r.r^dr.T= — • r
Le moment du couple F est égal en valeur absolue à la sommo de ces moments, c'est-à-dire que, en désignant par Rie rayon du cylindre, on a
(56) 0 = x[i-hu)
} 4LF
I/angle de torsion est donc proportionnel au moment d «J couple tordant, à la longueur du fil, à son coefficient de cou"» — pressibilité a, et en raison inverse de la quatrième puissance ^^ du diamètre.
Le même raisonnement est applicable à un cylindre crei» ">^ de rayon intérieur R© et extérieur R, et conduit à la formule
^K.) 4^i'H-^)LF
'^'^ ^"^ 7:(R»-RÎ)
Il cesse d'être rigoureux pour un prisme de section que^ ^ conque. En désignant par A le moment d*inerlie de runilé(^ ^ longueur du prisme par rapport à son axe, on admettait aulr^=^' fois que l'on a encore, au moins d'une manière approximativG^^^*»
L'angle 0 est efîeclivemenl proportionnel au produit
mais la section est déformée d'après des lois complexes, e ^ par suite 0 n'est pas constant dans toute l'étendue d'une sec^*^ tion perpendiculaire à l'axe. M. de Saint-Venant ( * ), qui a trait^^ la question d'une manière complète, a reconnu que dans biei des cas les résultats de la formule (58) sont grossièrement inexacts. Nous renverrons le lecteur au Mémoire original.
(') Dk Saint-Venaxt, Mémoires des Savants étrangers, i855.
le coelflcient -
- est souvent désigné sous le nom de
oef Scient d'élait/ctl^de torsion ;àan8YhypoihèseAéVfenheim
^ — = 7 ) 1 il est les 5 du coenicient ordinaire d'élasticité - •
tasa IxrtlIBITlUS U U TOBSIOV. — Pour étudier expéri- TB i.3leinenl les' lois de la torsion, on peut se servir de l'appa-
reil de Wertheim (')(,/(§". 8^); il se compose d'un banc de Tunto très^ourd sur lequel sont disposées deux poupées analogues à
' ', ÂaitaUi de Chimie ri Je Pin i
p. -T lirW, t. !.. p. îyj.
celles d'un tour. La première B peut être transportée le long du banc et Giée par des boulons dans toutes ses positions; elle sert à encastrer Tune des extrémités de la verge que Ton veut essayer. A cet effet, elle soutient une pièce percée où Ton enfonce la verge TU, que Ton serre par une vis de pression N.
11 est nécessaire que Textrémité U de la verge soit fixe pen — dant la torsion, et Ton s'en assure en y plaçailt une aiguille C « qui doit rester constamment en face d'un index immobile fai — sant partie de Tappareil.
L'autre boutT de la verge est saisi de la même manière dan s^ un axé creux M, qui tourne entre des colliers horizontau fixes. Cet axe porte une poulie E sur laquelle s'enroulent deu cordes. La première, placée en avant de l'appareil, en E, tirée par le poids P; la deuxième, attachée de l'autre côté, s^^ dirigé en remontant vers la poulie R, la contourne et soutiers t un autre poids S égal au premier. Il est évident que ces deu ^?^ poids concourent à produire un couple, à faire tourner la poLK — lie E elà tordre la verge.
Pour mesurer la torsion produite, on a tracé sur l'une d^ * faces de la poulie un cercle divisé et Ton a placé vis-à-vis ur» ^ alidade immobile D; on lit la position du cercle avant Tactioi on la lit de nouveau quand les poids fonctionnent, et la tion mesurée est Tangle de torsion 6, Ce que nous voulor^^^ chercher, c'est le rapport de 0 à l'action du poids 2P qui e^^^ appliqué au rayon r de la poulie, et dont le moment est !iPr nous désignerons ce moment par F.
L En faisant les expériences, on trouve une première lo-^» qui est la plus importante de toutes : c'est que, si les momenu ^ du couple varient suivant les nombres i, 2, 3, 4, les angles dtorsion sont &>, 2&), 3w, 4w, c'est-à-dire que Tangle de torsioi est proportionnel au couple de torsion.
IL On soumet à l'action d'un même couple plusieurs moi ceaux d'une même tige dont les longueurs sont i, 2, 3, 4; 01 trouve des angles de torsion d, 2 0, 3$, .... Donc les angles di torsion sont proportionnels aux longueurs.
III. Quand les verges sont des cylindres, que les rayons de U section sont 1,2, 3, 4> I^s angles de torsion deviennent 9
G 0 6 —T.' S-' —FT'^ d'où Ton conclut que sous Taclion d'un même
couple Tangle de torsion est en raison inverse de la quatrième puissance du rayon de la section.
IV. Enfin, toutes dimensions égales et sous les mêmes charges^ les diverses substances se tordent inégalement et
ont un coefficient spécial de torsion que nous appellerons 7f Toutes ces lois se résument par la formule suivante,
identique à celle que nous avons trouvée théoriquement, en posant
Le Tableau suivant contient le résultat des expériences de Wertheim :
»l'B<TANCF,.
Fer.
BAYO?(
du cvlindre.
Acier fondu anclai».
Cuivre
Verre
mm
8,JÎ!ï)
5, Soi 5 , o55 3,o3i 3 y 535 3/4225
(valeurs obtenues par traction).
o,3i(> o,3oo
1^ troisième colonne donne la valeur du coefficient d'élasticité de torsion, la quatrième les valeurs correspondantes du coefficient d'élasticité; enfin la dernière les valeurs de [jl calculées par la comparaison des nombres de ces deux colonnes : ces valeurs sont sensiblement égales entre elles pour les diverses substances ; leur moyenne, 0,3 17., ne diffère de la valeur
théorique ^ que de o,oai.
176 PHYSIQUE MOLÉCULAIKE.
Werlheiin a encore fait des expériences avec des cylindres ou des prismes de formes très-variées : il a cru pouvoir conclure que la loi du moment d'inertie leur est applicable, pourvu que la longueur soit très-grande par rapport aux dimensions transversales, comme le supposait la théorie incomplète qu'il avait admise.
La méthode de Wenheim ne peut s'appliquer qu'à des verges de forte dimension ; elle ne peut être d*aucun secours si Ton veut examiner des fils très-fins. Comme on a fait déjà et que l'on fera encore, dans la suite, des applications de l'élasticité de ces fils capillaires, nous ferons connaître la méthode par laquelle Coulomb ( ' ) les a étudiés.
MÉTHODE DES 08GILLATI01IS. — Je suppose que Ton fixe l'extrémité supérieure d'un de ces fils à un obstacle Cixe A [Jig. 86
et qu'on lui fasse supporter un corps FiR. W). pesant, par exemple une sphère mélal-
M lique. Après que le système aura pris
^^g^^ ^on équilibre, on tournera la sphère
^%1 d'un angle quelconque, puis on l'aban-
^ donnera à elle-même; alors la réaction
9 de torsion produira son effet, le fil se
détordra et la sphère tournera autour de son axe vertical avec une vitesse croissante, car la force est continue.
Le fil se retrouvera bientôt dans la position qu'il avait avant la torsion, et à ce moment la vitesse de rotation sera la plus grande possible. Dès lors If mouvement se continuera par celte vitesse acquise, le fil éprouvera une torsion inverse, la vitesse ira en décroissant et se retrouvera nulle quand l'angle de torsion inverse sera devenu égal à celui de la torsion primitive: puis la vitesse changera de signe et les mêmes alternatives se reproduiront, comme pour le pendule, avec des amplitudes
[*) Coi'LOMB, Mémoire de l'Académie des Sciences, 178';.
décroissantes^ ce qui est dû aux frottements sur Tair et aussi à l'imparfaite élasticité du corps. Or on sait : i^ que quand un corps mobile autour d*un axe est sollicité vers sa position déquilibre par une force rigoureusement proportionnelle à 'angle d'écart, les oscillations doivent être isochrones, quelle Que soit leur étendue^ aussi bien quand elles embrassent plufleurs circonférences que si elles se réduisent à une fraction àe degré; 7? que, si cet isochronisme a lieu, la force agissante ,'e(dans le cas actuel le couple de torsion] est nécessairement proportionnelle à Tangle de torsion. II suffira donc, pour justifier la première des lois que nous avons établies, de chercher par Texpérience si la durée des oscillations est constante. Pour faire cette observation avec toute la précision qu'elle conn porte, on opère comme on Ta fait quand on a voulu prouver l*isochronisme des oscillations du pendule. On fixe le fil dans un soutien A [fig. 86), on colle sous la sphère suspendue une aiguille légère C, et l'on dispose un cercle divisé CI) vour mesurer Tamplilude des oscillations. L*obsorvateur se V^ace, à distance, avec une lunette qui vise l'aiguille et un <*^nripieur à pointage; il pousse le bouton de marche au montent d'un passage de l'aiguille sous le réticule, et, a|)rès avoir ^'f^mpié n oscillations dont l'amplitude est A, il arrête les aifîuilles et note le temps écoule. Il recommence la même mesun» ^"r des oscillations dilî'érentes, grandes ou petites, compre- '^ant même plusieurs circonférences, et l'expérience démontre •»^ec une parfaite exactitude l'égalité des temps de ces oscillations, quelle que soit l'amplitude, d'où Ton conclut querangh» d'Morsion est proportionnel au couple de torsion.
Si Ton désigne par/ la valeur du couple pour un arc égal à 'unité décrit avec un ravon égal à l'unité, ou la force appli- 'juée à un rayon de r" qui tord d'un arc égal à r", on a pour '♦' moment F, qui tord d'un arc 6,
F =^ fO,
On comprend que le couple de torsion réside uniquement ''ans le fil et qu'il ne dépend pas de la nature et du poids de 'a sphère suspendue; mais, comme c'est ce couple qui la fait tourner, la vitesse qu'il lui imprime et la durée de l'oscilla-
J' et B., Physique moléculaire. — I. 2* fasc. i»
tion qu'il produit dépendent de la masse m du poids suspendu et de sa forme. On démontre, en Mécanique, que cette durée est
}Ak^ est le moment d'inertie de la sphère autour de son dia-
mètre vertical; il est égal à — ^ — ? a étant son rayon. Il vient dès lors
Quand on veut ensuite comparer deux fils différents» par leur longueur, leur rayon ou leur nature, on les attache successivement au même support, on leur suspend la même sphère, et Ton compare les durées des oscillations. On a pour deux d'entre eux
. 'a Mo» ^
/2Ma^
5/' d'où
On voit que les valeurs de/ sont en raison inverse des carrés des temps des oscillations, et Ton trouve, en mesurant ces temps : i*^ que/ est proportionnel à la quatrième puissance du rayon R du fil, 2® à un facteur T variable pour les diyerses substances, 3*» en raison inverse de la longueur:
