PRESSIONS SUR LES PAROIS DES VASES

p[^ est la pression totale que supporterait la paroi dont la surface est S si on la couchait horizontalement sur le plan MK; dlhs est le poids d'un certain \o\umelhs de liquide, que Ton peut évaluer de la nianière suivante.

Imaginons des forces parallèles numériquement égales à s appliquées aux éléments de paroi : le produit A^y est le moment de chacune de ces forces par rapport au plan MN, et la somme de ces moments, d'après un théorème connu de Mécanique (p. 3o), égale le moment de la résultante. Celle-ci a pour valeur S ; elle est appliquée au centre de gravité G de la paroi, à une distance H du plan M. On a donc 1/is = HS. Ce produit exprime le volume d'un prisme droit ayant pour base la paroi et pour hauteur la distance du centre de gravité G au plan MN.

Quand il y a une surface libre, on la fait coïncider avec le plan MN, et la pression totale provenant du liquide se réduit au poids d'une colonne liquide ayant pour base la paroi et pour hauteur la distance de son centre de gravité à la surface libre. C'est l'énoncé le plus habituel de la proposition que nous venons d'établir.

Pour déterminer géométriquement le point d'application de la pression totale exercée sur une paroi ABCD, on peut rabattre celle-ci horizontalement en A'B'CD {fig-']!) et placer verticalement sur chacun de ses éléments le frlet liquide dont le poids exprime la pression totale qu'il supporte; la hauteur de chaque filet sera égale à la dislance de l'élément correspondant au niveau

AB. Ces filets réunis formeront un polyèdre ABCDA'B', dont le poids, appliqué à son centre de gravité G, représente la pression totale éprouvée par A'B'CD; le point P, où la verticale GP rencontre la surface dans la position horizontale que nous lui avons donnée, est le centre de pression.

Bans le cas où la surface pressée ABCD est un rectangle vertical dont les basés ÀB, CD sont horizontales, et dont la pre-

Fig. 75.

i5o HYDROSTATIQUE.

Le centre de pression est donc à la moitié de la. ligne qui joint le sommet du triangle au milieu de sa base, point qui âera différent quand chacune des bases sera successivement placée •au niveau du liquide.

3* Résultante des forces exercées par un liquide sur les parois d'un vase. — Si Ton considère une portion courbe de

paroi, les forces appliquées à ses divers éléments varient en grandeur et en direction d'une manière complexe, et Ton ne peut en général les réduire à une résultante unique. Mais toute difficulté disparaît si Ton cherche la résultante des forces exercées sur l'ensemble des parois qui limitent le liquide dans un vase &)(«)' w'^w^ (yî^. ^S). Rapportons toutes les directions à trois axes coordonnés Ox, Oj, Oz, les deux premiers horizontaux et le dernier vertical. Décomposons la surface en éléments infiniment petits et considérons en particulier Tun d'eux w. Menons un cylindre parallèle à Taxe des x ayant ca pour base et découpant sur la surface opposée un second élément w'. Comme w et w' sont au même niveau, ils éprouveront desjressions totales /?<k), /?«',/? représentante pression à ce niveau.

Si nous désignons par a et a' les, angles que forment les normales aux éléments w et w' avec la direction de l'axe des 4;, les forces normales pony pcù' ont, parallèlement à l'axe du cylindre, des composantes /?&}COS a, /?ût)'cos a'. D'un autre côté, la section droite du cylindre est représentée par cacosaet — w- cosa' ; comme elle est constante, (ù cosa = — w' cosa', et, par suite, /^oo cosa H-joo)' cosa' = o, ce qui veut dire que les composantes parallèles à Ox des pressions totales en &) et w' se détruisent.

Or, on peut décomposer toute la surface du vase en couples d'éléments, tels que w et w', et sans qu'un même élément se trouve compris deux fois dans cette décomposition. Donc la somme des projections sur l'axe des x de toutes les forces exer-

PRESSIONS SUR LES PAROIS DES VASES. i5i

cées par le liquide est formée de quantités qui, prises deux à deux, donnent une somme nulle. Cette résultante est nulle.

On peut mener de même par o), parallèlement à Taxe des j, un cylindre qui découpera sur la paroi opposée un élément w*', et Ton démontrera de même que les composantes parallèles à Ox des forces exercées par le liquide seront égales, parallèles et directement opposées. On aura ainsi réalisé une nouvelle décomposition de la paroi en éléments, tout à fait indépendante de la première et comprenant la totalité de la paroi sans aucun double emploi ; par suite, la résultante suivant Taxe des x ^st nulle, et il ne nous reste à considérer que les composantes verticales.

Menons encore un cylindre ww*' parallèle à Oz; les pressions p, p' aux niveaux passant par &) et &>''' sont égales aux poids de colonnes liquides ayant Funité pour base et la distance au niveau supérieur pour hauteur; les pressions totales sur les deux éléments sont en valeur absolue /?w et/?'w', et leurs composantes verticales sont en grandeur et en signe ptùcosy et — /?'«'cosy'; wcosy et — w' cosy' sont encore égales entre elles et à la section droite o- du cylindre. La somme algébrique des actions verticales sera dès lors numériquement égale à (/?—/?') (7 et dirigée de haut en bas, c'est-à-dire qu'elle sera égale à la diflférence des poids des deux colonnes contenues dans le cylindre tracé et ayant pour hauteur les distances de (ù et &)'" au niveau ; ce sera, par conséquent, le poids de la colonne oxo'". Il en est de même si le cylindre se termine à la surface libre du liquide, car alors la composante verticale ptù cosy, qui est seule à considérer, représente le poids du liquide contenu dans le cylindre. Si Ton répète le même raisonnement'pour tous les éléments de l'enveloppe du vase, toutes les composantes verticales se réduiront à une force unique égale au poids du liquide. Le mode de démonstration que nous venons d'employer, n'impliquant aucune hypothèse sur la compressibilité du liquide, sera applicable à un fluide quelconque. Donc, si Ton place sur le plateau d'une balance un vase de forme arbitraire contenant un liquide, la charge de la balance sera égale au poids du vase, augmenté du poids du liquide. C'est ce que l'expérience la plus vulgaire nous apprend chaque jour

i5a HYDROSTATIQUE.

On s'explique aussi commenl )3 pression totale sùp le fond

plat d'un vase rétréci {fig. 76) peut être supérieuce au poids jj g d'un liquide contenu dans le vase,

tandis qu'elle lui est inrérieure dans le cas d'un vase élargi. Les parois étant solidaires, la balance reçoit la résultante de toutes les forces exercées par le liquide; elle ne recevrait que la pression totale sur le fond si celui-ci était détaché du reste du vase, comme dans l'expérience de Pascal {voir p. i4i)- Celte contradiction apparente est connue sous le

nom de paradoxe hydrostatique.

PSIRCIPI! S'ABCEUIÊDE. — En appliquant les mêmes principes, on est conduit à un autre résultat théorique de la plus haute importance. Imaginonsque l'on plonge dans un fluide un corps de forme quelconque et que l'on cherche la résultante des forces auxquelles il est soumis de la part du liquide. Le même raisonnement va s'appliquer et la même figure peut servir. On considérera encore sur la surface du corps immergé des éléments tels que w, m', m", «'"; les actions qu'ils subiront seront égales à celles que nous venons d'exprimer, mais auront une direction opposée ; par conséquent, toutes leurs composantes horizontales se détruiront encore, toutes leurs composantes verticales se réduiront à une force unique égale au poids d'une masse liquide qui remplirait le volume immergé, mais agissant cette fois en sens inverse de la pesanteur. Cela revient à dire que, tout corps plongé dans un fluide est soumis à une force résultante unique, égale au poids du liquide déplacé, appliquée à son centre de gravité et poussant le corps de bas en haut.

Ce principe, découvert par Archimède ('),quien avait fait la

(') Lo Traité d'Arcliîmède avait pour tilrc Traité des corps (loUanis. Il fut retrouvé en i543 par Tartnglia qui en donna une traduction en latin fortio- COiracte; le telle exact n été publié plus tard par Commundin.

PRINCIPE D'ARCHLMÈDE. i53

base de Vflydrosialique, fui complètement oublié au moyen âge et découvert de nouveau par Stevin (* ). Le raisonnement synthétique par lequel ce dernier justitiait le principe d'Archimède est intéressant à connaître; il revient à peu près à ceci. Isolons par la pensée, dans un vase plein de liquide, une masse terminée par une surface quelconque; elle est en équilibre et ne tombe pas : il faut donc admettre que son poids est détruit par la réaction du liquide qui Tentoure, c'est-à-dire qu'elle est soumise à des forces dont la résultante est égale et directement opposée à son poids. Or ces forces sont indépendantes de la nature de la surface; leur résultante sera donc la même pour tous les corps plongés qui auront la même enveloppe que la masse liquide qui vient d'être imaginée; elle sera donc toujours égale et contraire au poids de cette masse, c'est-à-dire au poids de l'eau déplacée. Ce raisonnement est applicable à toute espèce de fluides, compressibles ou non.

(*) Le Traité cT Hydrostatique de Stevin a été publié en i586. Stevin appelle nyasiforme un vase dont les parois sont d'épaisseur et de poids négligeables. Voici, d'après M. Thurot [Recherehea historiques sur le principe d'Archimède, dans la Revue archéologique, 1868-69), le texte de sa démonstration :

« Théorème I. — Veau proposée tiendra telle position que Von voudra dans 'eau.

9 Soit, dans le vasiforme a, l'eau proposée mise dans l'eau bc. Il faut démontrer que l'eau a demeurera là. Si l'on pouvoit faire autrement, assavoir que a ne demeurast là, mais qu'il descendist où d est, alors l'eau qui survient en son lieu descendra plus bas par la même raison, et ainsi du reste, tellement que cette eau sera en perpétuel mouvement à cause de a, ce qui est absurde. Et l'on démonstrera pareillement que a ne montoit ni ne se mouvoit vers aucun costé, et qu'elle demeurera où on la mettra, soit en d, e,/ou g. ou en autre lieu dans l'eau bc.

» Théorème VII. — Tout corps solide est plus léger dans Veau qu*en l'air de la pesanteur de Veau égale en grandeur à icelujr.

9 Soient a un corps solide et bc l'eau, soit <f un vasiforme pareil à a. Le vasiforme d plein d'eau n'est dans l'eau bc pesant ni léger, veu qu'il se peut tenir où on le met par la première proposition : par quoi vuidant l'eau d et y meltant le corps a qui y conviendra, il se trouvera estre de la légèreté mentionnée, assavoir la pesanteur de a moins de la pesanteur de l'eau vuîdée... {Journal de Physique, i" série, t. I, p, 47).

i54 HYDROSTATIQUE.

Pour démontrer expérimentalement le principe d'Archimède, dans le cas des liquides, on prend un vase cylindrique de cuivre A {fig* 77) et un noyau de métal B ayant un volume extérieur égal à la capacité du vase, condition que Ton vérifie en enfonçant le noyau dans le cylindre et reconnaissant qu'il le remplit exactement. On accroche le vase A au plateau d'une balance, le noyau B à la base du vase A, et, après avoir équilibré par

Fig. 77.

des poids P ce système suspendu, on le descend dans un vase plein d'eau, en faisant jouer la crémaillère qui soutient la balance. Aussitôt que l'immersion commence, le système se relève et réquilibre est rompu ; il faut donc que le liquide exerce sur le noyau plongé B une action de bas en haut : il y a donc une poussée. Pour la mesurer, on augmente le poids du système en versant de Teau dans le vase cylindrique A; l'équilibre est rétabli quand il est plein et que le noyau est entièrement plongé, d'où l'on conclut que la poussée qu'éprouve ce dernier est égale au poids d'un volume d'eau égal au sien. Voici maintenant un corollaire forcé de ce principe. Plaçons

PRINCIPE D'ARCHIMËDE. i55

sur l'un des bassins d'une balance un vase plein d'eau et, à côté de ce vase, un solide quelconque, puis équilibrons le tout. Si nous venons ensuite à mettre le solide non plus à côté, mais dans le vase, nous ne détruirons pas l'équilibre : l'expérience journalière le prouve. Or, puisque le solide en pénétrant dans le liquide perd un poids égal à celui de l'eau déplacée, il Taut que celle-ci gagne ce qu'il perd, ou qu'elle soit soumise à une

force dirigée de haut en bas, égale à celle qui chasse le solide en sens inverse.

Pour confirmer expérimentalement celte conséquence, nous renverserons l'expérience précédente; nous suspendrons le même système à un support fixe G (/îg- ■38), et nous équilibrerons sur la balance le vase de verre où se fait l'immersion ; nous le relèverons avec la crémaillère, et nous verrons augmenter son poids aussitôt que le nojau B plongera. Pour rétablir l'équilibre, on puisera de l'eau dans le vase de verre, on la versera dans le cylindre A, ei, quand il sera plein, le Héau sera devenu horizontal.

L'explication théorique de ce fait est très simple. Quand on plonge un corps solide dans l'eau, on élève le niveau et, par conséquent, on augmente les pressions dans le vase de la même

i56 HYDROSTATIQUE.

quantité que si l'on y ajoutait un volume de liquide égal à celui que ce corps plongé déplace. Cela revient à dire que le poids de cette eau s'accroît de celui du liquide déplacé.

On peut encore invoquer le principe de l'action et de la réaction et dire généralement que, si le corps plongé éprouve une poussée de bas en haut, l'eau doit subir une réaction égale et contraire.

Le principe d'Archimède explique les divers effets qu'éprouve un corps quelconque quand on le plonge dans un liquide. Supposons, pour plus de simplicité, que le corps est homogène : il est soumis à deux forces appliquées à son centre de gravité et de directions contraires, son poids et la poussée du liquide. S*il est libre, il pourra ou s'élever, ou être en équilibre, ou s'abaisser.

Soient (^ le volume commun, d et d' les poids spécifiques du corps et du liquide déplacé ; vd est le poids du corps ou la force qui tend à le faire tomber; vd' est la poussée, c'est-à-dire la force qui agit pour l'élever, et v{d— d') exprime leur résultante. Si d est plus grand que d'y le corps tombera; si rfesl égal à d\ il sera en équilibre, et, quand d sera inférieur à rf', il montera. Nous allons examiner ce qui arrive dans quelques cas.

CORPS FLOTTANTS. — Quand le corps plongé a le même poids spécifique que le liquide, il se tient en équilibre dans la masse. On réalise aisément cette condition. Un œuf, par exemple, a un poids spécifique plus grand que celui de feau, mais plus petit que celui de l'eau saturée de sel; il enfonce dans l'eau, surnage sur Teau saturée et se tient en équilibre au milieu de la masse d'un mélange convenable des deux liquides. L'huile peut également se soutenir dans un mélange formé d'eau et d'alcool en proportions déterminées ; elle se présente alors sous la forme d'une sphère qui reste immobile : nous reviendrons sur cette expérience.

Si le poids spécifique du corps plongé est moindre que celui du liquide, il s'élève. Tant qu'il est entièrement immergéi il est poussé par une force constante et suit les lois du mouvement uniformément accéléré; quand il atteint la surface, il a