THÉORÈME DE GREEN

Soient ai et «2 les cosinus des angles que la direction, extérieure à la surface, des normales à d(T^ et ddi fait avec Taxe des X, on a

dydz^= — ai dff^ = a^ dv%,

ei la portion d*intégrale (2) prend la forme par suite, l'intégrale (i), étendue à toute la surface S, est Un raisonnement analogue donnera

En ajoutant ces trois dernières équations membre à membre, on a

Désignons maintenant par dn un élément pris extérieurement sur la normale à la surface S. On a

dx ^ dy __ dz

dn ^ dn^ '^ "^ dn^

et, en substituant dans Téquation (3], on reconnaît que la <|uantité sous le signe/, dans le second membre, est la différentielle complète de V par rapport à /i. On a donc Analement ( * )

(4) /AVrf. = //^rf..

(*) L'équation (4) n'est qu'un cas particulier d'une formule plos générale

Nous avons démontré la relation générale

AV — — 47rp; on a donc

/AVA'=:-47r/prf(;.

On remarquera que fpdv est la somme M des masses électriques enfermées par la surface S; par suite.

Quand M est nul, l'intégrale renfermée dans le premier membre de Téquation est nulle aussi; il en résulte plusieurs conséquences importantes.

GOVSÉftUEHGES DU THÉOBÈME DE ftBEEH. — Prenons pour la surface S le cylindre ayant pour bases deux éléments rfo-j ei rfcr^ de surfaces de niveau infiniment voisines, et pour génératrices des normales communes à ces surfaces. On remarquera quo

-j— représente la composante, normale à la surface, et prise en

signe contraire, de la force exercée au point P que Ton considère. Or, la force électrique étant normale aux surfaces de niveau, la surface latérale du cylindre ne fournit à Tintégrale