T(?R» . I FL

t^__ ou 0 = :-^-^.

ce qui est la formule déjà trouvée par la torsion. Pour obtenir la valeur de T, on n'a qu'à exprimer/ par b

ÉLASTICITÉ DE FLEXION. i-i)

durée d'oscillation t, au moyen de la formule élablie précé- ■leinmenl; on trouve ainsi

fur conséquent

- Quand une barre AB est lîxée par une de ses ili-tîmilés dans un étau [Jig. 87), et qu'on applique un poids

5 son extrémité libre B, elle llécliit et prend une forme courbo, puis elle se lient en équilibre : à ce moment, la réaction de la ^erge fait équilibre au poids P. On conçoit que dans ce mou- ^^ment la tranche borizonlale supérieure de la lame se dilate pi^ndani que la coucbe inférieure se contracte, et que les "■caris ou les rapprocbemenis des molécules tendent à développer des forces qui ramèneront la verge à sa position priniîliïe aussitôt qu'elle deviendra libre.

Nous considérerons le cas d'une verge prismatique de longueur /, de largeur b et d'épaisseur e, et nous admeitrons, à litre d'approximation : j'que la flexion est la même dan^ 'outes les sections de la lame parallèles à la section verticale mojenne passant par l'axe; 1" que la longueur AMC [Jig. 83j ■Is l'axe lléchi demeure égale à AB; 3° que les molécules ma-

i8o PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

térielles qui se trouvaient sur une section normale de la bam restent, après la flexion, sur une section normale. Les résultats que nous trouverons ainsi, sans faire usage des formules f^énérales de Télasticité, ne seront pas très-rigoureux, mais ils

Fig. 8S.

suffiront pour nous indiquer le sens et les lois générales du phénomène.

Pour que la verge soit en équilibre, il faut que chacune des sections normales M' MM", par exemple, soit en équilibre: ce qui exige que le moment du poids fléchisseur soit égal ei de signe contraire à la somme des moments des réactions élastiques provenant des allongements.

Désignons par^ la dislance MC; le moment du poids tenseur par rapport à M est très sensiblement égal à Pj:.

Pour trouver le moment des réactions élastiques, désignons par e l'angle de deux sections normales M' M*, N'N", infiniment voisines, interceptant sur Taxe la longueur c/j;, et décomposons la section AN'M'CMN en filets parallèles à Taxe, d'épaisseur uniforme dz. Le segment nm intercepté sur l'un de ces filets, situé à la distance z de l'axe, par les deux côtés de l'angle e, était avant la flexion égal k dœ; il est devenu dx -h ze, et la force élastique développée, proportionnelle i

l'allongement -7- de Tunité de longueur et à Tépaisseur rfzdu

I dz filet, sera -^^-tz P^""* ^^^ largeur égale à Tunité; le moment

ÉLASTICITÉ DE FLEXION. i8i

de celle force, par rapporl au poinl M, esl

CL dx a dx

il faui éiendre ce momenl à la largeur b de la barre ei à son épaisseur depuis z = — - jusqu'à z=: -f- -> elTon aura le momenl des forces élasiiques développées dans la seclion MN,

a dx j lia.

dx

qui doil faire équilibre au momenl Par du poids:

12a dx

Nous nous proposons d'évaluer Tabaissemenl y du poinl C au-dessous de son niveau primilif. A cel elTcl, menons les tangenies en M el N qui inlercepienl sur la verlicale passant par le poinl C une longueur dy. L*angle des langenies esl égal àe; par suite,

On obtiendra y^ en remplaçant dans celte expression i par lu valeur tirée de (i),

3 ) dr = iy Px» dx,

fi, intégrant de j? == o à j? — /,

La lléche/- esl donc proportionnelle au poids tenseur, au cube de la longueur, en raison inverse de la largeur el du cube de l'épaisseur de la verge prismatique ( ^ ].

( ' j Comme nou» l'avons dit, la théorie que nous venons d'exposer n'est qu'approchée. En même temps que la portion supérieure d'une barre fléchie s'allonge

i8a PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

Pour étudier expérimentalemenl la flexion, on Tisenaucithétomètre les extrémitésA et C [Jig, 87 ] ou plutôt des repères tracés à ces extrémités; on les place d*abord honzonlalement, puis on charge Textrémité C et Ton mesure rabaissement 7 du repère jusqu'en B. L'expérience justifie les lois que nous T^ nons d'énoncer.

Nous avons démontré que la réaction élastique en chaque

point — — idx est proportionnelle à l'angle c dont la verçeesi

fléchie en ce point. 11 en résuite que quand la verge est abaodonnée à elle-même, elle exécute, pour revenir à sa positioD d'équilibre, des oscillations isochrones; par suite, le son rendu, dont la hauteur est proportionnelle au nombre d'oscUlatioos efTectuées par seconde, sera invariable, quelle que soitTainpii' tude des oscillations. C'est encore ce que l'expérience vérifie: c*est une nouvelle preuve de l'exactitude au moins approchée de nos déductions.

tUSnCRÉ DES C0BP8 AII80T10PES. — Le coefficient d'élasUdlé des substances anisotropes change suivant la direction dans laquelle on le détermine. Par exemple, Wertheim et Chevtndier [ ' ; ont déterminé le coefficient d'élasticité de diverses sortes de bols, ei l'ont trouvé différent suivant la hauteur à laquelle la section était faite dans l'arbre, et suivant quOD évaluait le coefficient par une iracUon exercée parallèlement aux fibres, dans le sens du ravon ou dans le sens perpendicu-

elle se contracte transTcrsalciueiit, et de même la partie inférieure se diUt'.

par suite la lame se courbe comme Tiudiqae la^^. ^i- F*g' ^3- La théorie complète de la flexion permet de calculer celtr

' . .-^ courbure transversale, qui dépend évidemment du rtp-

[>ort /A de l'allongement à la contraction ' ne Saixt-Vcsaiit,

.^ "^ M r moire sur la jlexlon des prismes [Journal de lioë'

viUff r ftérie, t. I, i836J. M. Cornu a mesuré par dn

procédés optiques très précis la courbure transversale de lames de verrv

fléchies, et en a déduit /i* — 0,25 [Comptes rendus des séances de VAcadimif

des Sciences, t. LXIX, p. 333).

(') Public dans \g Recueil des Mémoires de Physique mécanique de H'erl/ieim. Paris, iB'^ri.

ÉLASTICITÉ DES ANISOTROPES.

laireau rayon et tangentiel aux couches concentriques du bois. Le Tableau suivant est relatif au chêne :

DltTANCB A LA BASE.

COBPPICIENT d'élasticité DA!<8 LE SBM

On ne possède que bien peu d*e\périences sur Télasticité des corps cristallisés. Toutefois, on peut signaler quelques déterminations réalisées tout récemment par la flexion de courts bâtons de gypse, de mica ou de sel gemme ( * ). Elles ont établi que le coefficient d'élasticité change avec la direction dans laquelle on le mesure.

L'élude théorique de rélaslicilé des cristaux est particulièrement importante, surtout au point de vue de ses applications à la science de l'Optique; on considère, en effet, l'éther lumineux comme possédant dans les cristaux une élasticité variable avec la direction, c'est-à-dire comme étant lui-même cristallisé. On démontre que l'élasticité dans une direction Quelconque peut être calculée d'après les valeurs qu'elle possède dans trois directions rectangulaires, qu'on nomme les Qxes d'élasticité, et qui, dans les systèmes à axes rectangulaires, coïncident avec les axes cristallographiques. Nous renverrons le lecteur aux Mémoires originaux ['^].

[*) L.-A. CoROMiLAS, Inaugural Dissertation, analysée dans les Bribiàttrr, . l, p. 49^ ('^77)*» KoCH, Annales dtr Wiedemanny t. V, p. 25 1 (1878). Signa« )Bft auui les travaux plus anciens de Savait, Annales de Chimie et de Phy- '^me, 2* série, t. XL, i8jg; de Bai'mgartbh, Annales de Poggendorff, t. CLU, . 3; de VoiCT, Annales de Poggendorff^ Ergàngzunsband VU, p. 1, et de •OTB, Annales de Poggendorffy t. CLVII, j». ij.

(*) f^oir iurtoui CxvcBl, Exercices de mathémati(f lies, X. II et III, Ct Lamé, eeons sêw la théorie mathématique de l'élasticité.

i84 PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.