I -i- ulû -f- 'l
- Po=-
dans lesquelles ( ^-- ) » ( ;^ ) désignent ce que devienl -~
pour r= R el r = Ro.
11 ne reste qu'à déterminer Tinconnue auxiliaire p; à cet effet nous emploierons Tune quelconque des équations (19), la première par exemple, dans laquelle nous ferons X-- Y=:Z -- o. Il faut calculer d'abord les dérivées
dx (i)' dz
en fonction de p et de ses dérivées par rapport à r, ce que l'on fait aisément au moyen des équations (33) et (34), et porter les valeurs obtenues dans la première équation (19). Toute? réductions faites, on obtient ainsi
/• dr dr^
équation différentielle du second ordre qui détermine p. En multipliant par r^ son premier membre, on voit qu*on peut la ramener au premier ordre :
DÉFORMATION D'UNE SPHÈRE CREUSE i63
k est une constante introduite par l'intégration. Intégrant encore, on a enfln
38) p=-t.-4.Ar';
A' est une nouvelle constante.
Les constantes k et k' se déterminent par les équations ( 35
«»n y remplaçant p ^^ \zr) » (;r) P^** leurs expressions lirées de 137) et (38), et Ton a définitivement
3Hbis) p — a j|3 R3
Cette valeur de p permet d'obtenir les expressions défmitives de toutes les inconnues.
En particulier l'augmentation proportionnelle de volume &> est, d'après (3i),
-, ^ 1 . dp ^.. ^ PoRJ-PR» ,
39) o) = 3p-f-r^^3fr=:3« \^Y^^ ('-^M.;;
elle est constante dans tout I intérieur de la masse.
Un autre élément qu'il nous importe de déterminer, c'est la variation de la capacité intérieure ou du volume extérieur de la sphère. La surface sphérique, dont le rayon primitif était r, l'St devenue r[\ h- p); elle embrassait une capacité i' = } wr', qui est devenue, à des infmimenl petits près d'ordre supérieur,
i- -f- ii> = jcTr'(i -4- 3p).
L'augmentation proportionnelle de volume est donc
Calculons, en particulier, les variations du volume intérieur dans les trois cas suivants :
lP.= o, 6V.= -9«(,-^.)i^'^I»V„,
4o- p=Po, ev,= - 3«(i-î,^)i>Vo.
i6o PHYSIQUE MOLEGULAIRB
on a de même^ pour les arêtes OB et OC,
rfz(n-p-* '' (33),
Les allongements, rapporta
+ /*)(' — afi)
.7 ) ' (t) désignent ce que devienlj; '
p , . - '.(j'ji déterminer Tinconnue auxiliaire p; à ceieffei y/^!^s l'une quelconque des équations (19), la prf- ^■^^^^[^ple, dans laquelle nous ferons X=^Y=:Z- -o. ( 3 1 ^ ^K^ler d'abord les dérivées
^ cn\. iTï^y <n\,r
dx il)' dz
f^ûon (Je p et de ses dérivées par rapport à r, ce que l'on ^lisément au moyen des équations (33) et (34), et porier
y%\enTS obtenues dans la première équation (191. Touieî= jj^uctions faites, on obtient ainsi
\ d'j d^p ."^ /' dr dr^ •
iiquation différentielle du second ordre qui détermine 0. E» multipliant par r» son premier membre, on voit qu*on peuU^ i-amenerau premier ordre :
r ^ de , d^p , \ dr .37) ^ r«|=-.fr;
DÉFOR-MATION D'UN CYLINDRE CREUX. i65
D'autre part, les angles cp, y. ^ ont pour valeurs
xy dp
II eu résulte
,, ' Tz.rr=0,
<»l par la première équation (19),
/' dr dr^
dr
En désignant par k et A' les deux constantes introduites par liiilégration, on a enfîn
Pour déterminer A et A', ainsi que la dilatation longitudinale A", on exprime qu'il y a équilibre à l'extérieur et à TintéritMir du c,ylindre et sur ses bases. La première équation (19) donne ainsi
/ - P„t r k'^ ah"+ --^^k .
i66 PHYSIQUE MOLËGULAïaS,'
Pour exprimer l'équilibre des bases planes, remarquons d*abord que la valeur de T^ est indépendante de r. On trouve»
en substituant à p et -^ leurs valeurs,
l47) . T.zr:-^ 1 ^[2^fr'4.(l-^)^].
^ ' a(i -H |ùl)(i — 2|Ut) •■ "^ V r-/ j
Or, la pression P s'exerce à l'extérieur sur une surface ttR*, ei la pression Pq à rintérieursurJa surface ttRo* Leur différenoo fait équilibre à la tension T^ sur la surface ttR^ — 7rR| :
\ -(ttR^P-ttRÎPo) En résoirant les équations (46) et (4B), on trouve
. . , ^ PR^ — PoRo f \
par suite
(PR»-p.RÎ)(i--ifx; + (n-^)(p-p,)!^' (49) p=« R7::nî5 "'
PR»-P,RÎ
;5o) (u = 3A'=3«(i -au) — jpj j^j
La diminution proportionnelle de volume est constante dans toute la masse.
Pour déterminer la variation du volume extérieur ou int^ rieur, on remarque que le cylindre, dont le rayon était ret ** hauteur H, a pour rayon r(i -f- p), pour hauteur H(i 4- /r^), ^^ sorte que le volume, qui était v = Trr^H, est devenu
r -4- oV =^ 7rr2(n- p)2(i --h A-")U
ou, au degré d'approximation de tous ces calculs,
7rr2(i-f-2p-f-fr*')H.
