PENDULE DE BORDA

nouvelle position ( * ) : de là la construction de pendules réversibles qui ont deux couteaux, fun en haut qui est fixe, l'autre en bas qui est mobile, et qu'on place par tâtonnements dans une position telle que les durées d'oscillation soient invariables quand Tappareil est soutenu par Tun ou par l'autre. On obtient ainsi la quantité /, et il suffît d'observer t avec précision pour en déduire g*.

Cette solution, proposée par Bohnenberger (2), a été appliquée pour la première fois par le capitaine Kater (s) à l'occasion de la revision du système anglais des poids et mesures. Voici maintenant la solution adoptée par Borda en 179?., lors des opérations géodésiques entreprises pour la fîxation de l'unité de longueur.

PENDULE DE BOBDA ("*). — Borda construisit son appareil de manière à réaliser autant que possible le pendule simple. Il le composa d'une sphère de rayon connu et égal à a. Pour la rendre très lourde, on la fait en platine, et on la suspend par Un fil très fin, long de i"* environ, dont le poids n'est qu'une fraction négligeable de celui de la sphère, et que l'on peut considérer comme nul. Tout se réduit donc à une sphère de rayon a, suspendue par un fil sans poids, et dont le centre est à une distance / du point de suspension ; le calcul donne, pour exprimer la longueur U du pendule simple synchrone, la formule

On voit donc que, pour ramener l'appareil de Borda au pen-

1(1' dule simple, il suffit d'ajouter à sa longueur la quantité -^9

qui est fort petite, et qui ne dépasse pas -^ de millimètre quand a et / sont égaux à iS^yOi^ et 1"; la correction qu'il

( ' ) Celte loi a été démontrée par Huygens {Horologium oscillatorium).

(^ ) Bohnenberger, Lehrbuck der Astronomie, 181 1.

(') Philoaopkical Transactions, 1818. 11 est à noter que l'idée d'employer corame unité de longueur celle du pendule simple qui bat la seconde est due à Huygens.

(*) Base du système métrique, t. III.

faut faire est donc faible et facile à exécuter. En résumé, la durée des oscillations sera donnée par la formule

t=7:\/ ril(i^--sin2-

Quand on veut dans ces mesures atteindre la dernière limite de la précision, il faut encore tenir compte de la résistance opposée par Tair au mouvement du pendule. La Mécanique permet d'apprécier cette cause de variation, sur laquelle nous reviendrons ultérieurement (*).

Borda installait son pendule sur un appareil que nous allons maintenant décrire et qui se compose : i** d'une horloge astronomique bien réglée A {fig. 69) ; 5." d'un support de fer EGF ; 3^ du pendule GH, qui est placé en avant et en face de l'horloge ; 4° d'une cage de verre qui enveloppe le tout et le met à l'abri de l'air extérieur.

Il faut avant tout que le support du pendule soit invariable et ne reçoive ni l'efTet des trépidations extérieures ni celui de la réaction provenant des oscillations du pendule. On fait choix à cet effet d'un mur solide de pierre, construit loin des rues agitées, et l'on y scelle un arc de fer forgé EGF que l'on soutient par des jambes de force également scellées dans la pierre. Sur le milieu de l'arc se voit un plan d'acier trempé ei poli G, sur lequel se place l'axe de suspension et qui est percé d'un trou pour laisser passer le fil suspenseur.

Pour soutenir le pendule, on emploie un couteau d'acier G dont l'arêie pose sur le plan et auquel est attaché le fîl. Ce couteau devant osciller lui-même et n'ayant pas un poids négligeable, on pourrait craindre qu'il n'altérât la durée des oscillations ; mais cette cause d'erreur, toute petite qu'elle est, s'élimine par une précaution bien simple. On fixe audessous du couteau une tige qui abaisse son centre de gravité au-dessous de l'arête, et on le surmonte d'une vis sur laquelle

( ' ) Voir F.-W. Bessel, Untersuchungen ûher die Lange des einf acheta Sekundenpendeh {AbhandL der Berliner Akndemiey 1826).

PENDULE DE BORDA. lai

un écrou monte ou descend, pour relever ou abaisser le centre de gravilé. On commence par placer le couteau sur le support et le Taire osciller seul, puis on fixe le petit écrou •'■e- *9-

dans une position telle, que le temps d'une oscillation soit sensiblement le même que celui du pendule complet. On est sûr alors que le couteau n'altérera pas le mouvement du pendule quand il sera réuni avec lui, puisqu'il oscille isolément dans le même sens que lui.

Quant à la sphère qui termine le pendule, elle était le plus souvent de platine; mais Borda, qui voulait reconnaître si la valeur de ^' est rigoureusement la même pour tous les corps, avait besoin de l'enlever aisément sans changer la longueur du pendule et de la remplacer par des sphères égales de substances différentes. Il avait imaginé dans ce but de terminer le iil par une calotte mince concave, où les sphères s'embottaient exactement et dans laquelle on les faisait adhérer ' en interposant une couche mince de sulT.

Il y a maintenant plusieurs mesures préliminaires à faire : il faut trouver d'abord le rayon a de la sphère suspendue. On peut y parvenir au moyen d'un petit sphéromèlre.

ii-2 INSTRUMENTS DE MESURE.

en faisant poser les pieds sur un pelil cercle de la sphère et la pointe de la vis sur le pôle de ce cercle, ce qui permet de calculer le rayon de la sphère quand on connaît celui du cercle qui passe parles trois pieds. Cette méthode suffit; mais, comme elle laisse à désirer, il vaut mieux mesurer le volume, et par suite le rayon de la sphère, par des procédés dont il sera parlé au Chapitre des densités. Ce rayon a étant connu, il faudra ensuite trouver la longueur / du pendule depuis le centre de la sphère jusqu'au point de suspension, mesure qui était difficile au temps de Borda, mais qui est devenue très simple avec le cathétomètre : il suffit de viser avec cet instrument l'arête du couteau d'une part, le contour inférieur de la sphère ensuite, et cela donne la longueur cherchée / augmentée du rayon a.

Il ne faut pas se contenter de faire cette mesure une fois et de considérer le résultat comme invariable, car la longueur du pendule change avec la température ; on est donc obligé d'observer cette température toutes les fois que Ton opère et de calculer les valeurs exactes qu'ont les quantités a et / au moment de l'observation : ce calcul se fait au moyen des formules dont nous parlerons à l'article de la Dilatation des solides.

MÉTHODE DES G0ÏNGIDENGE8 {^). — Nous connaissons maintenant la relation générale qui lie l'accélération à la durée d'une oscillation ; nous avons mesuré les constantes a et /; l'appareil est décrit dans tous ses détails ; il n'y a plus qu'à le faire marcher pour trouver le temps t. A cet effet, on ouvre la boîte pour donner l'impulsion au pendule; on la referme ensuite, et l'on observe les mouvements avec une lunette fixée en face de l'appareil dans la direction DD', à une distance de 8»" à lo"". On voit passer séparément dans le champ de vision le balancier sur lequel on a tracé d'avance un trait vertical J) et le fil de suspension du pendule. Comme l'un des deux appareils, le pendule, parexemple, va toujours un peu plus vite que l'autre,

(') La première idée de cette méthode est due à de IMairan (Gehlers Physihaliachea JVôrterbuch^ article Pendeï.).

MÉTHODE DE COÏNCIDENCES. i23

il y a toujours un moment où tous les deux se voient superposés et marchant dans le même sens ( * ). Pour saisir ce moment avec toute la précision possible, on commence à observer attentivement avant que la superposition ait lieu exactement. On voit les deux lignes se rapprocher, se confondre et se séparer; Tinstant où elles se confondent est celui d'une coïncidence j on le lit sur le cadran de Thorloge et on le note, comme temps initial. Après cela, le pendule reprend l*avance et arrive peu à peu à repasser dans la verticale en même temps que le balancier, mais avec une vitesse inverse, et à ce moment il a fait une oscillation de plus que Thorloge; puis, la différence augmentant toujours, il se fait une nouvelle coïndence dont on observe Tinstant comme pour la première, et le pendule a fait deux oscillations de plus que Thorloge (2). Or,

(*) Cette circonstance ne se présente pas nécessairenieni sur ]a verticale; elle peut avoir lieu lorsque les deux pendules font un même angle a quelconque avec leur position d'équilibre; mais, si les durées d'oscillation diffèrent extrêmement peu, les pendules continuant leur oscillation passent par la verticale à des époques fort rapprochées, et la coïncidence qui n'existe pas mathématiquement est réalisée d'une manière physique à cet instant, II arrive que les deux pendules paraissent coïncider pendant toute la durée de plusieurs oscillations.

(' ) Ce raisonnement n'est pas absolument rigoureux. Soit i -h - le rapport

de la durée d'une oscillation du pendule le plus lent à celle du plus rapide

et supposons que - soit une fraction irréductible. Entre deux coïncidences

mathématiques, les deux pendules ont exécuté chacun un nombre pair d'oscillations; soit 2» le nombre d'oscillations du plus lent, le plus rapide en a

exécuté 2/1 H- 2/1 -» et la différence — ~ est un entier pair. Puisque/; estpre-

mier avec </. on a — = 2,4,6,... et la différence 2/* — du nombre d'oscil- ^ q q

lations des deux pendules est de 2/>, 4/>) • . • . Entre deux coïncidences successives, elle est 2/;.

Toutefois, outre ces coïncidences se produisant sur la verticale, il y a eu, dans l'intervalle de deux coïncidences vraies successives, p — i fausses coïncidences se produisant à des distances angulaires variables de la verticale et au moment où les nombres fractionnaires d'oscillations des deux pendules différaient de 2, 4» 6, . . . , 2 (/> — i) unités. Alors les pendules ne coïncident plus mathématiquement lors de leur passage à la verticale, mais ils paraissent coïncider pourvu que les durées d'oscillation soient très voisines; Terreur que

11^ INSTRUMENTS DE MESUKE.

riiorJoge exécutanl une oscillation par seconde, elle en fait autant entre deux coïncidences qu'il y a de secondes parcourues sur le cadran ; si n représente le nombre de secondes écoulées, n-hi exprime le nombre des oscillations exécutées par

le pendule, et le temps d'une seule oscillation est /= ;

il serait égal à si le pendule marchait moins vite que

rhorloge. En même temps que Ton suit ces mouvements, on en mesure les amplitudes sur un arc divisé qui est Joint à Tappareil, et, Ai et X\ étant les valeurs initiale et finale de récart au moment des deux coïncidences, on prend pour A la moyenne de A, et de A\,

Telle est la méthode dite des coïncidences; il est clair qu'elle offre de nombreux avantages. Premièrement, elle observe un grand nombre d'oscillations pour obtenir la durée d'une seule, ce qui divise par ce nombre Terreur commise dans la mesure du temps; deuxièmement, elle permet, grâce au grossissement de la lunette et à la ténuité des lignes que Ton vise, d'obtenir sans grande erreur le moment des coïncidences; troisièmement, et c'est là son principal avantage, elle dispense de compter les oscillations, puisque l'horloge marque les siennes et qu'on en déduit celles du pendule. C'est sans contredit une des meilleures méthodes que l'on possède.

VALEUR DE LA CONSTANTE g. — Puisque l'on a pu donner tant de précision à la mesure des diverses quantités qui entrent dans la formule, on en déduit la valeur de g avec plus d'approximation que par toute autre méthode. Mais cette valeur

Ton comnietlra en admettant qu'entre les deux coïncidences apparentes le pendule le plus rapide a exécuté juste deux oscillations de plus que l'autre entraîne une erreur sur l'évaluation absolue de la durée d'une oscillation;

mais celle-ci est négligeable quand le nombre — d'oscillations du pendule

le plus lent, séparant les deux coïncidences apparentes, est extrêmement considérable. C'est précisément ce qui avait lieu dans les expériences de Borda, comme dans celles qui furent exécutées plus tard par Biot. [Bichat, Discussion de la méthode des coïncidences {Journal de Phjrsique, i" série, t. 111, p. SGq;

VARIATION DE g AVEC LA LATITUDE. 11%

de g n'est pas celle que Ton trouverait si Ton faisait osciller le pendule dans le vide. On verra en effet dans la suite que les corps perdent dans Tair un poids égal à celui du gaz qu'ils déplacent. Par conséquent, si le poids de la sphère dans le vide est Pyil diminuera dans Tair du poids p du gaz qu'elle déplace, et il deviendra P — />.

Si le principe d'Archimède était applicable aux corps en mouvement comme il Test aux corps en repos, on pourrait donc raisonner de la manière suivante. Soient g l'accélération dans le vide, g' l'accélération observée; on aurait, d'après le principe de la proportionnalité des forces aux accélérations^

Mais Bessel a fait voir que la perte apparente de poids est plus grande dans le cas du mouvement que de l'équilibre, dans un rapport qui, d'après Poisson ('), serait égal à f , indépendamment du milieu. Il faut donc écrire

La valeur de l'accélération, prise à Paris, réduite au vide et au niveau de la mer, a été trouvée (2) égale à 980*^*», 896.

VABIATION DE g A¥£G LA LATITUDE. — La pesanteur n'est pas constante sur tous les points de la surface du globe, car, la Terre tournant sur elle-même en vingt-quatre heures et chaque point décrivant pendant ce temps un cercle dont le rayon est

( ' ) Poisson, Mémoire sur les mouv'ements simultanés d'un pendule et de tair environnant {Mém, de VAcad. des Sciences, t. XI).

(») Valeur tirée des recherches de Biot et Arago {Recueil d'observations fféodésiçues, astronomiques et physiques exécutées par ordre du Bureau 'ifes Longitudes de France en Espagne, en France, en Angleterre et en Ecosse; Pari», 1821). Borda avait trouvé 980*", 882.

i'26 • INSTRUMENTS DE MESURE.

égal à sa distance à Taxe de rotation, la force centrifuge agit sur chaque corps ; elle peut se décomposer en deux forces, l'une tangente à l'horizon, Tautre normale, et celle-ci se retranche de l'attraction terrestre. Soient X la latitude du lieu, r le rayon du cercle décrit en un jour ou R cos X, T la durée d'une révolution — 864oo"; Taccélérallon centripète est /= - — — — > et sa composante normale, qui se retranche du poids, est ' cos^X; elle croît quand on se rapproche de l'équateur,

puisque la latitude X diminue. En vertu delà rotation terrestre, l'accélération vraie G de la pesanteur en un lieu quelconque se trouve ainsi réduite à