sont en ligne droite : c'est, en effet, le cas que Ton cherche à réaliser quand on construit une balance. Mais, lors même qu'on

(') La théorie de ]a balance a été exposée pour ]a première fois par Eiiler {Commentaria Petropolitana, t. X).

SENSIBILITÉ DE LA BALANCE. loi

pourrait atteindre cet alignement parfait, il serait impossible de le maintenir pendant les pesées, attendu que le fléau fléchit sous Tinfluence des charges qu'il porte. Il convient donc d'examiner le cas plus général où les deux points d'attache A el C, tout en restant symétriques par rapport à BG, seraient placés au-dessous de Taxe de suspension B.

Soient AB et BC {fig. 5o) les distances du couteau d'appui au

Fig. 5o.

couteau de suspension ; supposons-les égales entre elles et à /, mais non en ligne droite, el appelons (3 l'angle que chacune d'elles fait avec l'horizontale MN. Supposons le centre de gravité en G sur la verticale et à une distance /' du point B. Désignons par 70 le poids du fléau et plaçons en A et C deux poids P et P-4-/? : le système s'inclinera d'un angle a et se placera en A'BC'G'. Pour que l'équilibre ait lieu, il faut que la somme des moments des poids appliqués en A', G', G' soit nulle; on aura

P X -VP -i- cjGT) = (P -4-/?)C'Q,

P/cos(a — [3) -4- n3/'sina = (P -f-/^)/cos(a -h ;3),

- * P/(cosacosj3 -h sinasin[3) -h Gï/' sina

' = (P 4-/?)/(cosaCOS|3~ sinasinj3);

d'où

langa

2l>/sin;3+/./sin;3 + B,/' " iil±A^ang(3 + HIj' sécS

L'angle a exprime l'inclinaison que reçoit le fléau quand il y a dans un des plateaux un excès de poids p, et, comme celte inclinaison est toujours très petite, langa peut être considéré

comme mesurant la sensibilité deTappareil. Oron voit d*abord que le deuxième membre dépend de P, c'est-à-dirç que la sensibilité varie avec la charge commune des deux plateaux et qu'elle diminue quand cette charge augmente. La balance perdra donc une partie de sa sensibilité à mesure qu'on la chargera davantage {*).

Mais, si les trois points A, B, C sont en ligne droite, Tangle j3 est nul et la formule précédente se réduit à

tanga= ^,.

La sensibilité est indépendante des poids communs P qui chargent les plateaux.

C'est cette condition que Ton cherche à réaliser, et alors la sensibilité de la balance est : i*> proportionnelle à la longueur / de chaque bras de levier; 2*> inversement proportionnelle au poids w du fléau; 3*» inversement proportionnelle à la distance /' du centre de gravité au point de suspension.

Voici dès lors quelles sont les règles théoriques qui doivent diriger le constructeur dans la fabrication des balances. S'il veut les rendre sensibles et justes, il doit :

I* Faire les deux bras du levier sensiblement égaux;

a^ Établir en ligne droite les axes de suspension du fléau ei des plateaux;

3<» Donner une grande longueur au fléau;

4** Réduire le poids de ce fléau autant que cela est possible ;

5° Placer le centre de gravité au-dessus du point de suspension et très près de lui.

DESGBIFTION D'UNE BALANCE PBÉGISE. — Pour réaliser ces conditions multiples et délicates, on taille le fléau dans une règle

(0 Si les deux points A et C, au lieu d'être au-dessous de B, étaient situés au-dessus, rien ne serait changé au calcul précédent, si ce n'est le signe de ^:S.

On aurait donc

/>/cos3 tans a -^ •

^* (2PH-^,)/sin?H-Tff/'

Le dénominateur diminue et la sensibilité croit avec la charge.

DESCRIPTION D'UNE BALANCE PRÉCISE. lol

plaie de bronze ou d'acier (^g*. 5i). On lui donne une longueur de 6o"" environ et une épaisseur qui ne dépasse pas 5""; il a sensibrèment la forme d'un losange allongé, et, pour en diminuer le poids, on y pratique de larges entailles qui ne

Fig. Sr.

laissent subsister que les côtés du losange soutenus par des supports Iransverses. On satisraît ainsi à ce double besoin d'avoir un Iléau long ei léger, tout en lui conservant une grande résistance à la flexion.

Avant de songer à régler les axes de suspension, il fallait d'abord se préoccuper de les réaliser mécaniquement, c'està-dire de construire des supports linéaires, perpendiculaires au plan d'oscillation du fléau, capables de résister aux charges qu'ils doivent supporter, ne se déplaçant pas pendant les oscillations, et rendre les suspensions assez mobiles pour ne pas empêcher les mouvements par des résistances passives dues à leur frottement. Fortin imagina d'encastrer dans le fléau un prisme d'acier trempé FF', dont l'arête inférieure, bien recti- Itgne, pose sur un plan poli d'acier ou d'agate. Il est clair que ce support réalise à souhait l'axe mathématique dont on avait besoin. Aux extrémités du fléau, deux autres prismes U, dont les arêtes tranchantes sont placées vers le haut, servent à sup-

lo,' INSTUUMExNTS DE MESURE.

porter des plans d*aciër mobiles A auxquels sont suspendus les plateaux. Les axes de suspension sont donc représentés par les arêtes de ces trois prismes. Ce sont elles qu'il faut aligner pour placer en ligne droite les points de suspension, et ce sont les distances des arêtes extrêmes à celle du milieu qu'il faut rendre égales pour obtenir deux bras de levier égaux.

Le plus souvent le constructeur se charge une fois pour toutes de régler les trois prismes : c'est le cas de la balance dont nous donnons la figure. Quelquefois on laisse à Texpérimentateur le soin de le faire lui-même, ce qui vaut bien autant. Alors deux des couteaux sont fixes et le troisième se déplace au moyen d'un double système de vis qui peut, ou l'élever et l'abaisser pour l'aligner avec les deux autres, ou le transporter horizontalement pour égaliser les bras de levier.

Il ne resie plus qu'à placer le centre de gravité du fléau audessous du point de suspension et tout près de lui : c'est la plus importante de toutes les conditions, car c'est elle qui détermine la stabilité et la sensibilité de la balance. Voici le mécanisme simple qui a été adopté. Sur l'arête supérieure du fléau et au-dessus du point de suspension, on a planté verticalement une vis à pas très serrés. Deux boutons filetés E,E', taillés en écrous, se meuvent sur elle : l'inférieur est gros et lourd, le supérieur est petit et léger, et, quand on abaisse ou qu'on monte ces boutons, le centre de gravité descend ou s'élève, beaucoup si c'est le bouton lourd qui marche, lentement si l'on déplace le contre-poids plus léger. Le centre de gravité devenant mobile au moyen de cet artifice, il est possible de donner à la balance autant ou aussi peu de sensibilité qu'on le désire. On a même perfectionné ce dispositif en perçant un trou excentrique T dans Tun des boutons, ce qui fait qu'en le tournant on déplace latéralement le centre de gravité et qu'on le met exactement dans le plan vertical qui passe par l'arête de suspension au moment où le fléau est horizontal.

Si elle se réduisait aux pièces que nous venons de décrire, la balance n'offrirait aucun moyen de reconnaître le moment où le fléau est horizontal. Il faut un indicateur de ses mouvements, et c'est une aiguille d'acier Q {fig* 5?) qui descend du milieu du levier jusqu'à la base du support, où elle oscille vis-

DESCRIPTION. D'USE BALANCE PRÉCISE. io5

à-vis d'une lame d'ivoire G, divisée en parties égales.Quand la balance esl vide, on règle les vis calantes, de manière à placer l'extrémité de l'aiguille indicatrice au zéro de la division : c'est le point de départ, et, pour peu que le fléau s'incline sur sa position primitive, l'aiguille se meut sur le limbe; étant très longue, elle accuse évidemment les moindres déplacements.

FiB, 5..

li nous reste à dire comment on soutient toute la balance. Elle repose sur un pied en fonte LMN {Jlg. Sa), à vis calantes V, V, Du centre de ce pied s'élève une colonne en laiton DC, et, sur le sommet de celle-ci, se trouve le plan d'acier qui supporte le couteau central F. S'il était toujours soutenu ainsi, il serait bientôt émoussé, et ia balance, outre qu'elle s'altérerait très vite, ne pourrait être transportée; aussi l'on voit dans la figure une fourchette HIJ dont les bras embrassent le fléau : elle peut se soulever et s'abaisser par le moyen d'une crémaillère cachée dans la colonne, et avec laquelle engrène un pignon denté

io6 INSTRUMENTS DE MESURE.

qu'on manœuvre par un bouton extérieur 0. £n tournant celui-ci, on soulève la fourchette, qui saisit le fléau et le soutient fixement entre ses bras H et I; en le tournant en sens inverse, on descend la fourchette, qui dépose doucement le couteau sur le plan d'acier et abandonne le fléau à Faction des poids qui le sollicitent. De plus, comme une pesée est toujours une opération délicate, et qu'il faut éviter toutes les causes d'erreur, on enferme la balance dans une cage de verre qui repose sur le pied de l'instrument; on ne l'ouvre que pour mettre ou enlever les poids; on la ferme pendant que Ton mesure. Ainsi Ton évite les courants d'air, l'action de l'humidité sur les corps que l'on pèse, en même temps que l'on soustrait à toute cause de détérioration l'instrument délicat qui doit toujours être prêt à servir. Dans la figure, on a enlevé le devant et le plancher de la caisse pour laisser voir toutes les pièces de l'appareil.

MÉTHODE DES DOUBLES PESÉES. — On voit avec quelle fidélité les constructeurs se sont conformés aux prescriptions de la théorie et ce qu'ils y ont ajouté de détails mécaniques ingénieux. Mais il faut bien se persuader que ces précautions ne sont pas toutes également nécessaires, et que l'expérimentateur doit toujours suppléer, par la manière dont il conduit ses opérations, aux imperfections qui existent ou peuvent exister dans les appareils qu'il emploie. Or l'une des conditions les plus absolues auxquelles il faille satisfaire, celle qui rend la balance juste, est l'égalité des bras de levier; mais, comme il est impossible de la réaliser rigoureusement, il faut savoir s'en passer, et l'on y parvient par une méthode inventée par Borda, dite des doubles pesées, et qui se pratique de la manière suivante. On dépose dans l'un des plateaux le corps que Ton veut peser et on Téquilibre exactement en versant de la grenaille de plomb de l'autre côté; ensuite on retire le corps et on le remplace par des poids notés, jusqu'à reproduire l'équilibre. Il est évident que ces poids, qui prennent exactement la place du corps dans le même plateau, lui sont équivalents, que les bras de levier soient égaux ou non. Il n'est donc plus nécessaire que la balance soit juste : il suffit qu'elle soit sensible.

,jyfÉTHODE DES DOUBLES PESÉES. 107

Cela nous ramène à compléter, par quelques observations, ce que nous avons dit des conditions qui ont pour but d*accroître la sensibilité de Tappareil. Nous avons vu que, pour y parvenir, on augmente la longueur du levier pendant qu'on révide pour en diminuer le poids. Quand on exagère ces précautions, qui sont bonnes en elles-mêmes, on tombe dans le grave inconvénient de diminuer la rigidité du fléau; il éprouve alors, sous Teffet des charges qu'il supporte, des flexions quMl est difficile de mesurer et impossible d'empêcher. Dès lors, les couteaux extrêmes s'abaissent, les points de suspension cessent d'être alignés, le centre de gravité descend et la sensibilité de la balance décroît avec la charge. Ce sont là des effets que Ton remarque dans tous les instrumenis et auxquels il ' faut remédier : cela est heureusement facile.

Que l'on veuille d'abord peser des corps très petits : on commencera par relever les deux boutons jusqu'à rendre la balance folle, puis on abaissera progressivement l'un d'eux, jusqu'au moment où elle commencera à redevenir stable, et on lui donnera de cette manière le maximum de sensibilité qu'elle peut atteindre dans ce cas. Si ensuite on veut peser n^, par exemple, on chargera approximativement la balance de ce poids, ce qui la rendra très paresseuse, parce qu'elle fléchira; mais on lui rendra toute sa sensibilité première en relevant les boutons jusqu'au moment où elle va cesser de rester stable pour devenir folle. On voit donc qu'avant d'exécuter une pesée il faut approximativement savoir quel poids on veut apprécier, et régler à l'avance la sensibilité de l'appareil pour ce poids spécial.

DÉTAILS DES PRÉCAUTIONS NÉGESSAIBES POUR ODTENIR UNE PESÉE EXACTE..— L'exécution d'une pesée étant une des opérations les plus délicates et les plus importantes de la Physique, nous croyons devoir donner quelques détails sur la manière de la bien faire. On commence par fixer invariablement la balance sur une table épaisse et immobile, loin des rues agitées ; on s'assied en face, puis, abaissant doucement le fléau par le moyen du bouton extérieur, on s'assure que l'aiguille se fixe au zéro, et, si elle n'y vient pas, on l'y amène en faisant jouer

io8 INSTRUMENTS DE MESURE.

les vis calantes. La balance étant ainsi réglée, on place le corps d'un côté, de la grenaille de l'autre, et Ton établit grossièrement réquilibre, ce qui n'est pas difficile à faire. Pour l'obtenir ensuite exactement, il faut relever la fourchette pour fixer le fléau, éteindre avec la main les oscillations des plateaux, fermer la cage, abaisser de nouveau et très lentement le fléau, et examiner l'aiguille qui oscille lentement à droite et à gauche du zéro des divisions. On observe quatre ou cinq oscillations successives : si elles sont symétriques, la pesée est bonne; si elles ne le sont pas, il faut ajouter ou retirer délicatement un grain de plomb avec des pinces et recommencer l'observation. L'opérateur arrive bientôt à reconnaître qu'en ajoutant un grain de plus à une tare trop faible, elle devient trop forte. Il doi^t alors employer ou de la grenaille plus fine, ou de petits morceaux coupés dans un fil de cuivre très fin, ou même des grains de sable, répéter la même opération avec ces grains de plus en plus menus, et s'arrêter enfin quand les oscillations sont devenues rigoureusement symétriques.

Alors il faut enlever le corps, le remplacer par des poids notés, et recommencer avec ces poids l'opération que l'on a faite avec les grains de la tare. On trouve aisément que la pesée est comprise entre w et /i-h i grammes; il n'y a plus dès lors qu'à ajouter une fraction de gramme. Or les boîtes de poids contiennent os'-,9 en quatre poids différents, qui valent, le premier o8',5, le second o5%2, et les deux derniers os'", i (*); il est clair qu'en les combinant ensemble de diverses manières on peut former os',9, os%8, 08% 7, ob^'jÔ, os^ô, o8^,4> o'<î»,3, os%2, os"",!. On essaye successivement ces divers poids en commençant par le plus élevé, et l'on reconnaît que la pesée est comprise entre deux nombres de décigrammes consécutifs, par exemple entre 9 et 8 ; la pesée est alors exacte à o6%i près. On passe ensuite aux centigrammes, qui sont disposés de la même manière et avec lesquels on opère de la même façon. Enfin on arrive aux milligrammes en augmentant les précautions à mesure que les fractions que Ton veut apprécier deviennent plus petites.

(') D'autres fois c'est le poids de o«%* qui cstdonblc.

Fig. fiJ.