CORPS FLOTTANTS
une vitesse acquise et sort du liquide. A partir de ce moment, le volume déplacé diminue ainsi que la poussée, pendant que le poids du corps reste le même, et il arrive un instant où, la poussée et le poids devenant égaux, l'équilibre devrait avoir lieu; mais, en vertu de la vitesse acquise, le corps dépasse celte position pour y être ensuite ramené par son poids et s'y fixer après une série d'oscillations. Ainsi les corps de poids spécifique inférieur à celui des liquides où ils plongent s'y maintiennent en équilibre en partie immergés , • en partie émergés, et cet équilibre exige, comme première condition, que le corps déplace un poids de liquide égal au sien.
Le poids du corps étant toujours appliqué à son centre de gravité G {fig. 79), et la poussée au centre de gravité P de la partie immergée, il faut non seulement que ces forces soient égales, mais encore qu'elles soient oppos^ées; de là une seconde condition d'équilibre : c'est que les centres de gravité du corps total et de la partie plongée soient sur une même ligne verticale. D'où il résulte qu'une sphère homogène sera en équilibre quelle que soit sa position : un ellipsoïde quand l'un
Fie- 79-
quelconque de ses axes sera vertical; un parallélépipède droit à base rectangulaire quand l'un de ses trois systèmes d'arêtes sera vertical.
CONDITIONS DE STABILITÉ. — II faut, en troisième lieu, que l'équilibre soit stable, c'est-à-dire que les forces auxquelles le corps est soumis soient dirigées de manière à le ramener à sa position initiale quand on l'en a écarté très peu. Supposons, par exemple, que la ligne PG {fig^ 79) s'incline en P'G', le centre
i58 HYDBOSTATIQOE.
de gravilé se placera en G'; mais le centre de poussée aura pris une position nouvelle P", puisqu'il est le centre de gravilé de la partie immergée et que celle-ci a changé. Alors le corps est soumis à l'action de son poids, qui agit en G' de haut en bas, et de la poussée, qui agit en P" de bas en haut : il en résulte un nouveau système de forces qui tend, dans la position indiquée par la ligure, à éloigner le corps de sa position primilive; il y était donc en équilibre, mais en équilibre instable. Le point M où la verticale passant par P" rencontre la ligne G'P' se nomme le métacentre, et il se trouve ici au-dessous du centre de gravité. Mais, si le nouveau centre de poussée était en P" au lieu d'être en P", les deux forces concourraient a ra-^ mener le corps à sa position première; dans ce cas, le méta- '■"itre serait en M' et au-dessus du centre de gravité. On voit ne que l'équilibre sera instable ou stable, suivant que le lacentre sera au-dessous ou au-dessus du centre de gravilé, Pour élucider ce point par un exemple, nous supposerons e l'on ail une planche plate, taillée sous la forme d'un palélépipède rectangulaire droit. Si on la couche d'abord hojntalemenl sur le liquide dans la position AB {Jîg. 89), le
FiB- f
itre de gravité sera en G, le centre de poussée en P, et, ces i\ points élanl sur une même verticale, l'équilibre aura 1. Que l'on vienne maintenant à incliner la planche dans la îilion A''B", le centre de poussée se trouvera en P", le méenlre en M, sur la ligne D°C", au-dessus du centre de gra- ; G, et le corps reviendra à son équilibre. Si, au contraire, ■ avait placé verticalement la planche en une autre position quilibreA'B' et qu'on l'eût inclinée ensuite en A"B",leméentre eût été sur la rencontre de MP" avec A"B" en M'; il
LIQUIDES SUPERPOSÉS. iSg
eût été placé au-dessous du centre de gravité, et Ton voit que le système des deux forces appliquées en G et en M' tend à éloigner le corps de sa position primitive A'B' pour Je coucher à plat sur le liquide dans la situation AB.
UdUIDES SUPERPOSÉS. — Quand on aura mêlé du mercure et de l'eau dans un même vase en les agitant, et qu'ensuite on les laissera reposer, chaque gouttelette de mercure disséminée au milieu de Teau tombera au fond du vase ; chaque particule d'eau emprisonnée dans le mercure s'élèvera, et bientôt les deux liquides seront séparés. Que l'on mêle de l'huile avec de Teau, rhuile, qui a une moindre densité, montera au sommet, et si l'on avait mélangé ces trois liquides entre eux, ils se seraient séparés d'eux-mêmes par le repos et se seraient superposés par F»e- 8i.
ordre de densité. m* ~-
La surface de séparation de deux
des liquides est plane et horizontale, n — - Considérons {Jîg, 8i) deux plans horizontaux M et M', situés dans chacun " i des liquides et caractérisés par les valeurs/? et/?' de la pression. Soit H leur distance. Par un point quelconque m du plan M menons une verticale qui rencontre M' en m' et la surface de séparation en un point n, où la pression est 7sy. On a dans le liquide inférieur
dans le liquide supérieur
ajoutant membre à membre, il vient
p =p' -H hd + (H — h)dy p-p' — YLd'=zh{d--d'),
Le premier membre de cette équation est indépendant de la position que le point m occupe dans le plan M ; donc le second l'est aussi. Si d—d' est différent de o, on a donc
i6o HYDROSTATIQUE.
Az=consl., el la surface de séparation des deux liquides est plane et horizontale. Si d=d\ le premier membre est égal ào et II est quelconque. La forme du liquide est alors déterminée exclusivement par les actions capillaires, dont nous faisons actuellement abstraction.
Les deux plans M et M' pouvant toujours être pris assez voisins Tun de Taulre pour que les poids spécifiques rf et rf' ne varient pas sensiblement dans Tintervalle compris entre ces plans et la surface de séparation, la proposition est applicable aux fluides compressibles aussi bien qu'aux liquides communs.
VASES GOMIIUIIIGAHTS. — Nos théorèmes sur Téquilibre des liquides sont indépendants de la forme des vases. Toutefois, en établissant la formule fondamentale (p. i4^ et i^^), nous
avons supposé que la droite qui joini les centres de gravité a et è des deux éléments que Ton compare est entièrement comprise dans le liquide, ce qui n'a pas toujours lieu. Pour écarter cette restriction, joignons a et b (Jig. 8i) à travers le liquide par une ligne polygonale brisée d'un nombre de côtés suffisant pour qu'entre deux sommets quelconques, e eij par exemple, le poids spécifique du fluide puisse être considéré comme invariable. Soient alors ujn-i,^n les pressions en e et/, hn la différence de niveau comptée positivement de haut en bas, négativement en sens contraire ; on a
Fig. 82.
GJ/i — ^n—i -♦" hndn»
De même, à partir de a, où la pression est /;, jusqu'au yyjième sommet b, oii la pression est p'y on a les équations
hidi,
p' =TSm^i -^ hindm'j
LIQUIDES SUl'Eai'OSfiS, iGi
et, par addition,
(ï) P' = P + ^hd,
c'est-à-dire que la pression en b est égale à la pression en a augmentée du poids d'une colonne liquide ayant pour base l'unité, pour hauteur la différence des niveaux de a et de b, et pour densité en chaque point la densité du liquide. Cette conclusion est identique à celle que nous avons obtenue page i44) et n'est plus soumise qu'à une seule restriction : c'est que la continuité du liquide ne soit nulle part interrompue entre les points a et i que l'on compare.
Si le liquide est incompressible, le poids spécifique est constant, et la formule (2) peut s'écrire
p' ^p ■+■ dl/i
ou, en appelant désormais h la différence de niveau toiale,
(3) p'--=p + hd,
formule identique à celle de la page t^5.
Dans tous les cas, il résulte de la formule (2) :
i' Que la pression au même niveau {^hd=: o) est la n dans deux vases communicants ;
J. el B. — [ (4- édit-, 1888), 1" faac. 11
ti" Que, s'il y a dans chacun d'eux une surface libre con* fioant à la même atmosphère, les deux surfaces libres sont dans un même plan horizontal.
On vérifie cetie dernière proposition à Taide du cathétomèlre et de l'appareil représenté Jig. 83. C'est un vase A mastiqué sur une garniture métallique à robinet C, à laquelle on peut adapter des tubes de dimensions ou de formes différentes.
CAS DE DEUX LIQlTJIDES. — Quand deux vases communicants contiennent des liquides de différente densité, par exemple du
mercure en CD, de Teau en DA (Jlg, 84), *^' ^* on peut appliquer le théorème fondamental
à la surface de séparation D, qui appartient à la fois aux deux liquides. La pression en D, abstraction faite de la pression atmosphérique, est égale au poids d'une colonne de chacun des liquides ayant respectivement les hauteurs h et h'.
Quand les liquides peuvent être considérés comme incompressibles, on a, désignant par d et d' leurs poids spéciQques,
/id=/i'd' ou — =L -T-
les hauteurs au-dessus de la surface de séparation sont en raison inverse des poids spécifiques et par conséquent des densités. Cette proposition.se vérifie à Taide du cathétomètre.
ÉaUIUBBE D'UH UaUIDE IHGOIIPBESSIBLE SOUMIS A DES FOBGBS aUELCOHQLUES. — Le cas le plus général de l'Hydrostatique est celui d'un liquide soumis à des forces variables en grandeur et en direction d'un point à un autre de sa masse. Les trois composantes X, Y, Z de la force agissant en un point A, rapportées à l'unité de masse du liquide, sont, en général, des fonctions continues des coordonnées x, y, z de ce point et dé la densité p, et il en est de même de la pression qui, d'après le principe de Pascal, est la même autour du point A dans toutes les directions. Nous n'étudierons que le cas où la densité p est invariable.
ÉQUILIBRE D'UN LIQUIDE LXCOMPRESSIBLE. i63
Considérons uA parallélépipède infiniment petit ABCDEFGH {fig* 85) limité par trois plans parallèles aux plans coordonnés et dont les arêtes sont hXy ôj, âz, le volume ^xhy^z et la masse pô,rôjdz.
La force agissant sur cet élément de volume a pour composantes
Fig. 83.
pYdxàx^^9 pZdxdxàz
et doit donner, avec les pressions appliquées aux six faces du cube, une résultante nulle.
Occupons-nous d'abord des forces parallèles à Ox, La pression sur ABCD est pdjôz; surEFGH, — (/? + ôp)èxàz. Ces pressions sont parallèles à Taxe de x ; leur somme —opàjràz doit donner, avec la composante pXd.rôydz, une résultante
nulle. On a donc
àp = pXdXy et à la limiie
on aura de même, en considérant les faces CBFG, DAEH d'une part, AEFB, DHGC d'autre part,
(2) /^;=pY,
(3) /^;=pz.
Les équations (i), (oi), (3) expriment les conditions de réquilibre. Posons
Les équations (i), (2), (3) établissent que les composantes de la force sont les dérivées partielles d'une même fonction
des coordonnées du point A.
i64 HYDROSTATIQUE.
On appelle surface de niveau une surface telle que la pression ait en tous ses points la même valeur ;
est donc Téquation générale des surfaces de niveau: On voit sans peine que deux surfaces dé niveau ne peuvent se rencontrer, puisque à une valeur donnée de a?, j, z ne peut correspondre qu'une seule valeur de /.
Les composantes X, Y, Z de la force agissant en un point sont proportionnelles aux dérivées partielles de la fonction/; il en résulte que la direction de la force est partout nornoale aux surfaces de niveau.
Nous signalerons deux exemples :
1" Équilibre d'un liquide soumis à la pesanteur seule, — Nous prendrons pour axe des z une droite verticale, pour axes des X et des x deux droites rectangulaires, prises arbitrairement dans un plan horizontal. On a
(i bis) X = o,
{2 bis) Y=:o.
La force verticale Z agissant sur Tunité de'masse est
(S bis) z= %;=§•,
d'où, remontant à la. fonction primitive et désignant par/?' une
constante,
p = pgz-hp\
Soit d le poids spécifique pg,
p=:p' -{- zd.
C'est notre formule fondamentale de la page j^5; p' désigne la
pression dans le plan des xy pris pour plan de comparaison.
Dans le cas actuel, les surfaces de niveau sont des plans
horizontaux
z = const.
En particulier, la surface libre est plane et horizontale.
FIg. 86.
ÉQUILIBRE D'UN LIQUIDE INCOMPRESSIBLE. i65
2** Équilibre d'un liquide tournant autour d'un axe vertical. — Nous ramènerons ce cas à la considération de l'équilibre par Tintroduction d'une force centrifuge, conformément aux observations de la page 59.
Soient oa la vitesse angulaire de rotation, r la distance d'un point A à Taxe vertical Oz, La force centrifuge en A rapportée à l'unité de masse est oi^r; elle est dirigée suivant le prolongement du rayon OA. Ses composantes suivant Ox et Or sont
( I ter)
(2 1er)
La pesanteur fournit la composante verticale
(3 ter)
Z=-pl=g.
En remontant à la fonction primitive» on a
p' est une constante. C'est la pression au point de Taxe pris pour origine.
L'équation des surfaces de niveau est
- — (^'^ +r-) + pzg = const.
C'est l'équation d'une famille de paraboloïdes de révolution autour de Taxe des z, La surface libre du liquide est ellemême un paraboloïde.
iGG HYDROSTATIQUE.
