CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DE GREEN

mais, à la litnile, on a

cl, par suite, ,

\dn), \tiitj.

Comme nous avons supposé, en établissant le théorème de Green, que toutes les normales sont dirigées de l'inlérieur à l'exicrieurdela surface, cette dernière équation signilTe que In force électrique F varie d'une manière continue partout où il n'y a pas de masses électriques agissantes.

2° S'il y a entre les deux éléments de surface une masse électrique égale à m, on a toujours, d'après l'équation (5),

fdV\

-^nm.

Traçons en avant et en arrière de la surface d'un conducleur êlectrisé, à des distances égales e, deux portions do surfaces de niveau ['), et réunissons-les par des normales. Soient p lu densilé électrique en un point, dsj l'élément correspondant de surface éleclrisée; l'équation (■}] devient

- 4'Tprfo'];

mais, à l'intérieur du conducteur, -;- est nul, ( l'on a, â la limite.

^-irp.

C'est la proposition que nous avons annoncée (p. 90].

3* On a vu que, en chaque point d'une surface équipoten-

ianl 11 rinlûricur du earpa dlectriH, on prendra rillèlo k la lurf^cc dti curps pour lurftiK de ni-

J. et B., Éleelrieité Italifue.

rfV

tielle, la force exercée est représentée par — -7- ; il en est de

même à la surface d'un corps électrisé. Il résulte de là que Ton ne modifie pas l'action exercée sur tous les points extérieurs à une surface équîpotentielle donnée S, par les niasses électriques intérieures à cette surface, quand on substitue i ces masses électriques une distribution fictive d'électiicilé répandue sur S et possédant en chaque point une densité p,

En effet» l'action sur les points extérieurs infiniment voisiiis de S ne sera pas changée par cette substitution; la fonction V conservera sur toute la surface S la valeur constante qu'elle possédait auparavant, et par suite V restera déterminé pour tout point extérieur à S, comme il l'était précédemment. La quantité

de cette distribution est, d'après le théorème de Green, égale

à — y— { — 4 ^M) = M, c'est-à-dire égale à la somme algébrique 47:

des masses électriques enfermées par la surface.

On remarquera que, la force électrique en chaque point de la couche étant normale à la surface et dirigée vers Textérieur, réleclricilé, distribuée d'après la formule (9), est en équilibre. On pourra faire usage de cette propriété, dans un certain nombre de cas, pour la transformation des problèmes électriques.

Considérons une série de surfaces équipotentielles S, S', ... et des lignes de force limitant sur l'une d'elles un élément de surface. Ces lignes forment une sorte de tube continu qui intercepte sur les surfaces suivantes des éléments de grandeur variable rfo-, rfo-', — Nous avons vu que Ion peut remplacer l'action des masses électriques intérieures à un de ces tubes par une distribution fictive d'électricité effectuée sur l'élément dfer, de telle sorte que l'action exercée sur un point